tag:blogger.com,1999:blog-5973657577608896312024-03-19T04:24:18.424+09:00勉強しよう数学schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.comBlogger647125tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-57201560537630304052024-02-26T15:58:00.005+09:002024-03-07T21:17:17.994+09:003つの空間ベクトルが同一平面上にある条件 <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問1】<br />
空間内の4点O(0,0,0),A(1,2,5),B(2,5,1),C(1,1,k)が同一平面上にあるとき、<br />
kの値を求めよ。<br />
言いかえると、直線OAと直線BCが同一平面にあるときkの値を求めよ。<br />
更に言いかえると、3つのベクトルOAとベクトルBCとベクトルABが同一平面にあるときkの値を求めよ。<br />
<br />
【問2】<br />
問1の解のkの値の直線OCと直線ABの交点PをあらわすベクトルOPを求めよ。<br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2024/02/blog-post_26.html">この問題の解答はここをクリックした先にあります。</a>
<br />
</span><br />
<span style="font-size: large;">リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</span>
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-68772510748312130662024-02-24T16:59:00.009+09:002024-02-25T02:29:00.118+09:00ベクトルの内積であらわされた2直線の交点<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="font-family: normal; font-size-adjust: none; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">直線の方程式の一般形は、</span><br />
<span style="font-size: large;">ax+by-c=0,</span><br />
<span style="font-size: large;">である。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">すなわち、直線の式は、下図のようにベクトルの内積であらわされた式である。</span><br />
<img border="0" data-original-height="673" data-original-width="549" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGYTOwo3p7u6NS0X9CvLPUd27ymUuvTewUQaWDcnwemlBwLl5ivCcOXUwjRv4mU2Ax0qzT8kXjkznN74JZVgp8Izya2QKL0rz7QUu2whPJsQT1H94HY2KRA9vNpO4hnCshFSnzfH_1qRWVokzZ-20B_-iVIqdQbLlqx8sF0YJrjdSpLpRZueRzYHo30MRm/w522-h640/g236.jpg" width="522" /><br />
<br />
<span style="font-size: large;">【課題】ベクトルの内積であらわされた以下の式(1)の直線と、式(2)の直線との交点のベクトルを計算する。<br />
<img border="0" data-original-height="604" data-original-width="339" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyc5HnHh1DfXIzjukAIebQ7vK40Gv-48WYXWaEKMXQxy7pEGyZ9AiMVJD_inMy8mH7CpjnmfRNI0j0QqOGjnKLWuNS5jgOxkL1OJzESrAeRQKMQxSbGz9-XGDv6IZ2_uKPymJCcjSg1Olz3flNOTxNyz1kzC23RrdQzK_m0G4kfwRgfJJie2bA9CVwTmrv/s16000/g237.jpg" /><br />
<br />
【解答】
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/09/blog-post_11.html" rel="nofollow" target="_blank">「2元連立方程式をベクトルの内積を使って解釈する」</a>のページの連立方程式の解の式(7)を参考にする。 <br />
そのページの式(7)と同じ形の、以下の式(3)で2直線の交点のベクトルzを表すと、式(4)と式(5)が成り立つ。
<br />
<img border="0" data-original-height="541" data-original-width="691" height="501" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinkDjYc0zvINUwoTi5LmwvsC1cQvE8AoQJfODnve1cyvrSPAKdARqIM7-fR1vX3jDM4Wd27rS1uhjTPVNXNCT8YPhf3eFUvmcYVf9Ya-eFIKRca3ECtMbS3caCCUI5Sru2yy-iHkaVZPYSVYUz2S2nus-um-th5q7NdTHWLdVA-qOk-Y7nRr4iSRLPk3ef/w640-h501/g238.jpg" width="640" /><br />
そのため、交点のベクトルzが以下の式(8)であらわされる。式(8)を具体的にあらわすと式(9)であらわせる。
<br />
</span>
<img border="0" data-original-height="660" data-original-width="703" height="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAcppKGIyu2ro-z81HRlayRtEFYYyv2F_wqV7m3UhpDlddJWj1cZI5yeBb6ZEmK5BBVyl2utSl_n6JRTjMk7xa-gl5haTiZNDj4PqFkjHThHghRkb6ioeREHLYzANGBU75knHNaNDn6UT3CX_AT2Ek4takUbr0PX_STAwOjoSIQm_JY0dg2nsV79EAgFqp/w640-h600/g239a.jpg" width="640" /><br />
<img border="0" data-original-height="748" data-original-width="709" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEwOAaM8z2_H84E1bsafg85Lg5aHSbUHpAWKBvMs3ccy7-9WE9JVZPrlEK2agMWccn5OpAlnn1qQgzXY7KFzLcmpT0XCyCxw9zgbLbuMAEVAOsqnw6GoN4UWNB-GNbNwLPX9TSE3UHH1hc1wf8kuTpEcUBDNGLRHe_RvRYf2vj5Vcl7aI9du4mC4muBX7Y/w606-h640/g240.jpg" width="606" /><br />
<span style="font-size: large;">(解答おわり)<br />
この解は、交点の位置ベクトルzを、直線に平行なベクトルの合成であらわす解である。
</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">リンク:</span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2013/08/blog-post_3583.html"><u>ベクトルの視点で見える直線の式の意味</u></a> </span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></span>
</div>
<br /></div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-81194076869646968012023-11-25T11:55:00.004+09:002023-11-25T17:03:05.474+09:00横国文系2023年大問3<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問題3】<br />
<img border="0" data-original-height="682" data-original-width="898" height="486" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvqnfebR7sAqQ1ed_ssVz4O1Cbpz3qhz3i9G6FUlcS-PbyzWPByWVotU1USDE9k6euhhaKA3eIVRIoFvNkVIcoBmgPxP0alnAXippupgTYLoUKKieQtFA_J7ErWzqErJSEyJ6WXOzjwUy0ye97AU0ZlVYiDis0tqnuCMUx1OUNRxdgfjEhLwcNbGi7RU2U/w640-h486/g184.jpg" width="640" /><br />
<br />
<a href="https://note.com/magico_magico/n/n492d908d0157" rel="nofollow" target="_blank">この問題の解答は、ここをクリックした先のサイトにありました。</a><br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/11/2023.html" rel="nofollow" target="_blank">更に詳しく解説した解答を、ここをクリックした先に書きました。</a>
<br /><br />
<u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></b></u></span><br />
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-48140307127078166342023-11-21T23:22:00.002+09:002023-11-22T00:10:28.895+09:00ベクトルで楕円の2つの接線の交点を求める <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span style="font-size: large;">
【問1】</span><div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;"> 原点Oを中心にするX軸方向の半径をaとしY軸方向の半径をbとする楕円に対して、</span><br />
<span style="font-size: large;">その楕円上の点A(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>)から引いた接線と、</span><br />
<span style="font-size: large;">点B(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>)から引いた接線の交点P(x,y)の位置ベクトルを求めよ。 <br />
<img border="0" data-original-height="778" data-original-width="714" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9Qn2aSOr6cfVqLG4iYR4FFhXbuZJfdYigqHvUKUpGWdS3E_g8t3RH3seTKMxf8LRGeW7KgyK_TyI27vRZA7rpKTJ_nSZyXiHKDu7rkkYTaoqv4HZZgTdcMihNJurtELynzduM8_YyAte16IBnsLooLe89CyRa-5UDHrgMun6RWq80NwjvTDDjfhpei8oa/w587-h640/g167.jpg" width="587" /><br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/11/blog-post_21.html">この問題の解答はここをクリックした先にある。</a><br /></span><br />
<span style="font-size: large;">リンク:</span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/09/blog-post.html">円の極の座標の解の変換</a> </span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></span>
<br />
<br /></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-89852870902736517502023-11-11T23:46:00.003+09:002023-11-11T23:49:23.337+09:00直交するひし形の対角線の方向のベクトル成分を計算する問題 <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><span style="font-size: large;">【問1】</span><div style="line-height: 24pt;"><span style="font-size: large;">
平面上のベクトルa,b,cの大きさが:<br />
<img border="0" data-original-height="172" data-original-width="187" height="172" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixyxU6A9Ji-DlJr3RerMDxVkXbKgibGdj3CmnWMs55VrRFYklZejyQfIsA9CKGKXRynEe7Uhgwn404r_nszyOcOsrh3hGHNRTMm-wT5mDq7qwrVhh_hJGh47SraaT9Y6NOnMAU1z8wWZ8AZXAsg7_Vi9CvtkVBDrGfiKD4PW0MNaml5yDwPzYR6ZYrbLDB/s1600/g124a1.jpg" width="187" /><br />
であり、以下の式(1)を満足する場合、
<br />
<img border="0" data-original-height="85" data-original-width="283" height="85" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2bI0yfgS5IHqKytzlCc3v_lNAJ_AH-YRXAGzFzjIPnuC1FaO93IYI78e3kBlCovKCBH1IHjYs5GGYejryiRtU_IlSw9aJNPueDi3z6KWxPq0QJL3skNDUYnPkXsu-xd74Y2AJDGBjXejvRJd8Ut_jHnrxdXPxps__bbNvzpQTiuLOUKglPc5JqbT3neGg/s1600/g124b.jpg" width="283" /><br />
このときベクトルaとbの内積の最小値と最大値を求めよ。
<br /><br />
</span>
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/11/blog-post.html" rel="" target="">この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。</a> <br /><br />
</span>
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></b></u></span>
<br /><br />
</div>
</div>schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-68688860386786217912023-10-27T17:15:00.069+09:002024-03-09T15:05:07.956+09:00位置ベクトルの公式<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
下図の点Pの位置ベクトルの式を考える。<br />
<img border="0" data-original-height="504" data-original-width="475" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj322Szkk6Mg2QYBjAdh3jjF8nTz-o4CdY1V3XhvoPvsGEbjnyUyxt17LnCm94vJ_w0PDY_N_dAg-WnTlejVpdX1TDjnppduuFKqCWl6wRfuhVIzymrs64drqxyHmqs-xQY4WMEFCdp_wD_GCAdhUIyGamRQO7hdbzmrCPyv3WmJm7V-r9DglNLUOimDuNu/s16000/g094.jpg" /><br />
この式(1)は、点Pから三角形の頂点までのベクトルの所定係数の和が0ベクトルになる関係をあらわす式である。以下の計算によって、この式(1)から、点Pの位置ベクトルの式を求める。<br />
<img border="0" data-original-height="568" data-original-width="709" height="513" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrcE3afeNODel3n3DBCtx0Mt0TMUhHPJSuA3Axkzsa0KyN-h-myE4BCiUgYgD-aTsCfB74JOO20pGgoWoDsa4F6DTvqdOQgOJkR5JemIdMGOj7-sPP8NCXXkgBrOcQ0Yk3pO7hZdXxbkA-5LXcPF7hG49cprFWp9L8ZU0NDQmDYcXxuMmJv4ckowZZ26Bk/w640-h513/g093.jpg" width="640" /><br />
《点Pを与える位置ベクトルの係数和が1の公式》<br />
上記の式は、点Pの位置ベクトルを表す式である。 <br />
上記の式には、位置ベクトルAとBとCの係数の合計が1になるという特徴がある。<br />
<img border="0" data-original-height="586" data-original-width="439" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyLo_HHFZlJmYjI3-85o4rRcsHOCXW24c95OaQRogd9rLysie-i8iWQWD9NaUbc4rQrcN24DoCd3rDEm570l8wVxLCOCmveHtWM6adhBODwlWqkutoIQPD9uoq3qQNC9JX5WGDp3vaEOa7Jpb2MJksCFljPO3tG7duzl6-4Cv3eMUOmxr61FZCwqkVp1eJ/s16000/g098.jpg" /><br />
この式が、点Pを与える位置ベクトルの係数和が1の公式である。<br />
<br />
以下の式のように、位置ベクトルAとBとCが一斉にベクトルPQで平行移動する場合を考える。
<br />
<img border="0" data-original-height="91" data-original-width="736" height="80" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj30MZBu_6xwcrJ-INjyRQS-k3pq-6ylC97U2AkvUGSc9U0Oi-wJLubMqLDvaWzDEXK-9QIygH9z4DGn4vcr7nRS1xnDHM0u7DABVB8b1PVRUERYDolqBf6Z_d2kmcYA9xEBS2gTN_vfI7vEDC07YsXTgdk6JvyTPtucPVUSYNlHeamKKUF-GDDF2bhfWaX/w640-h80/g095a1.jpg" width="640" /><br /><br />
この式であらわされる点Pの位置ベクトルは、以下の式で計算されるように移動する。<br />
<img border="0" data-original-height="301" data-original-width="577" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1K3da6NRQByWOjhNWrYtTkQPMAfzoExTrf-ntj_70Ll4ZwvhrMC-dkxLoYlgjxLbF-p_Atsi4e1zn-U2XgHooNHegoTejr46AJ4pS6S_LAal5Lo7c_xOmd659FD4qBZC4o1TZPuG0xRHldFvOTeBGYIh8CQD8jPowfNSAVFu3roZXje4w-Aitn2T4Uaa3/s16000/g095b1.jpg" /><br />
位置ベクトルAとBとCの係数sとtとuの合計が1であるので、点Pも他の点Aらと同じベクトルPQで平行移動する。<br />
すなわち、上記の式は、点AとBとCと点Pの位置を平行移動しても変わらず成り立つ。それが成り立つ理由は、位置ベクトルAとBとCの係数の合計が1だからである。<br />
<br />
《図形を平行移動し、直線BC上の直線APとの交点を原点Oまで移動する》
<br />
<img border="0" data-original-height="589" data-original-width="429" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOHYAgSg0IuLGM2if_kEmUV23ZfbDFJRIBa8TcAKA-GMlDo_MEOAaduWTGmlf3YwjTtLxENLUeZQBONe9Rbze1NqCMV0Mia0OSuEnXbE0bM1a3u6LHuHQ91Xbnv5txtKGSZlG0jNFU0zlo9mIMwCAaXLyWY6kICV-U37hMXfoL2e1c66F6fOgM6yv8wXPl/s16000/g096.jpg" /><br />
上図のように、図形を平行移動し、直線BC上の直線APとの交点を原点Oまで平行移動すると、 点Pの位置ベクトルの式が2行目の式に単純化される。すなわち、位置ベクトルAの係数sが同じ値に保たれた単純な式になる。 <br />
(ただし、2行目の式でも、s+t+u=1が成り立っていて、tやuも0でない値に保たれている。原点Oがその位置にある場合にベクトル(tB)とベクトル(uC)が打ち消し合っているだけである)
<br />
この式が意味することは、頂点Aに対向する直線BCから点Pまでの高さは、頂点Aまでの高さのs倍の高さにあることを意味する。
<br />
すなわち、点Pの位置ベクトルを与える式の頂点Aの位置ベクトルの係数sは、<br />
「頂点Aに対向する直線BCを基準にした点Pの高さの、頂点Aの高さに対する割合=s」<br />
をあらわしている。
<br />
《点Pを与える位置ベクトルの係数の意味の公式》
<br />
先ず、上図の、平面上の点P,A,B,Cで以下の位置ベクトルの公式が成り立つ。<br />
<img border="0" data-original-height="142" data-original-width="312" height="142" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirxX8ak0h0rmzLq0ytLkrEFwDN9oXsLbzoP3fiKfFywhNcAs-ApzBx8RP5EwNTL1jETB_9P2p6ULk3NyeJLOCFjlL8IvAnRYZd0CPuu5LQ0Feb1-kNls-CKJmDKMIW5kEniiEYf64sUvRndeaFmIp-fq5OYMhn0HTiXZfHvlO0JqdWxh_0nci2FetltJaI/s1600/g097b.jpg" width="312" /><br />
そして、平面での、点Pの位置ベクトルを与える上式の右辺の、<b><span style="color: red;">各頂点(頂点Z(上図の点A)とする)の位置ベクトルに掛かる係数は、<br />
「頂点Z(点A)に対向する直線を水平線とした点Pの高さの、頂点Z(点A)の高さに対する割合」<br />
をあらわしている。
</span></b><br />
<br />
(点Pが三角形ABCの内部にある条件)<br />
そう理解すると、点Pが三角形ABCの内部にある場合に以下の不等式が成り立つ。<br />
<img border="0" data-original-height="778" data-original-width="649" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEji3JQoYuiludyYSL-8IG5_3LJubIyWAl3yMAoCSOMgbxgfSeJInroL0xG0EKFWnz62MO-F5SYw8i295MDAGZbmiskpWX-q9G_aj7zR2JDHqr0aNk3pjWjWS9AM-xFHnoZ3E9av8b5Fq3J8Czjg6t6gUNzdHpYX6L5eeavityDTDGWHvitT_blmDFbhJ2MW/w534-h640/g268.jpg" width="534" /><br />
<img border="0" data-original-height="720" data-original-width="763" height="604" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwQWSewgWhM2kyq980cVV75nI3Dwo-bwZJbAGCl02UrWofl-YG0TVYd6YcSyXzCrQnFX6CU6b0999vsFQSTwQ219ujTG6UsWVzB_lBxLwSQ8Abmpfe_njXsw5l9oTlySiySaQjkr0W3nL4bddKLUsOT4zIL8GZAhc413hXECuFkzMwqO6a5s9gjZItQMsN/w640-h604/g271.jpg" width="640" /><br />
点Aを始点に持つベクトルでは、点Pが三角形ABCの内部にある場合に以下の不等式が成り立つ。<br />
<img border="0" data-original-height="777" data-original-width="492" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_V5UizjqUvFiAWr5kG4LEjpvzd63Lg6biYzvjBRyyZAQJLry0PLw9ZZARgX2yTYgeGtUW8MrsL54A60LuXWIStu6N0c2JRAzOlyaRxtnWq3ragukthGqgK8SenQov8RtjcaNuGU3kUGdanw6LOS32L-KR_ht34xaEvLSoW5uHkpE2WFpC9wUg4gWq3W5J/w405-h640/g269.jpg" width="405" /><br />
以上の不等式をまとめた等価な式が:<br />
<img border="0" data-original-height="139" data-original-width="267" height="139" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBoxFPrzKaK1O_4lMhbN1bjKHO3cPOLP_Ar0Yk1wYfcg0QEJcM0DfXwFcZKGxuwnX8hPBMnn3sGZum7ZQtj9uRNuaySetSQhhUzQtQyjO0Hp3pv508YzdHg4OglMbu9uoMP467ssb67EaM5yqxJbtd37Abi1HSOo1qkZvPttwwIOYOWGp1KemSjxEOpF6K/s1600/g270.jpg" width="267" /><br />
(以上が、点Pが三角形ABCの内部にある条件)<br />
<br />
なお、先の位置ベクトルの公式は、空間での点P,A,B,C,Dでも成り立つ。<br />
<img border="0" data-original-height="136" data-original-width="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIXHNHoCa4amJc04KnMJ1bXfJN43dGmqibxAMYBlOBLusABT_tlABmFQw4FokKgySRJgB8ax8ZhG7HAmMlvORhBJnG9nkGoFEt_dcoG9IC_MRUUgZFFoY-SeOlxCw_SMaU6FB_Pw8ERhO5Kl4u2WU-YPxypJaMHp0a72ZRh5AqDaiwczD-9C8NoDSKvv9o/s16000/g097.jpg" /><br />
そして、空間での、点Pの位置ベクトルを与える上式の右辺の、<b><span style="color: red;">各頂点(頂点Zとする)の位置ベクトルに掛かる係数は、<br />
「頂点Zに対向する平面を水平面にした点Pの高さの、頂点Zの高さに対する割合」<br />
をあらわしている。</span></b><br />
<br />
《線分BCの内分点Dの位置ベクトルの公式》<br />
線分BCを1:2で内分する点Dの位置ベクトルの公式は以下の式(10)であらわせる。
<br />
<img border="0" data-original-height="703" data-original-width="493" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_aCBqITOUFOsi3DhSSTVI6cVEm6jcPXZ78few3i363Ux2JMFMTV8eQeU2Vhn68EKN8viukYCIQ9IY-C85JAulkbNaYu3Y0pNUyiTXGYJYNdT9ZoIdZYsiRE3WzuPxKKO5J1ysBAP0F_t-4BYT2qKWUY7t_IWOdN2LbsjRj4tpq6hjNy4avIHPoe0D9uOf/w449-h640/g119.jpg" width="449" /><br />
式(10)は、内分点Dの位置ベクトルの式である。そして、位置ベクトルBの係数と位置ベクトルCの係数の和が1であって位置ベクトルの公式が成り立っている。<br />
この式(10)の位置ベクトルの式は:<br />
<b><span style="color: red;">「頂点Bに対向する点(すなわち点C)を水平線の点にした点Dの高さの、頂点Bの高さに対する割合が(2/3)である式」</span></b><br />
と覚えれば良い。<br />
<img border="0" data-original-height="706" data-original-width="679" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSB4wpRikLIH0Rna4Z_sL1MzVRvrhdbxPpfD5Ti3udLjxS3tc1lRHc4zTtcXV-0C6dSxU-Tfw6jmrgTKv4JLBucW64b8qANQUkgnUveJx0Ty8pdpPTLPtbvO-sEerj20ede4APnBFVj6bF56ilrsRwTj43k8QERjJBUmvs92dj-skVhIqBia0n-7UbjQlU/w616-h640/g227.jpg" width="616" /><br />
<b><span style="color: red;">内分点の位置は、(内分の比が大きい点から遠くにあり、ベクトルの係数が大きい点に引き込まれる)</span></b>と覚えれば良い。
<br />
<br />
内分点Dは上の式(11)でもあらわせる。<br />
〔式(11)は、頂点Cに対向する点Bを水平線の点にした点Dの高さの頂点Cの高さに対する割合が(1/3)であることをあらわしている。〕<br />
位置ベクトルDの式(11)は、係数が1の位置ベクトルBと、図形の平行移動によっても値が変わらない(位置ベクトル以外の)ベクトルBDと、を合成した式である。この式(11)のような位置ベクトルの式の場合でも、位置ベクトルB(のみ)の係数の和が1になる。 <br />
<br />
《位置ベクトルと普通のベクトルの違い》<br />
図形を原点Oに対して相対的に平行移動しても変わらないベクトルが普通のベクトルであり、<br />
図形を原点Oに対して相対的に平行移動すると変わるベクトルが位置ベクトルである。
<br />
<br />
《外分点の公式》<br />
外分点Pの位置ベクトルOPをあらわす公式は以下の公式である。<br />
<img border="0" data-original-height="783" data-original-width="424" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlSnfiqQVdPP7vxN3AqAI0KZEQ3ttga5tT8D9HzJ_PJgPm0odh6g-SitcKkdDemPOya2SuILmIxcXe-vaTBMiBGs2vjO1YO6M7WyTRzCRhXdkAdq3zH6A6oBx9qlSFuaPmovn13Xf1Rl5xwCwi976EkceMCueh-CzZEeseHiATudQpSiM51Dq30F47iQmB/s16000/g252a.jpg" /><br />
<img border="0" data-original-height="775" data-original-width="751" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYWfi10B02d934q-Ud-0MddHlkxNh4gEsx4XZqsZ1EQ4Xzk3I_fqO7pqFWgBC5dZ09VLzVeyRk21J3p6rDWvQubma7EDlRMUgZyQumPwMJGsmACUaF6sbLw-jycLg69gTYHPOa2sgTRL7W2u97VP7xeIFw8pQ1J0BjjPHtBL9voQmYy266zhMh1pATGyWs/w620-h640/g253.jpg" width="620" /><br />
(外分点の公式おわり)<br />
<br />
《平面の点の位置ベクトルを4点であらわす》
<br />
<a href="https://schoolhmath3c.blogspot.com/2014/02/blog-post_5.html" rel="nofollow" target="_blank">以下の図の垂心の位置ベクトルの式は、外心の位置Gを含む位置ベクトルの式であらわせ、位置ベクトルの公式を満足する。 </a><br />
<img border="0" data-original-height="736" data-original-width="525" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYu7kD0JOFWfZqcXyIMRtUISODj86OgRMXh_aEX1dOKISO3HInsVSNQGWASKEE8hYuafA2_7iJzKvvOKACfQ3k0_hwp2-mOmu4NKoUQuyetmnpSpC8WCdsqClNvFfgAjSb77FDL7KsZEiSBlMO02O0qOj3qcWbIFi9si80h6IcI4K3kCzeEPLbRUtg3WG2/w457-h640/g116.jpg" width="457" /><br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">リンク:</span><br />
<span style="font-size: large;">
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2022/08/blog-post_29.html" rel="nofollow" target="_blank">ベクトルの公式一覧</a><br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html" rel="nofollow" target="_blank">高校数学の目次</a></span>
<br />
<br /></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-7359295411840812092023-10-25T08:38:00.015+09:002023-11-21T09:15:16.392+09:00三角形内の点Pからのベクトルの式と三角形の面積比と点Pの位置<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/10/blog-post_58.html" rel="nofollow" target="_blank">《ベクトルの分解の公式》</a><br />
先ず、下図のように、三角形ABCの頂点Aから点PまでのベクトルAPは、<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/10/blog-post_58.html" rel="nofollow" target="_blank">ベクトルの分解の公式によって、以下の式であらわされる。</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/10/blog-post_58.html" rel="nofollow" target="_blank"><img border="0" data-original-height="673" data-original-width="499" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNScbs6T5tixMOKgNF2k8IlCdV9PadCzaEUlg0t0FdoCCJOnk8MuSfaiHc_7L9G0tWay1pdsfpCdqT1KGmMsqaKM3N_aUsWSvtuCzplkSXL6LhLXWKzlj-Y5EbKMrirMeV8IriurQGNx8GZM4U6sFSkHR1rbWHd4DkR0331Orhy_88NflTGUPrkm4K_UCE/s16000/g082.jpg" /></a><br />
この式を同値変形すると、以下の式が得られる。<br />
<img border="0" data-original-height="532" data-original-width="705" height="483" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGJXMja2SJG4ygSwcB8N1pjthCO4HuE5_Ny_aJ_VouCsBUVPv3gQuOxiMXBAAjiAJHpyVrDYOIZc0VBMZKGJzJQJ4FhZ8WuquJ1Sn6c8zWmKJpYXo_Lz6FBwMAN0dedFBgQ9V4Kl9CHJ2DNpIRz0rTh1VaRtm2L31NDKz_whBh55vlIehPmpvJZszLE_2P/w640-h483/g083.jpg" width="640" /><br />
《三角形の面積の比の係数を持つベクトルの和が0ベクトルになる公式》<br />
上記の式は、三角形の面積の比の係数を持つベクトルの和が0ベクトルになる公式である。<br />
<br />
この公式は、以下の図のように、点Pから三角形の頂点までのベクトルの所定係数の和が0ベクトルになる式である。<br />
<img border="0" data-original-height="556" data-original-width="457" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_6iOZudJLkDLdMQSCcWRQXMmCEHz3WNC5CSG3lb6Ax0C3hGDuTWXVGRw4cKcY_Cj7GQGtC80JGprWUK93KDciEyRuOpW3hjuVbmlgDEf8I5M7oHnWlarU_odspzPsmleKHyZV2eSmxJc9BNki3l3rgQ4r2eJqfA-NOTLVFU2MTREbdBdFZPj-VWiyaU9n/s16000/g085.jpg" /><br /> この式のように、点Pから三角形の頂点までのベクトルの所定係数の和が0ベクトルになる式が成り立つ場合に、この式を以下のように同値変形する。<br />
<img border="0" data-original-height="567" data-original-width="759" height="478" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJDGuvYu2PiyCDbOF4iNIwyPFUKB-t_BTCzyztj7ssCg5sBQ_AzXCGEwVfJA4hG83GaZTH3O0Ipfsgxl0FMzt63iGqFNJqMGVpH4jULLrzStCjhz_LT1GPMMnw9yCyawy9fg9DtEFA4LFu1FNcZTWOnyDbBrpuIQM_dtJmiPOWzrr5BFEHeOGdMIV6oAVd/w640-h478/g084b.jpg" width="640" /><br />
《点Pの位置ベクトルの公式》<br />
上記の式のように、先の点Pと三角形の各頂点を結ぶベクトルで表した等式から、点Pの位置ベクトルを、先の等式と同様な形をした、頂点の位置ベクトルで表す式が得られるという公式がある。 <br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">この三角形の形を具体化する。<br />
【問1】<br />
以下の図のように、3つの単位ベクトルPA,PB,PCが以下の式1を満足するとき、点A,B,Cを頂点とする三角形ABCの各辺a,b,cの長さを求めよ。<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2018/08/blog-post_19.html" rel="nofollow" target="_blank">(この問題は、ベクトルの内積を学んだ後で解いてください)</a>
<br />
<img border="0" data-original-height="589" data-original-width="487" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6UVr3rXw9Jkunw5diYFXU4GmL_bhwzC4CQtk3BRpW-9M1Zho3ws0Z0EHAGZ_sGLr7sqjyzmCyaN83JY49mlzYI1kxXw09EpYOIJ4EOqC6UjNn1D_81YuLeUJWJ3dDpBlhlNEiVovAqoNN7wbVx4B9X2DYmx7PLrpI17mNNs-5HGdMGgaNqE9TEw-WYOjJ/s16000/g087.jpg" /><br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/10/blog-post_26.html" rel="nofollow" target="_blank">この問題の解答は、ここをクリックした先にある。</a><br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">リンク:</span><br />
<span style="font-size: large;">
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2018/07/blog-post_2.html">三角形の3頂点のベクトルの張る三角形の面積比の公式</a><br>
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></span>
<br />
<br /></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-24815351477412122352023-10-21T18:22:00.009+09:002023-10-25T13:00:46.430+09:002次元ベクトルの分解の公式の要約<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【課題】</span><span style="font-size: large;"> </span><br />
<span style="font-size: large;"> 以下の2次元ベクトルzと、</span><br />
<span style="font-size: large;">単位ベクトルaとbと、</span><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;">それらのベクトルを反時計回りに90度回転した単位ベクトルa<sub>v</sub>と単位ベクトルb<sub>v</sub></span>があるとき:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0Ar4S9TtxNVeljCEFuPHPiRcetQpDKu_Cv79hpaxitKEN7tnetX7gnwzp25vMpiMgtLHsGMlmqqiG93Swd3B_sr_4C82oeRw2l5s9vh-7jGoYT39IOc9pCdYlB3bNkriMBel133PLmRb4/s1600/d465a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="165" data-original-width="378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0Ar4S9TtxNVeljCEFuPHPiRcetQpDKu_Cv79hpaxitKEN7tnetX7gnwzp25vMpiMgtLHsGMlmqqiG93Swd3B_sr_4C82oeRw2l5s9vh-7jGoYT39IOc9pCdYlB3bNkriMBel133PLmRb4/s1600/d465a.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">ベクトルzをベクトルaとbであらわす公式を導き出す。</span><br />
<span style="font-size: large;">(課題おわり)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(補足)</span><br />
<span style="font-size: large;">ベクトルaを反時計回りに90度回転したベクトルa<sub>v</sub>を、</span><br />
<span style="font-size: large;">更に反時計回りに90度回転したベクトルは-aになる。<br />
そのため、ベクトルの内積<br />
<img border="0" data-original-height="85" data-original-width="109" height="85" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCJSjaUR3zUeFZ0I6dd5SqRvGYjnnobS4tnaRUYhEiWiZjaF62OYUdtbvdgUNN9n0NZCUkvau2-X58_tPkaVaZhUVP7XSVcLUtpmufW0RPyG9RRYMrzPwPE_Ceu9qQKJd6qfn0O01eW3RHNkIuQV-tjYx4el1gsKsftAvDw13xvxXTZeDm47nx_cnfzkha/s1600/g086a.jpg" width="109" /><br />
を、両ベクトルを一緒に反時計回りに90度回転して、その後で両者を内積した値は同じ値になる。</span><br />
<span style="font-size: large;">その関係は、以下の式であらわされる。<br />
<img border="0" data-original-height="88" data-original-width="268" height="88" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNInFSs8PG-oQxcLTHmDL9fRVKl92IqQ4pgmy-oy08PUuBSCgm1xaUPfio-s_w3f70zIaX1J9jSJrmqMACIT2HTQvOLIYMRnwCVvjP9zexGLKh4wjshM7kJ2xjNAI3bj8o1g3fBpxa8I_t8zNk6Upd4_O9S2msWS_iHess31O0vkO5OzhR_hfWm5inYall/s1600/g086b.jpg" width="268" /><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;">一方で、</span><span style="font-size: large;">ベクトルaと</span><span style="font-size: large;">ベクトルbと</span><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;">、それらを左回りに90度回転したベクトルa<sub>v</sub></span>と</span><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;">ベクトル</span>b<sub>v</sub></span></span>との間の</span><br />
<span style="font-size: large;">以下の式の内積は、</span><br />
<span style="font-size: large;">全ベクトルを左回りに90°回転する操作を繰り返すと、</span><br />
<span style="font-size: large;">以下の関係が成り立つ事が分かる。</span><br />
<img border="0" data-original-height="229" data-original-width="214" height="229" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinjkXKd23q7zmB6-AVaD4Ucej7-mKljqc-NC0xNGUSqhxlDS1ulGakOnPBl7RtnzNTsz6-UwoprJmzRib5jx7O31iEpmiRWGR_OUA-8Ghuc4TkTpduIgGlXbTUglOiOncmrI6EzcNr_I0tm-wGzMu2Cq30RGuMMW_WtI6Gdu8vBg5V1kfWBm4hf6Hk-Peg/s1600/g086c.jpg" width="214" /><br />
<br />
<span style="font-size: large;">【解法その1】</span><br />
<span style="font-size: large;"> 下図に、ベクトルaとbを書き、更に、そのベクトルを反時計回りに90度回転した単位ベクトルa<sub>v</sub>と単位ベクトルb<sub>v</sub>を書き加えて考える。すると、以下の式の関係があることがわかる。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNu0Y2WAxCiaSQcFafTptTc2KJJK9WenTZCCAwt81pyqogvJESMAsy71vEmpJWQid-yQ34ehCjfjwx_3RHLo5AaDJ2nJH0Ssk592_oVpY5FAQD3DXqmT9xLGTouNxhUIuUOHzlWuoQGMxs/s1600/e776.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="554" data-original-width="441" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNu0Y2WAxCiaSQcFafTptTc2KJJK9WenTZCCAwt81pyqogvJESMAsy71vEmpJWQid-yQ34ehCjfjwx_3RHLo5AaDJ2nJH0Ssk592_oVpY5FAQD3DXqmT9xLGTouNxhUIuUOHzlWuoQGMxs/s1600/e776.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">ベクトルOZは、上図の式、又は、以下の式6で、ベクトルaとbであらわせる。<br />
式6:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjT_-Nv9VkT9MUM4seZuSBQUHP39KA4buZed2MGZMUlhqRaTFmNR6NquIcW_uuGojeoYCwPuX-IFef_SJVLVfMLQKMfHEQYSMAggW1ryr5-PvZgaAsfCM45maztMaPuPtOuNzSkFYo9t-04/s1600/d465c.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="107" data-original-width="285" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjT_-Nv9VkT9MUM4seZuSBQUHP39KA4buZed2MGZMUlhqRaTFmNR6NquIcW_uuGojeoYCwPuX-IFef_SJVLVfMLQKMfHEQYSMAggW1ryr5-PvZgaAsfCM45maztMaPuPtOuNzSkFYo9t-04/s1600/d465c.GIF" /> <br /></a></div>
<span style="font-size: large;">この式6がベクトルの分解の公式である。</span><br />
<span style="font-size: large;">(解答おわり)</span></div>
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;"> ただし、この式6の分母には、以下の関係があることに注意。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVH9KLGhc44dyMt2YI-HUi2fq_c7M1zMcCwBncZ2EBJNceHW4z4zXskbqxUdjWYH3CbikmdBUnph2KkXx2gW51NUKrbV8nScckJsp7S3Xklxo6iXW2RnVojJAKeoKGOtGprzAUAO_2INjw/s1600/d939b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="63" data-original-width="256" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVH9KLGhc44dyMt2YI-HUi2fq_c7M1zMcCwBncZ2EBJNceHW4z4zXskbqxUdjWYH3CbikmdBUnph2KkXx2gW51NUKrbV8nScckJsp7S3Xklxo6iXW2RnVojJAKeoKGOtGprzAUAO_2INjw/s1600/d939b.GIF" /></a><span style="font-size: large;"> <br /></span></div>
<span style="font-size: large;"><br />
(補足1)<br />
この公式は、単位ベクトルaとbとa<sub>v</sub>とb<sub>v</sub>それぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。
</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">【図形で説明】</span><br />
<span style="font-size: large;">ベクトルZの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。<br />
<img border="0" data-original-height="463" data-original-width="387" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiw1jQYPA9bAIfSeDh5zuiPX82uNLKEwr-eL86NB8o1dFCCsS_Gvi9d_hujhIL2jubFJ5ynp2hKqOG4YxtJkzFdZ9U3VocA_7x2qbgKXLMMxE2uQZlNBKInDCY-6dTLCXLgRlMjdKZvOeqS/s16000/e779.JPG" /><br />
この図での三角形OZBの面積の三角形OAB面積の比の大きさのベクトルOA成分を計算している。
</span><br /><span style="font-size: large;"><br />
(補足)</span><br />
<span style="font-size: large;">上の式6の左辺と右辺のベクトルの成分を比較する。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF6fk7gnh18tK6AtduFCAvhEb0QLVbO_ZNyNbfeht5VLfogNxLrKMERtiiuLSyO7RjA9N8GFhOR7bqj78si7L_Gy3H9Rthgkqdp_5in6RUzAGtRJ0Y3F3AnHgoAcXfrfsQsXZCQ2NN_AwB/s1600/d881.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="387" data-original-width="525" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF6fk7gnh18tK6AtduFCAvhEb0QLVbO_ZNyNbfeht5VLfogNxLrKMERtiiuLSyO7RjA9N8GFhOR7bqj78si7L_Gy3H9Rthgkqdp_5in6RUzAGtRJ0Y3F3AnHgoAcXfrfsQsXZCQ2NN_AwB/s1600/d881.GIF" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9Ur9VbV5GFT7YCVYby-rvXdaM3fKnWvHU2TRYCo12BKlFIS7jLfohhA_3zcBFYerh0pcbWdx8xFAHOvWxb2YU3jRmm7c4QyDSNRTt_xS5OGnTOhPWRRuM5qmWh2V83wEIUm1ZdBTanJGw/s1600/d882.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="271" data-original-width="448" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9Ur9VbV5GFT7YCVYby-rvXdaM3fKnWvHU2TRYCo12BKlFIS7jLfohhA_3zcBFYerh0pcbWdx8xFAHOvWxb2YU3jRmm7c4QyDSNRTt_xS5OGnTOhPWRRuM5qmWh2V83wEIUm1ZdBTanJGw/s1600/d882.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">式6の右辺と左辺のベクトルの成分が一致する。</span><br />
<span style="font-size: large;">そのため、式6の右辺と左辺は等しい。<span style="font-size: large;"> </span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;">(補足おわり)</span></span><br />
<br />
</div><div style="line-height: 24pt;"><span style="font-size: large;">【究極の方法】</span></div><div style="line-height: 24pt;"><span style="font-size: large;"> 経験的に分かって来たことですが、問題を解くためにとても役にたつ公式は、このベクトルの分解の公式等を使うよりも、以下の図の方法の方が優れている。</span><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfF31TTllDIutzS8-QocZnzB7NHUGAxznwjgvp1Mt53f52yvetVdNqzbj7h2XzMvyL5TtuGDLrHIRb1Q_y3F0NcziyCfBBJtiicNj9b6DdeWHiCHZffeh5XAE0Q644WbfBhBNhrjbT4Z1L/s522/f275.JPG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="521" data-original-width="522" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfF31TTllDIutzS8-QocZnzB7NHUGAxznwjgvp1Mt53f52yvetVdNqzbj7h2XzMvyL5TtuGDLrHIRb1Q_y3F0NcziyCfBBJtiicNj9b6DdeWHiCHZffeh5XAE0Q644WbfBhBNhrjbT4Z1L/s16000/f275.JPG" /></a><br />
<span style="font-size: large;">上図のように、ベクトルaとavによる直交座標系を導入して、上の式の様に、ベクトルZをその直交座標系への成分に分解して問題を解く方が、問題を解くのに役に立つ。<br />
</span><br /><span style="font-size: large;">リンク:<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/09/blog-post_17.html">ベクトルの合成の公式と分解の公式と2元連立方程式の解</a>
</span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</span>
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-36039857473369188472023-10-21T17:16:00.005+09:002023-11-16T21:22:16.526+09:00三角形の高さベクトルhの公式の要約<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span id="bekutoru" style="font-size: large;">【三角形OABの高さベクトルh】
</span><br />
<img border="0" data-original-height="654" data-original-width="618" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSvv9usShk5bVZu64XTYMRLo6ZWJZYq3FOCmmMlprEwfN_AkHy5ntTmLqevot00-LV9I_Mf3rBSpWz25V_8dU3izQI9vU2s13TLs9XzCs0hCWHstEih8YLxFCeHgWryNAD5oKW2dVkIJVvUGke5fT48zySKyezhE7gucmp-BQE7xioFAp3AtODjfETkQin/w378-h400/e723.jpg" width="378" /><br />
<span style="font-size: large;">
三角形OABの高さベクトル h は、上の式であらわせます。<br />
<a href="https://puchohan.com/column/math-column/normal-vector" rel="nofollow" target="_blank">以下の図に示すように、高さベクトル h は直線の方程式の係数であらわされる法線ベクトルに平行です。</a><br />
<img border="0" data-original-height="748" data-original-width="637" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKiOqSxXU5Uv2JZ4LIkyH1QUd05U6qQxzAbjmtWxfrF4bCIYAAR-BZDYOtvT8CMkhk9fypPvVRyiLdq2sThyphenhyphen8zunHIwxDEewXy11a36-BEe0M_bcD9_OBN5l_V0k2aR5gr5nXv5FVNmqMCoLAcr04MFKIPpp0L2DI36TaZ4YIlpHyt4dN9Pjgb4jlR4v2o/w545-h640/g060.jpg" width="545" /><br /><br />
</span>
<span id="taisho" style="font-size: large;">
下図は、直線に関して点Dに線対称な点Eの座標のベクトルの公式をあらわす。<br />
<img border="0" data-original-height="747" data-original-width="709" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisUTVifXN8qDZIxXSBh1k4cKuKmrIUsLff7B-G5xdBKoeTr_YYqT9nZ3EOe74Q8ujgLC-mTWaLEEl3h7QUBwsRGFP_7BbEpYUKvPYJihTtsfNm6kwzlesOxHyuXIedl9ebtliIofGGn9c5uWj1XnydJWA2YPNJWEYhmCLXAWtu5bW_2jkMs4miQty-0Idc/w608-h640/g063.jpg" width="608" /><br />
直線上の2点を点Cと点Zとすると、<br />
<img border="0" data-original-height="192" data-original-width="583" height="132" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7moHw10LaMSmKxzSwRaORo0cXwpngkdegkNRLRgpvJDzruLeEarYrq-KQGJ2Ls-2hi5fLnrpSi3WiijKsDgTtrj_mrHQnIPh4PQKzDjmtQQBQHk-Q_B5KnUERmFj6kohS8rmrPcvmQ1iZ4dUYk0e9sp9D_QNyDBORr-owbWPYfSpliUz96yyKQ0atQBKR/w400-h132/g064a.jpg" width="400" /><br /></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2016/11/blog-post_25.html">三角形の高さと外接円の半径の関係</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2018/09/blog-post_30.html">三角形の垂心の図の全ての線分を三角関数の積で表す</a>
</b></u></span><br />
<br /></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-536338923599896182023-10-20T21:14:00.008+09:002023-10-21T10:30:07.351+09:00アポロニウスの円の問題<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問題】<br />
以下の式を満足する複素数zが複素数平面上で描くグラフを求めよ。
<br />
<img border="0" data-original-height="76" data-original-width="541" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi825oZNBa0O2aBZoHFJhlWOjlbDgszHVfX_1_pQlN09BoGewhru7qJnQFBr7K7QwMDj9NsCfM-TCCCeaGxdrBhGMv_nK4AKw4_BdzOE6kCt0SGoUDE4El6IhJ12YDwGdXv0jCVx-ZuipZToZqqUZce9Wg91i0Me6pnyV8-45NRU_pAxxauGU9WLX2-ZMRB/s16000/g066a.jpg" /><br /><br />
</span>
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/10/blog-post_20.html">この問題の解答はここをクリックした先にあります。<br />
自力で問題を解いた後で解答を見て下さい(参考になる公式を書きましたので)。</a><br /></span><br /><span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></b></u></span></div>
<br />schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-85704770059132530052023-10-15T16:32:00.010+09:002023-10-18T10:27:38.924+09:00関数と区間と定義域<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">高校で</span><span style="font-size: large;">は、中学で学んで来た関数</span><span style="font-size: large;">の概念を広くした関数を学びます。</span><br />
<br />
<span id="teigi" style="font-size: large;">
《1.1 関数の定義(definition of function)》<br />
2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます.ここでは,実数の集合を考えます.<br />
Rを実数全体の集合とします.<br />
ある実数の集合D に属する各数x に対して,実数y が1 つ定まるような規則 f を、<br />
D からR への1 価関数(single-valued function),または、1変数(の1価)関数、または単に関数といいます.<br />
<img border="0" data-original-height="520" data-original-width="617" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDjyljoo4_obkcJJLg6m_OrM_EVKBTzir3bhmyiJXn0f62TRTFcSfOtUqhksm6XRgGalHFjf6VAwrrQl-AOhkEhLnJmg5Fg4gUQzVutSmxVUQqu2Gyybsz_0m5pelCzAuEz8XQxEMlUZK8v9GiNYtbOPX5x6-YvfrrvZQ-m5pWhMx3n_smuGenIDVLEw/s16000/g31.JPG" /><br />
ある実数 x の集合Dを<span style="color: red;"><b>定義域</b></span>と呼びます。<br />
すなわち、関数f(x)は、定義域(ある実数 x の集合)Dと組み合わされて定義されています。<br />
<br />
ある実数 x の集合Dの要素の実数 x はどの数を選んでも良いです。その集合Dの要素の選び方の違いによって違う関数が定義されます。<br />
<br />
そのように、中学生のときから教わって来た「定義域」という言葉の定義が、高校以上の数学では、所定の区間を指すだけではない、区間内の数の集合の様々な部分集合を定義域Dにできるように変わりました。<br />
<br />
変数xの数直線の中の自然数だけの集合の定義域Dもあります。<br />
<br />
中学で教わって来た関数の定義域Dは、数直線上の区間だったと思います。<br />
</span><br />
<span id="kukan" style="font-size: large;">
<a href="http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/syuugou/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/syuugou/kukann.html"><span style="font-size: x-large;">ーー【区間の定義】ーー</span></a><br />
<span style="color: red;"><b><u>「区間」という数学用語は、変数xの数直線上の「一繋がり(ひとつながり)」になった範囲内の、実数のすき間がない1つながりの実数の集合をあらわす</u></b></span>数学用語である。<br />
<a href="http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/linear_alg/linear_alg_2016_10_05_2nd.pdf" rel="nofollow" target="_blank">《神奈川大学》【定義 14.2.4.】<br />
a, b を実数とする. a 以上かつ b 以下の実数をすべて集めた集合を [a, b] と書き, これを閉区
間と呼ぶ.<br />
a より大きくかつ b 未満の実数をすべて集めた集合を (a, b) と書き, これを開区間と呼ぶ.<br />
----定義おわり----</a><br />
</span>
<br />
<span style="font-size: large;">a≦x≦bを満足するxの区間という表現は、<a href="http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/syuugou/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/syuugou/kukann.html">a≦x≦bの範囲内の<span style="color: red;"><u><b>全ての実数</b></u></span>xという意味です。</a></span><br />
<span style="font-size: large;">-∞<x<∞という区間もあります。 </span><br />
<span style="font-size: large;">区間はxの値の範囲を限定するためのa≦x≦bという式とは意味が異なることに注意する必要があります。<br />
変数xの「区間」の性質で大切なのは、<br />
「区間」のなかに変数xの値が隙間なく存在すること。<br />
つまり所定範囲内での隙間が無い全ての実数の集合という概念が「区間」という用語で定義されています。<br />
<br />
「区間」という概念は、「その範囲内の全ての実数」という意味です。<br />
そのため、「範囲」a<x<b という概念と「区間」とは異なる概念です。<br />
<br />
<b><span style="color: red;">「範囲」</span></b>という数学用語は、<br />
「範囲」a<x<b という表現は、xがaより大きくbより小さいという、xが定まる限界を定めるものであり、それが変数xの「範囲」です。
<br />
a<x<b<br />
という表現が「範囲」を意味している。<br />
<br />
範囲で指定された数の集合であって、その範囲内においてすき間が無い全ての実数の集合という意味を込めた概念が「区間」です。<br />
<br />
<b><span style="color: red;">関数の「定義域」の決め方の自由度がとても大きい</span></b>です。<br />
その大きい自由度のうちの1つとして、<br />
a<x<b の区間を定義域にする関数、<br />
という関数の定義域の決め方があります。<br />
区間を定義域にすることは、xは、その範囲内の全ての実数に対して関数値f(x)が定められる規則を関数f(x)とすることです。<br />
<br />
定義域を自然数nとした関数f(n)は、<br />
区間を定義域にしないで、<br />
nが自然数のときにだけ関数値f(n)が定められる規則を関数f(n)とした関数です。<br />
<br />
(関数の例1)<br />
自然数の関数f(n)を考えます。<br />
1≦n≦1000,<br />
f(n)=2n,<br />
という関数があります。<br />
<br />
(関数の例2)<br />
1≦n≦5<br />
f(1)=1,<br />
f(2)=4,<br />
f(3)=2,<br />
f(4)=10,<br />
f(5)=8,<br />
というのも関数です。<br />
1≦n≦5の範囲内の自然数の集合に対して、f(n)を何にするかの規則が定められているからです。<br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"> そのように高校数学では、関数の概念を広くした結果、変数xに対応する関数値を定義する変数xの集合の範囲(変数xを想定する範囲)を明確化する(変数xの<span style="color: red;"><b><u>「定義域」</u></b></span>を指定する)必要が生まれました。</span><br />
<span style="font-size: large;"></span>
<span style="font-size: large;"><br />
《定義域が異なる関数は、異なる関数》<br />
そのように、関数は変数xの定義域の各変数値に対して関数値f(x)を対応付けさせる関係の事です。f(x)をxで演算する演算が同じであっても、定義域が異なれば異なる関数です。そのため、関数の変数xの定義域の数だけ関数が作れる事になります。
</span><br />
<span style="font-size: large;"><br />
また、関数 f の値の集合を「<span style="color: red;"><b>値域</b></span>」と呼びます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:</b></u></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><b><a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></b></u></span><br />
<br /></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-39161948161718260602023-10-13T10:16:00.005+09:002023-10-13T18:04:40.452+09:00放物線の2つの接線が45°で交わる交点の軌跡 <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
2008 年 筑波大学(前期) 【大問6】
</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">【難問】放物線 </span><span style="font-size: large;">C : y=x<sup>2</sup></span> <span style="font-size: large;">上の異なる 2 点 P(t,t<sup>2</sup>); Q(s,s<sup>2</sup>) (s<t) における接線の交点を R(X,Y) とする.<br />
(1) X,Y を t,s を用いて表せ.<br />
(2) 点 P,Q が ∠PRQ = π/4 を満たしながら C 上を動くとき,点 R は双曲線上を動くことを示し,かつ,その双曲線の方程式を求めよ.<br />
</span>
<img border="0" data-original-height="577" data-original-width="442" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7L2FJVysD0N9mtbvMdcDOv6eNJ4KHlu-ryFRhtUK1YBNCqYtFs_XYjzaCo07hkiO_L1cWXhSLvDnvtWa2bBSgFET3DQNsP4YGxdz0lYBJJBVpQzKxzin5LbUNjxzcN-HzT3rIjXUtCVstVUP1EgsHx_pgzc_XJgpTNdGCj9lklqfq5WgNnTgs6HrxPXoP/s16000/g039.jpg" /><br /><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/10/blog-post_13.html">この問題の解答は、ここをクリックした先にある。</a></span><br /> <br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2011/08/blog-post_20.html">放物線の直交接線の交点の軌跡</a><br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></b></u></span><br />
<br />
</div>
</div>schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-70463376006936434582023-09-03T19:02:00.038+09:002024-03-05T09:26:05.240+09:00不定積分とは何か<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
(重要外部リンク)<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_12.html" rel="nofollow" target="_blank">積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方</a><br />
<br />
(ページ内リンク)</span><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#fuseikaku"><span style="font-size: large;">▽被積分関数の単位</span></a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#hajime"><span style="font-size: large;">▽はじめに</span></a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2022/02/blog-post.html" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-size: large;">▽(外部リンク)原始関数とは何か</span></a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#futei"><span style="font-size: large;">▽不定積分とは何か</span></a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#tokutyo"><span style="font-size: large;">▽積分の特徴</span></a><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#kanou">▽積分可能な例</a></span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#sekibunC">▽不定積分に積分定数Cを加える事</a></span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#Cerror">▽不定積分の積分定数Cの扱いの誤り</a></span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#mistake">▽必ずある間違い</a></span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/09/blog-post.html#kougi">▽広義積分</a> </span><br />
<span style="font-size: large;">
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html" rel="nofollow" target="_blank">▽(外部リンク)置換積分等の積分の計算に潜んでいる広義積分</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2022/03/blog-post_8.html" rel="nofollow" target="_blank">▽(外部リンク)変な積分</a> </span><br />
<br />
<span id="fuseikaku" style="font-size: x-large;">【被積分関数の単位】</span><br />
<span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: large;">被積分関数は、均質な基本的な要素の単位で考える。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 具体的には、被積分関数を、全て、1つながりに連続する関数を単位にして考える。1つながりに連続する関数は正しく定義された連続関数です。その、1つながりに連続する関数を扱うのであれば、積分の計算で誤りに陥る事を防ぐことができます。</span><br />
<br />
<span id="hajime" style="font-size: large;">(はじめに)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 高校数学では、「原始関数を求める」のが積分だと言われています。</span><br />
<span style="font-size: large;">しかし、大学で教わる微分積分も調べて、積分とは何かを</span><br />
<span style="font-size: large;">熟慮した結果、</span><br />
<span style="font-size: large;">積分とは「不定積分を求めること」(不定積分とは何かをハッキリさせなければなりませんが)である事である事が分かりました。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">高校生は、ハッキリ教えられないでも、動物的な本能で、</span><br />
<span style="font-size: large;">「積分で求めるべき”原始関数”は1つながりに連続でなければならない」</span><br />
<span style="font-size: large;">という経験を積んで来たと思います。それは、実は原始関数の定義に初めから明示しなければならない条件だったというあいまいさが原始関数の定義にはありました。</span><br />
<span style="font-size: large;">また、求める目標の原始関数の目標を明確化すると、それは、原始関数に近い関係にある不定積分でした。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">積分で正しい答えを求めるために探していたのは、不定積分だったのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(1)不定積分F(x)は、それを微分すると、有限個の微分不可能な点を除く大部分の点で、1つながりに連続した単位の被積分関数f(x)が得られる関数の事です。</span><br />
<span style="font-size: large;">(2)不定積分は、明確に1つながりに連続な関数です。</span><br />
<span style="font-size: large;">(3)不定積分は、原始関数と違って、微分したとき、被積分関数f(x)の数点の関数値と一致しないでも良い関数です。大部分のxでf(x)と一致するだけで良いのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">そういう不定積分を”原始関数”のつもりで求めるだけで良いのが積分の計算です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">以下では、その不定積分F(x)と、原始関数と、被積分関数f(x)との関係を見ていきましょう。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> なお、高校2年の微分積分の勉強のためには、<a href="https://bookmeter.com/books/270259" rel="nofollow" target="_blank">「やさしく学べる微分積分」(石村園子)</a>を読むと良いと思います。高校3年になって本格的に微分積分を学びたくなった学生は、学生が微分積分を無駄なく学べるよう工夫がこらされている本:<a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」</a>を読むと、微分積分が無駄なく勉強できて良いと思います。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">
(積分の計算の基本)積分の基本はリーマン積分<br />
定義6.1(Riemann積分) 同志社大学 押目教授<br />
閉区間[a, b]上において有界(有限な最大値と有限な最小値を持つ)な関数f(x)に対して、<br />
以下のn+1個の有限個の小区間への分割の仕方、および、その小区間内の点ξi(i = 1, 2, . . . , n) の位置のとり方に関係なく、各点の関数値の和Sが一通りに定まる時,<br />
f(x)は閉区間[a, b]において(Riemann)積分可能という.<br />
<img border="0" data-original-height="443" data-original-width="445" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUQyB7XKpBwaeZFYDIKom2AVsD0ZvPYkw4vMxgu43hQen7K6qU50VYbs1oX3AS-NhOpSDVtd4taQDZRZ8PrkU2qPF75L0DSQf_NblE7UjDzet0bxpDUm_xbAh1IGjTYlgKIZXRRxNZ0K13YKEkSHJmtnuQFbMdkY0sLRDXuLiJ6D1dH0LA8xz-Q2CrbWW5/s16000/d331.GIF" /><br /><br />
(リーマン積分の例1)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 下図の左上、右上、左、の3つの各グラフを、x軸の0から値xまでリーマン積分してグラフの面積を計算すると、xの値毎の面積が、3つの場合で共通して右下のグラフになります。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiamZTIZao_F4OecUmu0mEsqX25wImPQB-HofiUibSKYsB0g0kDo_T_aYBMD445FDves1znN3lOwvHL7ydq3lEfO7o2dR5gt2frh8G30pyLJFHL00ehFPuxprLasPXBEWSlr5-ERy3UKNgt/s1600/e321.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="527" data-original-width="605" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiamZTIZao_F4OecUmu0mEsqX25wImPQB-HofiUibSKYsB0g0kDo_T_aYBMD445FDves1znN3lOwvHL7ydq3lEfO7o2dR5gt2frh8G30pyLJFHL00ehFPuxprLasPXBEWSlr5-ERy3UKNgt/s1600/e321.GIF" /></a><span style="font-size: large;"> </span></div>
<span style="font-size: large;">(リーマン積分の例2)</span><br />
<span style="font-size: large;">以下の図の関数f(x)のグラフを考えます。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFcb4-i1hy0D_VEtRFXM3smQWNEjobXw1HkJAFnTnEo_reMvYx_cpJ9ulFMSrN934BWtR26FF_HJhyoOPJuXcBAy6WvS2CmUGZbib8K3kFwhG0qFId1nYcmSH7_6jOKAqrkvbCl8gTv_wl/s1600/d328.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="331" data-original-width="421" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFcb4-i1hy0D_VEtRFXM3smQWNEjobXw1HkJAFnTnEo_reMvYx_cpJ9ulFMSrN934BWtR26FF_HJhyoOPJuXcBAy6WvS2CmUGZbib8K3kFwhG0qFId1nYcmSH7_6jOKAqrkvbCl8gTv_wl/s1600/d328.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この関数f(x)の、</span><br />
<span style="font-size: large;">-1≦x≦3</span><br />
<span style="font-size: large;">の閉区間を小区間に細分した各小区間での関数の値の和が一通りに定まるので、リーマン積分可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数f(x)を積分して、以下の図の不定積分の関数F(x)を求めることができます。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFp1mUZMK_zkfQ8OAnSYmyXqhf81kD1B0RxHWxDNrywWCeyDCc-JAaqzfFBAmxTVrYL2wAbmwBPL2wZLxqJuKREABLfizLZBlHFTmDLDx3HVLYu3JfH3ZR_xBSptOTf3EOj4rjjQjs4LW2/s1600/d329.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFp1mUZMK_zkfQ8OAnSYmyXqhf81kD1B0RxHWxDNrywWCeyDCc-JAaqzfFBAmxTVrYL2wAbmwBPL2wZLxqJuKREABLfizLZBlHFTmDLDx3HVLYu3JfH3ZR_xBSptOTf3EOj4rjjQjs4LW2/s1600/d329.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この様な積分の解は上図のグラフの不定積分F(x)であらわせます。</span><br />
<span style="font-size: large;"> この関数F(x)は、x=0とx=2で微分不可能です。一方、原始関数は、定義域の連結区間内の全ての点で微分可能な関数です。そのため、その微分不可能な点x=0とx=2を定義域の連結区間内に含む関数は原始関数ではありません。この様な簡単なグラフの面積を求める問題であっても、変数xのあらゆる実数を定義域とする原始関数を使おうとすると、問題を解く事ができません。</span><br />
<span style="font-size: large;"> しかし、不定積分の部分として、定義域を連結区間0<x<2に狭くした原始関数を不定積分の定義域の一部に組み込んで使う事ができます。</span><br />
<span style="font-size: large;">上の関数の例では、全実数の定義域の一部の0<x<2の範囲を定義域とするf(x)に対して原始関数F(x)が存在します。それを不定積分に組み込みます。また、定義域が2<xの範囲の原始関数F(x)が存在します。また、定義域がx<0の範囲の原始関数F(x)が存在します。その3つの原始関数を連続につないで不定積分を作れば良いのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 被積分関数の1単位を、1つながりに連続する関数を単位にして考える。1つながりに連続する関数は正しく定義された連続関数です。その、1つながりに連続する関数を扱うのであれば、積分の計算で誤りに陥る事を防ぐことができます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> その1つながりに連続する関数毎に積分する。</span><br />
<span style="font-size: large;">例えば、下図の関数f(x)を考える場合:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg32Eo3oea5Q-rr0AC-qyFbtjJHFXInfTYIbhJcMtDprCkFAByIqSiIqFnZtypdNu-nKePmYkrdqi7p-Xn9EcERloI58dqLj89uMNqTYFL6dDVHASb5pMFhms_rOIEtk4KkqVRnrVFrfsrI/s1600/e331.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="528" data-original-width="649" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg32Eo3oea5Q-rr0AC-qyFbtjJHFXInfTYIbhJcMtDprCkFAByIqSiIqFnZtypdNu-nKePmYkrdqi7p-Xn9EcERloI58dqLj89uMNqTYFL6dDVHASb5pMFhms_rOIEtk4KkqVRnrVFrfsrI/s1600/e331.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">x<-1での1つながりに連続する関数と、</span><br />
<span style="font-size: large;">-1<x<1での1つながりに連続する関数と、</span><br />
<span style="font-size: large;">1<x での1つながりに連続する関数を、</span><br />
<span style="font-size: large;">別々の3つの関数と考えれば良いのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> そのように、関数全体を、均質な基本的な要素の関数に分割して、その基本要素だけに積分の公式を適用する。</span><br />
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2022/02/blog-post.html" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-size: x-large;">【原始関数とは何か】(ここをクリック)</span></a><br />
<span style="font-size: large;">
-----【原始関数の正しい定義】---------------<br />
(原始関数の正しい定義は、1つながりに連続で、かつ、微分可能な関数F(x)をf(x)の原始関数と定義します) <br />
すなわち、関数F(x)が、連結区間a<x<bのどの点でも連続、かつ、微分可能な関数であれば、F(x)を微分して導関数f(x)が求められる。この場合に、F(x)を関数f(x)の原始関数と言う。<br />
<a href="https://www.amazon.co.jp/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6-%E7%AC%AC1%E5%B7%BB%E2%80%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%B7%A8-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%A7%A3%E6%9E%90-%E7%AC%AC-1%E7%B7%A8/dp/4753601633/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=10FD1E429A3D6W9346KZ" rel="nofollow" target="_blank">(藤原松三郎の「微分積分学 第1巻」)</a><br />
すなわち、原始関数は連結区間における連続関数であり1つながりのグラフであると定義されています。<br />
-------原始関数の定義おわり-----------------<br />
</span>
<br />
<span id="futei" style="font-size: x-large;">【不定積分とは何か】</span><br />
<span style="font-size: large;">定積分の計算については、</span><br />
<span style="font-size: large;">連結区間a≦x≦b内の全ての実数の点で関数f(x)が連続であれば、すなわち、関数が1つながりで連続していれば、</span><br />
<span style="font-size: large;">いわば実用的原始関数と言える、1つながりの関数である不定積分F(x)を使って、以下の計算でその区間の定積分が計算できる。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvBV1opjA9BRArtJhGqAuB_1fTiiYLs7JPH2YH1Xzcc4XJQlvb7J9Pz8KbCCgyO1kiuQjT3Zh1B7XO6FeFSJBoL2pITIbXaos4kxDcG8DNmj8RLr16BiOrHAeio0lhLrulQh-fsl1T0m-z/s1600/d359b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="80" data-original-width="378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvBV1opjA9BRArtJhGqAuB_1fTiiYLs7JPH2YH1Xzcc4XJQlvb7J9Pz8KbCCgyO1kiuQjT3Zh1B7XO6FeFSJBoL2pITIbXaos4kxDcG8DNmj8RLr16BiOrHAeio0lhLrulQh-fsl1T0m-z/s1600/d359b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">連結区間a≦x≦bの全ての点で1つながりに連続な関数f(x)を積分すると不定積分F(x)が求められ、上式の右辺によって定積分が計算できるという定理<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2018/05/blog-post_11.html">(微分積分学の基本定理)</a>があります。</span><br />
<span style="font-size: large;"> また、<span style="color: red;"><u><b>不定積分F(x)は、常に1つながりに連続な関数である。</b></u></span>1つながりに連続で無い関数F(x)は不定積分では無く、1つながりに連続で無い関数F(x)に上の式の右辺を適用して定積分を計算すると間違った答えになります。<br />
<br />
【間違った計算の例】<br />
以下の図の関数F(x)を考える。</span><br />
<img border="0" data-original-height="569" data-original-width="559" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEg1WSIftGK8HG1Gax5AZ8VdU1mEieg0j83VxxN93344s5sh4Oc-OdtSqWwYw8QbPolOiL5HUQT0SwzAsnrhBy6wS71ZZfzYg10b7t8aBxHfItkabsrxm717AqQjFgcPFY86UrXGhePfYTakhgd7oNchNutF0R3bshjIl7tMPWHEoFHK-iWd9l-5IaKbhw=s16000" /><br />
<span style="font-size: large;">
F(x)=C2, (x<0)<br />
F(x)=C1, (x>0)<br />
例えば、C1=1, C2=2, とする。<br />
この関数F(x)を微分して積分してみます。<br />
先ず、微分します。<br />
F'(x)= f(x)=0, (x≠0)<br />
次に、このf(x)を積分します。<br />
ここで、関数f(x)が、変数xが定義される範囲が、連結区間内の全ての実数であること。その連結区間内の全ての実数の変数xで関数f(x)が定義されていなければ、その関数は(変数xの定義域とセットになっているのが関数です)積分してはいけません。<br />
f(x)=0, (x>0) は積分できます。<br />
f(x)=0, (x<0) も積分できます。<br />
しかし、<br />
f(x)=0, (x≠0) は、x≠0 の範囲でx=0の点ではf(x)が定義されていないので、その点をまたいで積分してはいけません。<br />
もし、それを無視して無理に積分すると、<br />
∫F'(x)dx=∫0dx=C, x≠0,<br />
という積分になりますが、<br />
その結果の積分定数Cをどのような値に調整しても、それは、元の関数F(x)には決してなりません。<br />
(「元の関数F(x), (x≠0) は、変数xで関数F(x)が定義されるxの範囲が、x=0が除外されていることで、そのxの範囲(定義域)が、連結区間内の全ての実数では無い関数でした。)<br />
(また、F(x), (x≠0) は、1つながりに連続な関数では無いので、そのことからも、それは決して不定積分の結果の関数にはならないということもわかります)
</span><br />
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2018/05/blog-post_11.html" rel="nofollow" target="_blank"><span style="font-size: large;">(微分積分学の基本定理)</span></a><span style="font-size: large;">による不定積分の定義</span><br />
<span style="font-size: large;"> 関数y=f(x)が、</span>
<span style="font-size: large;">連結区間a≦x≦b</span>
<span style="font-size: large;">の全ての点で連続とする。</span>
<span style="font-size: large;">その条件が成り立つならば、必ず、<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_12.html#sekibun-what" rel="nofollow" target="_blank">関数f(x)を、それが連続する連結区間a≦x≦b<br />
内で定積分(定積分はリーマン積分によって定義されます)することで、以下の関数S(x)が求められます。</a><br />
</span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" /></a></span></div>
<span style="font-size: large;">
(積分可能である)<br />
そして、次のことが成り立つ。</span><br />
<span style="font-size: large;">(1)S(x)は、</span><span style="font-size: large;">連結区間a<x<bで、</span><br />
<span style="font-size: large;">S'(x)=f(x)</span><br />
<span style="font-size: large;">になり、(正しい定義の)原始関数の1つである。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">この<span style="color: red;">S(x)の式はf(x)の不定積分の定義</span>になっています。<br /></span><br />
<span style="font-size: large;">上の式で積分して計算される不定積分S(x)は、定義域が、積分可能な範囲に限定されている結果、定義域が連結区間に限定されています。</span><br />
<span style="font-size: large;">そして、S(x)は、必ず、その定義域で1つながりに連続した関数になります。
</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(注意1)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 以下の関数f(x)は1つながりに連続な関数では無いので連続関数ではありません。 </span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCpGUmDDUWSmEQE77Vyh_Enh3uwHn0R8M-AAO9SGUTUAow19tC4miPOOBI1P7Lut9kF-l6ARp1zbex8zv6DSFC2QhaDLa6AImzMcZkoklT7vuedK6hHMjQLeY0R6vGMlk9cGssHRnRQ2FF/s1600/e334.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="413" data-original-width="589" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCpGUmDDUWSmEQE77Vyh_Enh3uwHn0R8M-AAO9SGUTUAow19tC4miPOOBI1P7Lut9kF-l6ARp1zbex8zv6DSFC2QhaDLa6AImzMcZkoklT7vuedK6hHMjQLeY0R6vGMlk9cGssHRnRQ2FF/s1600/e334.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_16.html">高校教科書の連続関数の定義:</a><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_16.html">「関数 f(x) が、定義域のすべての x の値で連続であるとき、 f(x) は連続関数である。」</a>は定義の言葉が足りていない。連続関数f(x)の正しい定義は、1つながりに連続な関数のことである。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">この切れ切れのノコギリ状の関数f(x)を不定積分した関数F(x)を求めてみます。<br />
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhecuH37zjZlOlhI-fInYr8x2Dc5gr252uQMe0vJ2v6cEFsKVQP5rx5CkrBVWXLp39ugLZFq-zQBeLayn-PgV7OZUtLnydxNDhIEfDc19yY_WdJOx3vT20G37CKzM2OvflzMKJALGw9pufg/s1600/e335.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="431" data-original-width="585" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhecuH37zjZlOlhI-fInYr8x2Dc5gr252uQMe0vJ2v6cEFsKVQP5rx5CkrBVWXLp39ugLZFq-zQBeLayn-PgV7OZUtLnydxNDhIEfDc19yY_WdJOx3vT20G37CKzM2OvflzMKJALGw9pufg/s1600/e335.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">ここで、関数値f(x)が定義されていないx=0.5の点等では、そのxの値の近傍までf(x)を積分して、その積分の極限値をx=0.5の点等での積分値に拡張する積分をしました。</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">この関数F(x)を微分すると、x=0.5, 1.5, 2.5等では、F(x)の微分係数が計算できません。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数F(x)は原始関数ではありません。 </span><br />
<span style="font-size: large;">そうなる原因は、被積分関数f(x)が1つながりに連続では無いので連続関数では無かったから、<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2018/05/blog-post_11.html">(微分積分学の基本定理)</a>の前提条件である、関数y=f(x)が、連結区間a≦x≦bの全ての点で連続である条件が成り立っていなかったからです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> この不定積分S(x)の微分の計算については、</span><br />
<span style="font-size: large;">大学生以上になると、<br />積分の閉区間の端部x=a,bでも、<br />片側微分だけがあれば、微分可能であるとして、<br />微分係数が定義されています。</span><br />
<span style="font-size: large;">(2)F(x)を、連結区間a≦x≦b
<span style="font-size: large;">上で1つながりに連続な関数</span>f(x)の任意の不定積分=1つながりに連続する関数とすると、<br />
</span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy6WV2oocCJMHxXeYIWrmu54QTFCHQ8Hc7gXsOlBMonby1Jrs0M0VkNPRi0wVrGm1B1Vg6nfQSOjr9S_wuOSGqDprecu73INQLztcsY5GN1aaeLFsMxVEVOz7rzMJ7J2X3YtDcL4UJEG7h/s1600/d818b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="85" data-original-width="446" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgy6WV2oocCJMHxXeYIWrmu54QTFCHQ8Hc7gXsOlBMonby1Jrs0M0VkNPRi0wVrGm1B1Vg6nfQSOjr9S_wuOSGqDprecu73INQLztcsY5GN1aaeLFsMxVEVOz7rzMJ7J2X3YtDcL4UJEG7h/s1600/d818b.GIF" /></a></span></div>
<span style="font-size: large;">
が成立する。</span><br />
<span style="font-size: large;">この式では不定積分F(x)を使って計算するが、被積分関数f(x)が連結区間a≦x≦bで1つながりに連続な関数である場合は、この式に原始関数を使っても良い。</span><br />
<span style="font-size: large;">(定理の定義おわり)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> すなわち、この微分積分学の基本定理によって、</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)が連結区間a≦x≦b上で連続であるならば、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分S(x)やF(x)が、f(x)のその範囲内の積分で計算する事で求められる事が保証されています。</span><br />
<span style="font-size: large;"> そうして計算して得た1つながりに連続する関数である不定積分F(x)を使って、</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)が連続である範囲の連結区間a≦x≦bでの定積分を、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)で計算できる事が保証されています。</span><br />
<br />
<span id="futei" style="font-size: large;">【不定積分の定義の拡張】</span><br />
<span style="font-size: large;">関数y=f(x)の定義域が連結区間a≦x≦b</span><br />
<span style="font-size: large;">であるとする。</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)は不連続な関数であっても良い。</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)が、その定義域内で、積分の起点の変数値aを選んで、リーマン積分可能な範囲の変数値xまで以下の計算をする。 </span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" /></a></span></div>
<span style="font-size: large;">
その計算の結果のS(x)がf(x)の不定積分である。</span><br />
<span style="font-size: large;">なお、不定積分S(x)は、以下の2通りの計算で得る両方の関数S(x)をつないで得る。</span><br />
<span style="font-size: large;">(1) </span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)の定義域内で積分の起点の変数値aからxまで、ただし、x>aという値まで積分した関数S(x)。</span><br />
<span style="font-size: large;">(2) </span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)の定義域内で積分の起点の変数値aからxまで、ただし、x<aという値まで積分した関数S(x)。</span><br />
<span style="font-size: large;">(3)</span><br />
<span style="font-size: large;">以上の2通りの計算で得る両方の関数S(x)をつないで得る関数が、不定積分S(x)である。</span><br />
<span style="font-size: large;">(4)</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)の積分の起点の変数値aの左右の方向へのxの積分可能な範囲が不定積分S(x)の変数xの定義域である。</span><br />
<span style="font-size: large;">(5)</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分S(x)の値は、積分の起点にする変数値aをどの値にするかによって、所定の定数Cが足された値にシフトする。ここで、全ての原始関数を不定積分が包含するように関数の定義を拡張するため、不定積分は、S(x)に積分定数Cを加えて、</span><br />
<span style="font-size: large;">S(x)+C</span><br />
<span style="font-size: large;">(Cは積分定数)とあらわす関数を再定義した不定積分にする。</span><br />
<span style="font-size: large;">再定義された不定積分は、全ての原始関数を包含する関数となる。また、積分定数Cの値によって関数の値を自由に増減できる扱いやすい関数になった。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2020/03/c.html">(注意)再定義された不定積分と積分定数Cについての注意事項は、ここをクリックした先のページを参照のこと。</a> </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(6)不定積分は、1つながりに連続な関数になる。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 不定積分は、連結した定義域で1つながりに連続な関数です。これは、積分可能の条件を緩めた<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html#kougi" rel="nofollow" target="_blank">広義積分</a>であっても変わり無く、逆に、不定積分が1つながりに連続する範囲を、<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html#kougi" rel="nofollow" target="_blank">広義積分</a>における積分可能な範囲にしています。</span><br />
<img border="0" data-original-height="96" data-original-width="337" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmBNocsTWcBMcrVkz-fii_MZtQqtu4dNQMQe8-eBq5M_VhgD0lAUvJhyayZGegU0uxLZoq60fYj3PSvU8xjaYb5yJuOUi4QNJmj5VmWtGUkzi4unTYPSAPNUsGyyGBrLYmcIJrKLIkuQQa5nIDczt-wT4fj7WWanQ_nZXeWSO0PLjYhV5MVXmMKX1jOvor/s16000/f175a.GIF" /><br />
<img border="0" data-original-height="634" data-original-width="729" height="557" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdkmz6e8BYSjnHU98CNgFX88vH_sZg5HwR-EinKmi3o4jbVKZtHU6bimP4QLAp8VisvNJ2z-cKlpqov-ADeb5rSTQCidJCCk9-p76vphOHKzAejzYv9D2Oz7kIhnkYzp_eP9NF9BnfRPNq2eHW_KRY542mUkAmrtheuAzlg-sB66XN9IrXwPzhHMLrFK0o/w640-h557/f437.JPG" width="640" /><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(7)連結区間で1つながりに連続なグラフの関数f(x)の不定積分F(x)は、その連結区間で1つながりに連続、かつ、微分可能で、F’(x)=f(x)になる。</span><br />
<span style="font-size: large;">ここで、任意の値の積分定数Cを不定積分に加えることで、F’(x) = f(x)になる関数(原始関数)を全て含んだ関数として不定積分が定義されている。</span><br />
<span style="font-size: large;">(不定積分の、積分する区間a→xでの積分の起点のaの値を任意に変えるだけでは、積分の値を任意の大きさまで変える事ができない場合がある。その問題を補って、任意の値の積分定数Cを加えることにし、原始関数も包含するように不定積分の定義が修正されている。)</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKFG9KQCAQLiqM5E_JznLjMHHToBJpcl8ozogpg50OK9N783d-M-ZsRSYyvbxNeCcEv3K0k0Mj_sTmrp1eH18THtbxL1u95tA-ZkDufskK1pakcueA767Cf4byqvvpvuVYy9rvomqJHki/s1600/e333.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="428" data-original-width="517" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKFG9KQCAQLiqM5E_JznLjMHHToBJpcl8ozogpg50OK9N783d-M-ZsRSYyvbxNeCcEv3K0k0Mj_sTmrp1eH18THtbxL1u95tA-ZkDufskK1pakcueA767Cf4byqvvpvuVYy9rvomqJHki/s1600/e333.GIF" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">(8)不定積分は、微分したとき、大部分のxで被積分関数f(x)と一致する。有限個の点で、微分がf(x)と一致しないでも良い。それらの点でのf(x)の値が無限大で無い有限の値の場合は、その点の積分への寄与が0であるからである。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 不定積分F(x)の微分がf(x)と一致しない点は、例えばF(x)が折れ曲がり微分不可能な点などである。</span><br />
<span style="font-size: large;">(9)不定積分F(x)は、連結区間を定義域とする1つながりに連続な関数の真の原始関数を複数、y方向に平行移動させて連続につないで作る事ができる。<br />
<br />
<a href="http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/RiemannIntegral/ImproperIntegral/DefImproperIndefiniteIntegral.htm">(ここをクリックした先のサイトに不定積分の定義についての以下の注意がある)</a><br />
「原始関数のことを不定積分と呼ぶこともあり、「不定積分」なる用語の定義は統一されていない。</span><br />
<span style="font-size: large;">したがって、「不定積分」なる用語を用いる場合には、それが何を指しているのかを、筆者自身で読者に対してその都度つまびらかにしておく必要がある。このあたりの事情については、<a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平『解析入門I』165を見よ。</a>」<br />
</span><br />
<br />
<span id="tokutyo" style="font-size: large;">-----【積分の特徴】---------</span><br />
<span style="font-size: large;"> 積分は、関数f(x)のグラフの面積を求める計算です。グラフの多くの部分の総和の面積を求めるものです。そのため、グラフの微小な一部分の過不足があっても総体の面積に対する影響はわずかです。例えば、グラフの1点の値f(0)が何であっても(ただしf(0)が無限大で無ければ)、総体の面積に対する影響は0であると言えます。</span><br />
<span style="font-size: large;"> そのため、積分では、グラフの微小部分には注目しないで不定積分F(x)を計算します。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> そのため、被積分関数f(x)の不定積分F(x)が、以下のような物であっても、問題にしません。</span><br />
<span style="font-size: large;">例えば以下の式の様に、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0で不連続な関数f(x)について:</span><br />
<span style="font-size: large;">(例えば、f(0)=0,x>0でf(x)=1)</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs40VjXxAqU99gJ1GJF47RYz2r-EDw8OWATyHVuJKW_PtRnp89_UZptA-j5AN5iBQq6wmOR6NQCcbFUcSIi62SxE31JGGjFgCDoj0NlW503z2rDQe6EI6N7LsdDCkvIvhMc13fHcxugSrD/s1600/e327.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="299" data-original-width="364" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs40VjXxAqU99gJ1GJF47RYz2r-EDw8OWATyHVuJKW_PtRnp89_UZptA-j5AN5iBQq6wmOR6NQCcbFUcSIi62SxE31JGGjFgCDoj0NlW503z2rDQe6EI6N7LsdDCkvIvhMc13fHcxugSrD/s1600/e327.GIF" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiySoAuOXaqi8I7SvuOLKgaszbS4Y0rgHWaaEkKPNYgEmRQD4vjOyuUJWmKp87z5S7dZd32rbGgc_p7qC1YMHvBXQm6x598PLuligD_qoNFC7QAwP8SYALkai-fwcwjYUfbQnjRB8EF2_fM/s1600/e324.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="312" data-original-width="417" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiySoAuOXaqi8I7SvuOLKgaszbS4Y0rgHWaaEkKPNYgEmRQD4vjOyuUJWmKp87z5S7dZd32rbGgc_p7qC1YMHvBXQm6x598PLuligD_qoNFC7QAwP8SYALkai-fwcwjYUfbQnjRB8EF2_fM/s1600/e324.GIF" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZrKe0xEc3lx2XXjidsOzusZpdld6f_4JDPZbdXAAMbRk9gtKfXZFCEwoleuvydE-RDssU_vPQ9uGjYlY8CsKeMc_pUbHZVOBltCXoXO5XCN6UXRuyfUfVKZhyfTvkoLh19fqC_K5bILrc/s1600/e328.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="334" data-original-width="368" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZrKe0xEc3lx2XXjidsOzusZpdld6f_4JDPZbdXAAMbRk9gtKfXZFCEwoleuvydE-RDssU_vPQ9uGjYlY8CsKeMc_pUbHZVOBltCXoXO5XCN6UXRuyfUfVKZhyfTvkoLh19fqC_K5bILrc/s1600/e328.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">大学以上になると、閉区間の端点x=0において、不定積分F(x)の右微分係数F’<sub>+</sub>(0)が存在すれば、それをその端点x=0の微分係数であると定義しています。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">上の例の不連続関数f(x)の不定積分F(x)の場合は、</span><br />
<span style="font-size: large;">F’<sub>+</sub>(0)=f(0+)(=右側のf(x)の極限)=1</span><br />
<span style="font-size: large;">でF(x)の端点x=0での微分係数の値が1になります。</span><br />
<span style="font-size: large;">しかし、その微分係数は、元の関数f(0)=0にはなりません。</span><br />
<span style="font-size: large;">そのため、得られた、0≦x≦2を定義域とする不定積分F(x)は被積分関数f(x)の原始関数ではありません。</span><br />
<span style="font-size: large;">(ただし、原始関数の定義域を狭くすれば、0<x<2を定義域とした関数F(x)はその定義域のf(x)の原始関数である事に注意すること) </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(積分の本質)</span><br />
<span style="font-size: large;"> しかし、このことが問題だと考えるのは、積分の本質から外れた発想です。</span><br />
<span style="font-size: large;">積分の目的は、不定積分を求める事であって、原始関数を求める事では無いのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">本当の数学では、使えそうに思った原始関数を試しに微分してf(x)の一部分と比較して、一部分が一致すれば、</span><br />
<span style="font-size: large;">その一致した部分を定義域にした原始関数を不定積分F(x)の一部分の定義域に使って、不定積分F(x)の全体の定義域の関数を求める助けにしているだけなのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">積分の特徴は、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)の微分によってf(x)の1点であるf(0)が再現できないという不定積分であっても、その不定積分F(x)を使って被積分関数f(x)の定積分を計算するには支障がありません。<br />そういう不定積分の関数F(x)をf(x)に対して求めるだけで充分なのです。<br /> </span><br />
<span style="font-size: large;">そういう、微分して変数x=0という</span><br />
<span style="font-size: large;">1点のf(0)が得られないが、その他の大部分のxでf(x)が微分によって得られる元になる不定積分F(x)を求めれば、それで良いのです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">上図のグラフのf(x)の積分をしようとして、原始関数が得られないから答えが出ないというのは、あまりにお粗末な解き方と思います。</span><br />
<span style="font-size: large;">上図のf(x)の原始関数が得られなかったのでは無く、f(x)の定積分に使える不定積分F(x)の解が得られたのです。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)は、いわば実用的原始関数と呼んで良いと考えます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">なお、原始関数F(x)の定義は、連結区間を定義域にする関数であって、F’(x)=f(x)となり、<br />その連結区間の全てのxにおいてf(x)が存在する関数です。 </span><br />
<span style="font-size: large;">しかし、実用的な原始関数と言える不定積分F(x)は、上の式が大部分のxで成り立つだけで良く、端点などのf(x)の連続で無い点では成り立っていなくても良いのです。そのため、F(x)の微分によってf(0)が求められ無くても実害がありません。<br /> 求めるべきなのは不定積分F(x)(=実用的原始関数)です。そのF(x)の定義域の大部分のxでF(x)の微分がf(x)になれば良く、積分への影響が0である数点のf(x)の値との不一致は無視します。</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">
大学生以上では、以下の様な拡張された微分の定義が使われます。<br />
閉区間で1つながりに連続な関数F(x)を閉区間の端点で微分可能とする拡張された微分の定義が、<br />
<a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」</a>の112ページに記載されています。<br />
「閉区間の端点で関数F(x)が片側微分可能であれば、その片側微分を端点での微分係数と定義しています」<br />
<br />
実際、<span style="color: red;"><u>端点以外ではf(x)を再現できるという確認ができた不定積分F(x)が、閉区間の端では、この定義の微分により、連続関数f(x)のf(0)も再現できる。<br />
f(x)が連続関数である場合に限って、不定積分F(x)が原始関数であるという説明がされています。</u></span><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"> この微分の定義「端点で関数F(x)の微分を片側微分係数で定義する」は大学生以上で使われています。</span><br />
<span style="font-size: large;">------積分の特徴おわり-------------</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 微分積分学の基本定理によって、関数f(x)が連結区間のa≦x≦b上で1つながりに連続であるならば、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分関数S(x)やF(x)が、f(x)のその範囲内の積分で計算する事で求められる事が保証されています。</span><br />
<span style="font-size: large;"> そうして計算して得た不定積分F(x)を使って、</span><br />
<span style="font-size: large;">被積分関数f(x)が連続である範囲のa≦x≦bでの定積分を、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)で計算できる事が保証されています。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 微分積分学の基本定理の登場により我々に注意が喚起されたメッセージは、</span><br />
<span style="font-size: large;">『関数f(x)の積分を計算しようとする場合には、その積分区間における関数の性質(連続である等)を調べなければならない』</span><br />
<span style="font-size: large;">というメッセージです。</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分を用いて定積分を計算する演算の際に、その定積分の<span style="color: red;"><u><b>積分区間における関数の性質を調べる事を欠かしてはならない</b></u></span>、というメッセージです。 </span><br />
<br />
<span id="kanou" style="font-size: large;">(積分可能な例1)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 関数を積分する区間は、</span><br />
<span style="font-size: large;">a≦x≦b</span><br />
<span style="font-size: large;">というように、その積分の区間の両端が存在する区間で積分します。</span><br />
<span style="font-size: large;">すなわち、</span><br />
<span style="font-size: large;">a<x<b</span><br />
<span style="font-size: large;">というような、両端が存在しない区間では積分しません。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 例えば、以下の図の、x=0で連続で無い関数f(x)は、その連続で無い点以外の変数xの連結区間内で1つながりに連続です。<a href="https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_16.html">その連結区間内で、この関数f(x)が連続関数である</a>と定義されます。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5BozA2rdtWWjVATG5-JQyPEHm-D-oVLPa9NEqUtEeR1ywM84DhdKMpX9fLfBMdBLBeVDgO0dCKWORRXzec1tSTiEvFWU-TfxI0V3I5Nl-Im0DKXYUKPIBLAbh2WLWI2ecX9p6EykKyiKH/s1600/d807.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="486" data-original-width="543" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5BozA2rdtWWjVATG5-JQyPEHm-D-oVLPa9NEqUtEeR1ywM84DhdKMpX9fLfBMdBLBeVDgO0dCKWORRXzec1tSTiEvFWU-TfxI0V3I5Nl-Im0DKXYUKPIBLAbh2WLWI2ecX9p6EykKyiKH/s1600/d807.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">(積分が可能な範囲)</span><br />
<span style="font-size: large;">上図の関数では、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0の近くの、0<x≦bの範囲内のx=δの点から積分し、例えば、</span><br />
<span style="font-size: large;">δ≦x≦b</span><br />
<span style="font-size: large;">の範囲で積分します。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(注意)連続関数とは、ある関数f(x)の変数xの所定の範囲内で関数f(x)が連続である、という関数f(x)の範囲のことです。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(積分できない例)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 上図の関数の事例では、x=0の点では関数f(x)の値が-∞になり、関数が定義されていないで、関数が不連続です。そして、この関数では、x=0を含んだ範囲で積分することはできません。被積分関数は、1つながりに連続している関数を1つの単位にしているからです。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj32oyM8tTauo6Wn6zWyHPAt9itieyaeUAUM-NLR4DLr11Y7R0RX_RpvL6SSXnQjCX_Fi07SzmZ2DBSq_bMuy0ZYLuQZi7BwjZt9Sy6IoESTcBfcCE4rrHdEgZpXtMLVHajko_urWUTfokg/s1600/e297.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="591" data-original-width="661" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj32oyM8tTauo6Wn6zWyHPAt9itieyaeUAUM-NLR4DLr11Y7R0RX_RpvL6SSXnQjCX_Fi07SzmZ2DBSq_bMuy0ZYLuQZi7BwjZt9Sy6IoESTcBfcCE4rrHdEgZpXtMLVHajko_urWUTfokg/s1600/e297.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">上図の関数を、上図の様にx=0を含む区間で定積分したら、マイナスの無限大になるので、積分が不可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">上図の関数を、例えば-1から1までの区間で積分する事も不可能です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">これを無視して、関数f(x)の連続で無い点を定積分の範囲内に入れてしまうと以下の間違いをおかします。<br />
F(x)=1/xをxで微分したら</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjizHkAQ-ZxhQFhK-3-dLNMdBaeBwuTkFhU7yicgCZXw6jiKCKdgEi9diKxGGEDNnOdauMH9FTl-WNorUJFZg0jhslSi3ExsSzy-g-bVFeWXC4fpU3ZqdvCp5eeR9RJbj_5sUQmS2Dpb0RN/s1600/e696b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="75" data-original-width="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjizHkAQ-ZxhQFhK-3-dLNMdBaeBwuTkFhU7yicgCZXw6jiKCKdgEi9diKxGGEDNnOdauMH9FTl-WNorUJFZg0jhslSi3ExsSzy-g-bVFeWXC4fpU3ZqdvCp5eeR9RJbj_5sUQmS2Dpb0RN/s1600/e696b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">になる。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjizHkAQ-ZxhQFhK-3-dLNMdBaeBwuTkFhU7yicgCZXw6jiKCKdgEi9diKxGGEDNnOdauMH9FTl-WNorUJFZg0jhslSi3ExsSzy-g-bVFeWXC4fpU3ZqdvCp5eeR9RJbj_5sUQmS2Dpb0RN/s1600/e696b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="75" data-original-width="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjizHkAQ-ZxhQFhK-3-dLNMdBaeBwuTkFhU7yicgCZXw6jiKCKdgEi9diKxGGEDNnOdauMH9FTl-WNorUJFZg0jhslSi3ExsSzy-g-bVFeWXC4fpU3ZqdvCp5eeR9RJbj_5sUQmS2Dpb0RN/s1600/e696b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">は、x>0とx<0との範囲の2つの単位の被積分関数になります。そのため、それぞれの範囲内での積分しかできません。</span><span style="font-size: large;">xが-1から1までの区間で、<br />
F(1)-F(-1)=1-(-1)=2<br />
という 計算で積分すると、明らかに間違えます。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYdPGpzaC4CWQI2RIIMkwYHhwc7VSEez_MRux3tEitM2vGUac-nBcUkBAcKNO4d6XfrCH48wRXqx5i8qWAfIiR6A-ug5cuR2tQEp66P3qbOJnPHQPRjbA6RBtO_t9Bn6AHK5NO4yWqpZLl/s1600/e305.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="444" data-original-width="625" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYdPGpzaC4CWQI2RIIMkwYHhwc7VSEez_MRux3tEitM2vGUac-nBcUkBAcKNO4d6XfrCH48wRXqx5i8qWAfIiR6A-ug5cuR2tQEp66P3qbOJnPHQPRjbA6RBtO_t9Bn6AHK5NO4yWqpZLl/s1600/e305.GIF" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">高校で教えられていない必須作業の、関数f(x)が定積分の区間で連続か否かのチェックをしないで、</span><br />
<span style="font-size: large;">積分の計算をすると、上の計算の例の様に、</span><br />
<span style="font-size: large;">間違った答えになります。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> なお、微分積分学の基本定理に記載されている、</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYtSdomRFj5a6i5-u2U7nzLKmLf06hKfUEg5zE21RHQmi60QtFYdjOMHAxEMfLfCesp42b9G3VmZwLs6MGVAYk32L8l1RZWsN6R6q5Hn-CW1bWPVX56ZL37DjuOe4DvmwKfRhgox-eGBZk/s1600/d818a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYtSdomRFj5a6i5-u2U7nzLKmLf06hKfUEg5zE21RHQmi60QtFYdjOMHAxEMfLfCesp42b9G3VmZwLs6MGVAYk32L8l1RZWsN6R6q5Hn-CW1bWPVX56ZL37DjuOe4DvmwKfRhgox-eGBZk/s1600/d818a.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">という式で定義された関数S(x)は<a href="http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/120ksk.html"><span style="color: red;"><b>不定積分</b></span></a>であって、1つながりのグラフになります。<br />
実際、被積分関数</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjizHkAQ-ZxhQFhK-3-dLNMdBaeBwuTkFhU7yicgCZXw6jiKCKdgEi9diKxGGEDNnOdauMH9FTl-WNorUJFZg0jhslSi3ExsSzy-g-bVFeWXC4fpU3ZqdvCp5eeR9RJbj_5sUQmS2Dpb0RN/s1600/e696b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="75" data-original-width="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjizHkAQ-ZxhQFhK-3-dLNMdBaeBwuTkFhU7yicgCZXw6jiKCKdgEi9diKxGGEDNnOdauMH9FTl-WNorUJFZg0jhslSi3ExsSzy-g-bVFeWXC4fpU3ZqdvCp5eeR9RJbj_5sUQmS2Dpb0RN/s1600/e696b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">に対して、上の式により:</span><br />
<span style="font-size: large;">
a>0の場合には、x>0の範囲の定義域だけの関数<br />
S(x)=1/x, (x>0)</span><br />
<span style="font-size: large;">だけが得られます。この定義域で1/xは1つながりの連続関数です。<br />
a≦b<0の場合には、x<0の範囲の定義域だけの関数<br />
S(x)=1/x, (x<0)<br />
だけが得られます。この定義域で1/xは1つながりの連続関数です。<br />
</span><br />
<span style="font-size: large;">a=0の場合には、S(x)が計算できません。</span><br />
<span style="font-size: large;">この積分の式で定義される(定義可能な)<a href="http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/120ksk.html">不定積分</a>:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">は必ず1つながりに連続な関数です。</span><br />
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2020/03/c.html"><span id="sekibunC" style="font-size: large;">(不定積分に積分定数Cを加える事)</span></a><br />
<span style="font-size: large;"> 不定積分S(x)の値は、積分の起点にする変数値aをどの値にするかによって、所定の定数Cが足された値にシフトする。</span><br />
<span style="font-size: large;">ここで、関数f(x)が:</span><br />
<span style="font-size: large;">f(x)=0</span><br />
<span style="font-size: large;">という場合を考えます。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数f(x)を、</span><br />
<span style="font-size: large;">f(x)が定義されている区間における、</span><br />
<span style="font-size: large;">a≦x≦b</span><br />
<span style="font-size: large;">の範囲で、aの値を変えて、S(x)を計算してみます。</span><br />
<span style="font-size: large;">すると、常に、</span><br />
<span style="font-size: large;">S(x)=0</span><br />
<span style="font-size: large;">となってしまい、この計算で得た不定積分には、aを変えても値が変わらず、積分定数Cのような値のバラエティがあらわれません。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">不定積分の定義(5)では:</span><br />
<span style="font-size: large;">全ての原始関数を不定積分が包含するように、不定積分の定義を拡張する。</span><br />
<span style="font-size: large;">そのため、不定積分は、</span><br />
<span style="font-size: large;"> f(x)=0</span><br />
<span style="font-size: large;">の場合であっても、 </span><br />
<span style="font-size: large;">S(x)に積分定数Cを加えて、</span><br />
<span style="font-size: large;">S(x)+C</span><br />
<span style="font-size: large;">(Cは積分定数)とあらわす関数を、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分と定義し直します。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> こうして、不定積分は、全ての原始関数を不定積分が包含するように、最初に定義した関数に積分定数Cを加えた関数に拡張されています。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">再定義された不定積分は、積分定数Cの値によって関数の値を自由に増減できる扱いやすい関数になった。</span><span style="font-size: large;"> </span><br />
<span style="font-size: large;">(定義5の説明おわり)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2020/03/c.html">詳しくは:「不定積分の積分定数Cの扱い」のページを参照のこと。</a> </span><br />
<br />
<span id="Cerror" style="font-size: large;"> <a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2020/03/c.html">(積分定数Cの扱い)</a></span><br />
<span style="font-size: large;"> このように、不定積分が定義5で再定義されていますが、不定積分の正しい計算は、定義5で再定義された不定積分を、その前の純粋な<a href="http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/120ksk.html">不定積分</a>:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="77" data-original-width="500" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAkSss9dL9DjgalX4KP65x_jRHS8zDpcNfm65f1xDb73D675JzsSHfBUf3T0kMe4btHA7VlCpJMGV4_SDg0fgtUq_sd9oAFWnL5nGZEYqRMy8HwsVNMs7Nay7vu9YIndCHm7ZZdLFGExZt/s1600/d818a.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">に戻して考えた場合にも成り立つ計算が正しい計算であると考えます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">不定積分の再定義(5)の副作用として生じた以下の誤りに陥らないように注意する必要があると思います。 </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"> 不定積分同士の引き算:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2y-vrZP7zm8JGbRBasd9CYB9RAQuDFOlMUyCn_89dw_EH-QeVUz0MEjSJpHvEOH2FYj9tPZwkQJoztmd6IBH5yABCpMXVeiNKKmI2xrIGuoOEEvmuyTgee4NC_9Wo61GIruR9MIdVRuq6/s1600/f013b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="511" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2y-vrZP7zm8JGbRBasd9CYB9RAQuDFOlMUyCn_89dw_EH-QeVUz0MEjSJpHvEOH2FYj9tPZwkQJoztmd6IBH5yABCpMXVeiNKKmI2xrIGuoOEEvmuyTgee4NC_9Wo61GIruR9MIdVRuq6/s1600/f013b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">として、F(x)-F(x)=Cとして解く解き方がしばしば使われています。</span><br />
<span style="font-size: large;">しかし、それは、誤った解き方だと考えます。</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分同士の引き算の式:</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2y-vrZP7zm8JGbRBasd9CYB9RAQuDFOlMUyCn_89dw_EH-QeVUz0MEjSJpHvEOH2FYj9tPZwkQJoztmd6IBH5yABCpMXVeiNKKmI2xrIGuoOEEvmuyTgee4NC_9Wo61GIruR9MIdVRuq6/s1600/f013b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="84" data-original-width="511" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2y-vrZP7zm8JGbRBasd9CYB9RAQuDFOlMUyCn_89dw_EH-QeVUz0MEjSJpHvEOH2FYj9tPZwkQJoztmd6IBH5yABCpMXVeiNKKmI2xrIGuoOEEvmuyTgee4NC_9Wo61GIruR9MIdVRuq6/s1600/f013b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">は、公式と言うよりは、不定積分の計算のあいまいさを表す式と考えます。この式を使わないで解く解き方、すなわち、F(x)-F(x)=0として解く解き方が、正しい解き方であると考えます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">F(x)-F(x)=Cとする式は、</span><br />
<span style="font-size: large;">一旦は、不定積分の計算のあいまいさゆえに、計算が分からない事を表現したものと解釈します。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 計算が分からないので、F(x)-F(x)=Cとした式を得ただけと考えます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">その式が得られたら、</span><br />
<span style="font-size: large;">0=F(x)-F(x)=C</span><br />
<span style="font-size: large;">という正しい等式を成り立たせるために、C=0にし、不定な値Cを確定させるべきと考えます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">0=C,かつ,C≠0</span><br />
<span style="font-size: large;">とするような矛盾を持ち込むべきでは無いと考えます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">そのため、以下の様な計算は間違っていると考えます。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsvUfUBZIn2O3K2KSegwpPW0A5lrxN4swdH-EMRrIMmWB8DKBRmGuKAxUr26PF-QAR_lhWOx76itUOAgCzJHNNW7_gMkdQQ32J6uCqG51CO1gSECJi_ZvA4xzEDS1Y4bZbzBlAiJ1_JPkl/s1600/f014.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="314" data-original-width="484" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsvUfUBZIn2O3K2KSegwpPW0A5lrxN4swdH-EMRrIMmWB8DKBRmGuKAxUr26PF-QAR_lhWOx76itUOAgCzJHNNW7_gMkdQQ32J6uCqG51CO1gSECJi_ZvA4xzEDS1Y4bZbzBlAiJ1_JPkl/s1600/f014.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">以上の計算では、計算の途中で(等式を成り立たせる)不定積分の解釈を変えて、その値を変えてしまっているので、間違いであると考えます。<br />
<br />
そもそも、<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2020/03/blog-post_25.html" rel="nofollow" target="_blank">不定積分を部分積分で計算するときには、以下に示す、正確な部分積分の公式を使わなければなりません。</a>
<br />
<img border="0" data-original-height="129" data-original-width="239" height="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_5W171pErOhzozwM_IRxx5woMt2E24l55mrn-cexFCYQahlEgmBhD4blBvE8NeQIDMbVuygjCFve7epE8eZDAplbi4UqBCdb_vpjR89x7m60Bgs9WaOcX07_6i2kElLHq0kHMgW0pLf7ZTVBW_DkJIXOVQtSexW7synTnfEolr1D5XYI25J3WRHClmMrC/s1600/f007a.GIF" width="239" /><br />
ここで:<br />
<img border="0" data-original-height="275" data-original-width="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJBpKOX2c83NAMWclzx1C8NdJOxTWew1JP6m-rMlpuInla67rB8PGxkF4u0vsletxdN7x3Q_1Dpel6hxV-MJyrLv_3B1AnSj_qzRo621nHfgGTWhoyD2Tm0HlZNcDrxRRiy21efNzVEE57/s1600/f007b.GIF" /><br />
(注意)この式1が正しい部分積分の公式ですが、普通は部分積分の公式に付随する第1の積分定数C1は省略して書かない(この第1の積分定数C1は、残った不定積分の項を積分したときに出て来る第2の積分定数Cとは異なるものです)。しかし、問題を正しく解くためには、この公式の第1の積分定数C1を省略できない。 </span><br />
<span style="font-size: large;">(積分定数Cの扱いの説明、おわり)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">
<span style="color: red;"><u><b>(積分可能条件の注意)</b></u></span></span><br />
<span style="font-size: large;"> 高校生が覚えておくべき積分可能条件は、</span><br />
<span style="font-size: large;"><u><span style="color: red;"><b>関数f(x)が1つながりに連続な範囲内で積分するならば積分可能性が完全に保証され、</b></span></u></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><span style="color: red;"><b>そうでないときは間違った答えが得られる事がある事</b></span></u> </span><br />
<span style="font-size: large;">を覚えておいてください。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> なお、微分積分学の基本定理が積分可能性を完全に保証する条件であるf(x)が積分区間で連続でなければならないという条件は、緩める事ができ、f(x)の不定積分F(x)が1つながりに連続であるだけで良いということが分かっています。(これについては後で詳しく説明します)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 原始関数を用いて定積分を計算する演算の際に、その定積分の<span style="color: red;"><u><b>積分区間における関数の性質(原始関数F(x)の連続性、又は、被積分関数f(x)の連続性)を調べる事を欠かしてはなりません。原始関数F(x)の連続性を調べるという事は、その関数F(x)が不定積分であるか否かを調べているのです。</b></u></span></span><br />
<br />
<span id="mistake" style="font-size: large;">(必ずある間違い)</span><br />
<span style="font-size: large;">以下の関数の不定積分があります。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjs0f9Torn3pGCxcCPQm4wZqPwUSjUA2pRBaIoBg77c3bzHjlrOajB_EiZwQcGCKhes99GpdlFZJ5lOBlJp6ImhgJnqY2AgMi8Nroa4BBJPiMOEhulggV5z2PXIn9i_ONkDZaDP8LgcVAOm/s1600/f002.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="181" data-original-width="402" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjs0f9Torn3pGCxcCPQm4wZqPwUSjUA2pRBaIoBg77c3bzHjlrOajB_EiZwQcGCKhes99GpdlFZJ5lOBlJp6ImhgJnqY2AgMi8Nroa4BBJPiMOEhulggV5z2PXIn9i_ONkDZaDP8LgcVAOm/s1600/f002.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この被積分関数が1つながりに連続な範囲は、</span><br />
<span style="font-size: large;">x>0 か、</span><br />
<span style="font-size: large;">x<0 か</span><br />
<span style="font-size: large;">の2つの範囲です。</span><br />
<span style="font-size: large;">単に(1/x)と表した被積分関数は2つの連続関数をいっしょくたにしてしまっています。</span><br />
<span style="font-size: large;">各連続関数毎に、別々に不定積分して関数の解を得なければなりません。</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分の解は、それぞれの連続関数に応じて2つあり、上記の式のように2つの式で表さなければなりません。</span><br />
<span style="font-size: large;"> しかし、高校数学では、その2つの不定積分を以下の式で1つの式で表して教えています。</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNoOyqQn4bvhlJzspGyGebtzwl7NpWxJ_vgCq3ualmXmCLFPX09N6zz3PV0BYh5vkI-rRNdlL6Ll-9uflt40RMS5_RSak9nnhOihn6ZfxaPGMxIMapglj7n7ggidu7QD1SM7voaoakN77g/s1600/f002b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="93" data-original-width="258" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNoOyqQn4bvhlJzspGyGebtzwl7NpWxJ_vgCq3ualmXmCLFPX09N6zz3PV0BYh5vkI-rRNdlL6Ll-9uflt40RMS5_RSak9nnhOihn6ZfxaPGMxIMapglj7n7ggidu7QD1SM7voaoakN77g/s1600/f002b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;"> これは、2つの別々の連続関数をいっしょくたにした関数なので、もはや1つながりに連続な関数では無く、不定積分ではありません。</span><br />
<span style="color: red;"><b><u><span style="font-size: large;">不定積分は1つながりに連続でなければなりません。</span></u></b></span><br />
<span style="font-size: large;">明らかな間違いですが、これが「不定積分を求めよ」という問題の解として教えられているので要注意です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(大学生の正しい解答)</span><br />
<span style="color: red;"><b><u><span style="font-size: large;">表現の煩雑さを避けて、</span></u></b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNoOyqQn4bvhlJzspGyGebtzwl7NpWxJ_vgCq3ualmXmCLFPX09N6zz3PV0BYh5vkI-rRNdlL6Ll-9uflt40RMS5_RSak9nnhOihn6ZfxaPGMxIMapglj7n7ggidu7QD1SM7voaoakN77g/s1600/f002b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="93" data-original-width="258" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNoOyqQn4bvhlJzspGyGebtzwl7NpWxJ_vgCq3ualmXmCLFPX09N6zz3PV0BYh5vkI-rRNdlL6Ll-9uflt40RMS5_RSak9nnhOihn6ZfxaPGMxIMapglj7n7ggidu7QD1SM7voaoakN77g/s1600/f002b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">(解答おわり)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">この式の右辺は不定積分では無いので、その式をF(x)と表して、それを定積分に適用して、</span><br />
<span style="font-size: large;">-1から1までの定積分として、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(1)-F(-1)</span><br />
<span style="font-size: large;">を計算するのは間違いです。</span><br />
<span style="font-size: large;">(高校生は、上記の間違った不定積分を教わり、それを、上記の、不定積分と定積分の関係式に代入して間違った答えを得ます。高校生は(先生にも)、どこが間違っているか分からず、微分積分が分からなくなる高校生が多いのではないかと思います。) </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">積分結果が1つながりに連続している正しい不定積分のグラフが連続するxの範囲のみ、が定積分が可能な範囲です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(関数が1つながりに連続な範囲で積分可能な例) </span><br />
<span style="font-size: large;">以下の図の、1つながりに連続な関数f(x)を考えます。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXUV8RUwi-_Wr4JIvgamTkI12yl9lGaIPMNz05fojCUaUZK3HQDtehied0ePjzGkL4iyuf90sz-Tg7DnHNNKfc54su9UWMt1vHf1iIh6RBmP814BK_TO8AuVagEBzF2KncXkohGDZEjWzz/s1600/e298.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="411" data-original-width="576" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXUV8RUwi-_Wr4JIvgamTkI12yl9lGaIPMNz05fojCUaUZK3HQDtehied0ePjzGkL4iyuf90sz-Tg7DnHNNKfc54su9UWMt1vHf1iIh6RBmP814BK_TO8AuVagEBzF2KncXkohGDZEjWzz/s1600/e298.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この関数f(x)の不定積分として以下の関数F(x)が考えられます。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcV6R6n3iTWbSAh6UC6yiJq_u3D30OSU-MzVK_4nUH6Jp4O_7j_zjw1uxr4jlrmjFW8VvxzDFHp7_uNMI6p05fdmy_NLirQe8Co43JahMJAO2PKHK1Y4NtENgtTZRDgSo65gOHLGtkpYH2/s1600/e299.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="608" data-original-width="627" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcV6R6n3iTWbSAh6UC6yiJq_u3D30OSU-MzVK_4nUH6Jp4O_7j_zjw1uxr4jlrmjFW8VvxzDFHp7_uNMI6p05fdmy_NLirQe8Co43JahMJAO2PKHK1Y4NtENgtTZRDgSo65gOHLGtkpYH2/s1600/e299.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)の求め方は:</span><br />
<span style="font-size: large;">x>0での関数f(x)の原始関数を求め、</span><br />
<span style="font-size: large;">x<0での原始関数を求め、</span><br />
<span style="font-size: large;">2つの原始関数を、独立にY方向に移動させて連続するようにつなぐ事で</span><br />
<span style="font-size: large;">総体の、上の図の不定積分F(x)が求められます。</span><br />
<span style="font-size: large;"> この不定積分F(x)をxで微分すれば、xがどの値であってもf(x)になるので、この関数F(x)は関数f(x)の原始関数でもあります。<span style="color: red;"><u><b>この関数f(x)が1つながりに連続な範囲のx=aからbまでの定積分は、</b></u></span></span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)を使って、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)</span><br />
<span style="font-size: large;">で計算できます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(研究課題)</span><br />
<span style="font-size: large;">ここで、</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)が、</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzDf_Gxhp4Qb8C_9TenZQRg-k6ypnBieyJgWkRKE6RZ4FwP5uEGQF0xO-4bPb40i7ls6QVoMw9d2s4JThNGpz0EsRLt_4qNwXDO6Qy_w9IqZWax_Ej0PyCOoxlcSkOeysh8KF8x2b3bnWZ/s1600/e696b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="75" data-original-width="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzDf_Gxhp4Qb8C_9TenZQRg-k6ypnBieyJgWkRKE6RZ4FwP5uEGQF0xO-4bPb40i7ls6QVoMw9d2s4JThNGpz0EsRLt_4qNwXDO6Qy_w9IqZWax_Ej0PyCOoxlcSkOeysh8KF8x2b3bnWZ/s1600/e696b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">の場合に、</span><br />
<span style="font-size: large;">その変数xの</span><br />
<span style="font-size: large;">x=−∞の点とx=∞の点が1点であって、</span><br />
<span style="font-size: large;">その点で変数xの区間が連結しているものと定義する。</span><br />
<span style="font-size: large;">そして、x→0の点は、変数xの連結区間の端点とした、</span><br />
<span style="font-size: large;">変数xの連結区間を定義する。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">そして、関数f(x)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">x→ ±∞の点で値f(x)=0であるので、その点でも連続していると定義し、</span><br />
<span style="font-size: large;">x→ ±∞の点を含む連結区間で1つながりに連続した関数であると定義できます。</span><br />
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_18.html"><span style="font-size: large;">(その様に、2つの関数をx→ ±∞の点で連結して1つの関数にすることは、置換積分法などで関数の変数を変換する場合に、自然に起こり得る事です。)</span></a><br />
<br />
<span style="font-size: large;">この関数f(x)の、</span><br />
<span style="font-size: large;">a<0と、</span><br />
<span style="font-size: large;">b>0との</span><br />
<span style="font-size: large;">2点の間の定積分を、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)を使って、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)</span><br />
<span style="font-size: large;">という値であらわすと、</span><br />
<span style="font-size: large;">その定積分は以下の様に定義できます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">先ず、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=aの点から、x=−∞まで</span><br />
<span style="font-size: large;">f(x)を定積分して、</span><br />
<span style="font-size: large;">続けて、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=−∞の点から、x=bの点まで、</span><br />
<span style="font-size: large;">f(x)を定積分する。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">すなわち、そのように、変数xのx=aからx=bまで連結した区間の経路で関数& f(x)が積分でき、</span><br />
<span style="font-size: large;">その経路の積分範囲で定積分した値が、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)</span><br />
<span style="font-size: large;">であると定義できます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">すなわち、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0をまたいで積分したりせずに、</span><br />
<span style="font-size: large;">x→ ±∞の点を経由した</span><br />
<span style="font-size: large;">迂回した経路で積分した積分結果が、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)</span><br />
<span style="font-size: large;">であると解釈します。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">そう解釈するならば、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">定積分の値を正しくあらわしています。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> このように、関数f(x)の定積分を、連結区間内からはみ出す部分がない経路で積分した値であると認識すれば、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">その定積分の値を正しくあらわす式であると解釈できます。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 定積分を計算する演算の際に、その定積分が可能な<span style="color: red;"><u><b>積分区間が、被積分関数f(x)の値が有限値であるxの点を連結した区間に限られると認識するのが良いと分かりました。</b></u></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>(なお、その連結区間で、不定積分F(x)は1つながりに連続な関数になっています。)</b></u></span></span><span style="font-size: large;"> </span><br />
<span style="font-size: large;">(研究課題おわり)</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">(積分が完全に保証される積分可能条件の外で行う例) </span><br />
<span style="font-size: large;"> 微分積分学の基本定理における積分可能条件(関数f(x)が積分範囲内で1つながりに連続な関数でなければならない)にあえて違反して行う以下の積分では、被積分関数f(x)がある点で連続な<a href="https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_16.html">連続関数</a>である場合と、その関数の1点の関数値が存在しない(あるいは0等の値になる、その点では不連続な関数である)場合とが区別されずに、その範囲を積分した不定積分が同じ1つながりに連続な関数になる。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(積分可能な例2)</span><br />
<span style="font-size: large;">以下の図の関数f(x)のグラフを考えます。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFcb4-i1hy0D_VEtRFXM3smQWNEjobXw1HkJAFnTnEo_reMvYx_cpJ9ulFMSrN934BWtR26FF_HJhyoOPJuXcBAy6WvS2CmUGZbib8K3kFwhG0qFId1nYcmSH7_6jOKAqrkvbCl8gTv_wl/s1600/d328.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="331" data-original-width="421" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFcb4-i1hy0D_VEtRFXM3smQWNEjobXw1HkJAFnTnEo_reMvYx_cpJ9ulFMSrN934BWtR26FF_HJhyoOPJuXcBAy6WvS2CmUGZbib8K3kFwhG0qFId1nYcmSH7_6jOKAqrkvbCl8gTv_wl/s1600/d328.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この関数は、x=0の点での極限とx=2の点での極限が存在しません。</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0の点とx=2の点で関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、</span><br />
<span style="font-size: large;">-1≦x≦3</span><br />
<span style="font-size: large;">の閉区間をリーマン積分により小区間に細分した各小区間での関数の値の和が一通りに定まるので、その連続で無い点を範囲内に持つ区間で(1つながりに連続な連続関数ならば必ず積分できるという積分保証範囲の外で無理やりに)あえて積分すると積分可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数f(x)を積分して、以下の図の不定積分の関数F(x)を求めることができます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(原始関数を利用した不定積分の求め方) </span><br />
<span style="font-size: large;"> この不定積分F(x)の求め方は、上図の関数f(x)の:</span><br />
<span style="font-size: large;">-1<x<0の区間のf(x)に対する原始関数 F(x)=0と、</span><br />
<span style="font-size: large;">0<x<2の区間のf(x)に対する原始関数 F(x)=xと、</span><br />
<span style="font-size: large;">2<x<3の区間のf(x)に対する原始関数 F(x)=C2とを求め、</span><br />
<span style="font-size: large;">それらの原始関数をY方向に平行移動して連続につなげば、以下の1つながりのグラフの不定積分F(x)が出来上がります。 </span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFp1mUZMK_zkfQ8OAnSYmyXqhf81kD1B0RxHWxDNrywWCeyDCc-JAaqzfFBAmxTVrYL2wAbmwBPL2wZLxqJuKREABLfizLZBlHFTmDLDx3HVLYu3JfH3ZR_xBSptOTf3EOj4rjjQjs4LW2/s1600/d329.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="406" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFp1mUZMK_zkfQ8OAnSYmyXqhf81kD1B0RxHWxDNrywWCeyDCc-JAaqzfFBAmxTVrYL2wAbmwBPL2wZLxqJuKREABLfizLZBlHFTmDLDx3HVLYu3JfH3ZR_xBSptOTf3EOj4rjjQjs4LW2/s1600/d329.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)を微分して下図のグラフの関数を求めます。</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0とx=2の点ではグラフが折れ曲がっているので微分できません。 </span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcCxd6m4n6ARzsQ5uanLCw7DWbSTYUcU2-BHzdUPi7UTFZTwLW0s9DLlkXCOO8WAPP0AZc18ZvI_oBt9GqtMlBDvl6MjF0xgs-caabswvIfgSLuiRwD2TiCJvFqS23sHNJsRXaeUMlshul/s1600/d330.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="333" data-original-width="412" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcCxd6m4n6ARzsQ5uanLCw7DWbSTYUcU2-BHzdUPi7UTFZTwLW0s9DLlkXCOO8WAPP0AZc18ZvI_oBt9GqtMlBDvl6MjF0xgs-caabswvIfgSLuiRwD2TiCJvFqS23sHNJsRXaeUMlshul/s1600/d330.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)を微分した結果の導関数(dF(x)/dx)は、x=0とx=2で関数値が存在しないという点で、関数f(x)と異なる関数になるという特徴があります。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 原始関数の定義の発想の順番は、F(x)を先に考え、次にf(x)を考えるのです。</span><br />
<span style="font-size: large;">(先ず、連結区間を定め、その連結区間内で1つながりに連続した原始関数F(x)を考え、次に、それを微分して関数f(x)が得られ、結果として得られたf(x)の原始関数がF(x)であると呼ぶのです。)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> この発想の順を逆にしてf(x)に不定積分の関数F(x)を対応付ける写像変換を定義する事はできます。</span><br />
<span style="font-size: large;"> 上の図で得た導関数(dF(x)/dx)は、x≠0とx≠2の範囲でのみ定義されている関数です。そのグラフはf(x)とは、変数x=0とx=2の点だけが異なります。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> この導関数(dF(x)/dx)のグラフを再度積分したらどうなるでしょうか。</span><br />
<span style="font-size: large;">その積分結果は、再び同じ不定積分F(x)が得られます。</span><br />
<span style="font-size: large;"> (ただし、関数値f(x)が定義されていないx=0と2の点では、そのxの値の近傍までf(x)を積分して、その積分の極限値をx=0の点等での積分値に拡張する積分をしました。)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">変数x=0での点とX=2での点の有無で異なる2つのグラフ、すなわちf(x)と、導関数(dF(x)/dx)を積分したら、同じ不定積分F(x)が得られました。</span><br />
<span style="font-size: large;">そのため、被積分関数f(x)に積分結果の不定積分F(x)を対応させる写像変換は、</span><br />
<span style="font-size: large;">2個以上の関数の、f(x)と(dF(x)/dx)とに1つの不定積分F(x)を対応させる、</span><br />
<span style="font-size: large;">複数対1の写像であると考えられます。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">
(注意)<br />
ちなみに、微分不可能な点がある関数F(x)は真の原始関数ではありません。(真の原始関数は必ず1つながりに連続で、すべての点で微分可能な関数です。また、所定の定義域の関数f(x)では原始関数が無くても、定義域を狭くした範囲では原始関数がある事も忘れないよう注意してください。)<br />
上の例の不定積分F(x)、</span><br />
<span style="font-size: large;">すなわち、x=0の点とx=2の点で折れ曲がって微分不可能な点を持つ関数F(x)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)からx=0の点とx=2の点を除外した関数が微分の結果で得られる不定積分です。</span><br />
<span style="font-size: large;">この不定積分では原始関数より広い範囲の関数が扱え、上図のようなグラフの面積を求めることもでき実用的です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(厳密に考える1) </span><br />
<span style="font-size: large;"> ここで、厳密に考えると、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)を微分すると、x≠0とx≠2の範囲でのみ関数値がある導関数(dF(x)/dx)が得られました。そのため、関数F(x)は、x≠0とx≠2の範囲でのみ定義されている導関数(dF(x)/dx)の不定積分でもあります。</span><br />
<span style="font-size: large;">一方、x=0で、f(0)=1であり、x=2で、f(2)=1である最初の関数f(x)は、不定積分F(x)の微分によっては、x=0での点とx=2での関数値が得られません。</span><br />
<span style="font-size: large;">しかし、<span style="color: red;"><u><b>f(x)を定積分するために利用する関数としては、この不定積分F(x)で十分です。</b></u></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」</a>の182ページにも、不連続な関数f(x)の<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html#kougi" rel="nofollow" target="_blank">広義積分</a>=不定積分F(x)が1つながりの連続関数で得られることが書いてあります。</span><br />
<span style="font-size: large;"> また、 F(x)を微分して不連続な関数f(x)が得られる原始関数F(x)もあり得るが、それは、原始関数F(x)が微小に振動している場合という限られた場合だけです。</span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」</a>の126ページには、</span><br />
<span style="font-size: large;">上図の様に、普通の連続で無い点を持つ関数f(x)の不定積分F(x)につては、その連続で無い点のx=0やx=2の点では、そのxの値で微分できないと書いてあります。</span><br />
<span style="font-size: large;">すなわち、上図におけるx=0やx=2の点のように有限の値の高さに段差を持つ連続で無い点を持つ関数f(x)には、その連続で無い点で微分できる原始関数F(x)は存在しないと書いてあります。</span><br />
<span style="font-size: large;"> その様に原始関数が無くても不定積分が存在することが、<a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」</a>の182ページに書いてあります。</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)においては、その不定積分F(x)を微分した関数が、被積分関数のf(x)からx=0やx=2という有限個の点を除いた大部分の点で関数f(x)と一致するだけで良い事が書いてあります。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> そのように、原始関数の場合は細かい注意が必要でしたが、<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html#kougi" rel="nofollow" target="_blank">広義積分</a>を含めた不定積分の場合は、堂々と、不連続な関数f(x)の多くが積分可能であり不定積分F(x)を持つので、細かい注意に神経を使う必要も無くなり、積分がやり易くなりました。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKFG9KQCAQLiqM5E_JznLjMHHToBJpcl8ozogpg50OK9N783d-M-ZsRSYyvbxNeCcEv3K0k0Mj_sTmrp1eH18THtbxL1u95tA-ZkDufskK1pakcueA767Cf4byqvvpvuVYy9rvomqJHki/s1600/e333.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="428" data-original-width="517" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKFG9KQCAQLiqM5E_JznLjMHHToBJpcl8ozogpg50OK9N783d-M-ZsRSYyvbxNeCcEv3K0k0Mj_sTmrp1eH18THtbxL1u95tA-ZkDufskK1pakcueA767Cf4byqvvpvuVYy9rvomqJHki/s1600/e333.GIF" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">(厳密な考察2から4)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 下図の3つの被積分関数f(x)の不定積分F(x)は同じ関数になります。これを以下で考察します。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiamZTIZao_F4OecUmu0mEsqX25wImPQB-HofiUibSKYsB0g0kDo_T_aYBMD445FDves1znN3lOwvHL7ydq3lEfO7o2dR5gt2frh8G30pyLJFHL00ehFPuxprLasPXBEWSlr5-ERy3UKNgt/s1600/e321.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="527" data-original-width="605" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiamZTIZao_F4OecUmu0mEsqX25wImPQB-HofiUibSKYsB0g0kDo_T_aYBMD445FDves1znN3lOwvHL7ydq3lEfO7o2dR5gt2frh8G30pyLJFHL00ehFPuxprLasPXBEWSlr5-ERy3UKNgt/s1600/e321.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">(厳密に考える2)上図の左上の場合</span><br />
<span style="font-size: large;">0≦x≦2の定義域でのみ定義され、その定義域内で常にf(x)=1となる関数f(x)を考えてみます。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数f(x)は閉区間で1つながりに連続な関数です。 </span><br />
<span style="font-size: large;">この関数f(x)を積分して得た不定積分F(x)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">0≦x≦2の閉区間の定義域で定義される、F(x)=x</span><br />
<span style="font-size: large;">という関数になります。</span><br />
<span style="font-size: large;">1つながりの連続関数であるF(x)は、その端点x=0とx=2では、片側微分係数で微分係数が定義され、x=0とx=2との点ではF'(x)の値があります。例えば以下の式の様に:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcLB7XSpHc-ObrfTbWoWWvSAgj7NHBGazsBQlwLFbEqc0v_LxIEGpxQ0EeuJ4XfZxdflaWWaX0jKaKGRV61P0vLgFgCcp6_iPQJMhJINlQ2pT7r9p-01ymGWGeEZEbOYJ6d9JbOuRmarTZ/s1600/e324.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="312" data-original-width="417" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcLB7XSpHc-ObrfTbWoWWvSAgj7NHBGazsBQlwLFbEqc0v_LxIEGpxQ0EeuJ4XfZxdflaWWaX0jKaKGRV61P0vLgFgCcp6_iPQJMhJINlQ2pT7r9p-01ymGWGeEZEbOYJ6d9JbOuRmarTZ/s1600/e324.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)はf(x)の定義域の端のx=0で片側微分可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0でもx=2でも、f(x)=1である関数f(x)は、不定積分の関数F(x)の片側微分によって得られます。</span><br />
<span style="font-size: large;">そのため、この不定積分F(x)は、f(x)の全ての関数値をF’(x)の結果として与える原始関数です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(厳密に考える3)上図の右上の場合</span><br />
<span style="font-size: large;">0≦x≦2の定義域でのみ定義され、その定義域内で、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0で f(x)=0</span><br />
<span style="font-size: large;">0<x<2で f(x)=1</span><br />
<span style="font-size: large;">x=2で f(x)=0</span><br />
<span style="font-size: large;">となる関数f(x)を考えてみます。</span><br />
<span style="font-size: large;">その関数f(x)を積分して得た不定積分F(x)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">0≦x≦2の定義域で定義される、F(x)=x</span><br />
<span style="font-size: large;">という関数になります。</span><br />
<span style="font-size: large;">この不定積分で得た関数F(x)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">f(0)=1となる関数f(x)の不定積分で得た関数と同じ関数になるので、f(0)=0という情報が失われた関数である事が明らかです。</span><br />
<span style="font-size: large;">このF(x)からは、f(0)の値=0が再現不可能である事が明らかです。</span><br />
<span style="font-size: large;">F(x)は、定義域の閉区間の端点で片側微分可能で、端点x=0とx=2での微分係数=1が計算できますが、その値は、f(0)及びf(2)とは異なります。</span><br />
<span style="font-size: large;">このように、不定積分F(x)の微分によっては、x=0での点とx=2でのf(x)の値は得られません。この不定積分F(x)は、不連続な関数f(x)の全ての関数値をF’(x)の結果として与える原始関数ではありません。</span><br />
<span style="font-size: large;"> このF(x)をこの例の不連続な関数f(x)の原始関数と呼ぶのは不正確ですが、このF(x)はf(x)の不定積分である事には間違いありません。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(厳密に考える4)上図の左の場合</span><br />
<span style="font-size: large;">0≦x≦2の定義域でのみ定義され、その定義域内で、</span><br />
<span style="font-size: large;">x=0で f(x)=2</span><br />
<span style="font-size: large;">0<x<2で f(x)=1</span><br />
<span style="font-size: large;">x=2で f(x)=2</span><br />
<span style="font-size: large;">となる関数f(x)を考えてみます。</span><br />
<span style="font-size: large;">その結果は、(厳密に考える3)と同じ結果になります。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(積分可能性が保証される条件とは)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 上図の場合では、関数f(x)が不連続な点があっても積分できました。これは、以下の条件を満足したからです。<br />
<span style="color: red;"><u><b>関数f(x)が積分可能な条件は、</b></u></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>関数f(x)の積分区間で、f(x)の不定積分F(x)が連続であることです。</b></u></span><br />
関数f(x)を積分する区間は、不定積分F(x)が1つながりに連続な範囲の、例えば、<br />
a≦x≦b<br />
という区間で積分が可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">(この様に不連続関数f(x)にも積分可能性が保証される条件については後で説明します。) </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(不連続関数f(x)の無理やり積分と、その微分の例)</span><br />
<span style="font-size: large;"> 関数f(x)を:</span><br />
<span style="font-size: large;">変数xが整数の点では関数値が存在せず、</span><br />
<span style="font-size: large;">変数xが整数以外の点では値が1、</span><br />
<span style="font-size: large;">である不連続関数とします。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMuMNWHzd8GXpIcxW5L5Uv9yNoyKxGILf95iFMwtxCxIGJYWbQ0BSXGu02wJEMh7F0LadY501bTAGI8hWf86hbEmrdw3EweKaiY5DbZ9aqGLQp5C37g0S5u00h84LWIWtPNtGAae6Rbx5m/s1600/d360.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="327" data-original-width="412" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMuMNWHzd8GXpIcxW5L5Uv9yNoyKxGILf95iFMwtxCxIGJYWbQ0BSXGu02wJEMh7F0LadY501bTAGI8hWf86hbEmrdw3EweKaiY5DbZ9aqGLQp5C37g0S5u00h84LWIWtPNtGAae6Rbx5m/s1600/d360.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">(上図において、関数f(x)の連続で無い点である、変数x=整数での関数f(x)の極限値を、その変数xの位置での関数f(x)の値にして連続で無い点を除去すれば、関数f<sub>2</sub>(x)=1となる連続関数になります。)</span><br />
<span style="font-size: large;"> この不連続関数 f(x)のグラフを積分したら、</span><br />
<span style="font-size: large;">1つながりに連続な不定積分 F(x)=xが得られます。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrBQtFaWgft706gUBLayx4oFOYUU9mB3BmrKKZlHn6Y4fhsFV0V0g9zn6URzu37togdElBsyKri6aW-RfjSBAhij1SOzvOv6OUJrku41BIP3upLGON2EKa084ZyK0c4X75ihTBe2iUo-WO/s1600/d361.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="320" data-original-width="343" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrBQtFaWgft706gUBLayx4oFOYUU9mB3BmrKKZlHn6Y4fhsFV0V0g9zn6URzu37togdElBsyKri6aW-RfjSBAhij1SOzvOv6OUJrku41BIP3upLGON2EKa084ZyK0c4X75ihTBe2iUo-WO/s1600/d361.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">ここで、関数値f(x)が定義されていないx=0の点等では、そのxの値の近傍までf(x)を積分して、その積分の極限値をx=0の点等での積分値に拡張する積分をしました。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)=xを微分したら、</span><br />
<span style="font-size: large;">連続関数であるf<sub>2</sub>(x)=1が得られます。</span><br />
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)=xは、それを微分して得られた関数f<sub>2</sub>(x)=1の原始関数です。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 上図のf(x)及びf<sub>2</sub>(x)を積分した結果の不定積分F(x)では、被積分関数が連続関数f<sub>2</sub>(x)である場合と、その連続関数のxが整数の点の関数値が存在しない(あるいは0等の値になる)不連続関数f(x)である場合と、が区別できません。</span><br />
<span style="font-size: large;">この様に、積分すると、被積分関数の連続で無い点の情報を失った不定積分F(x)が得られます。 </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">(積分可能な例3)</span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="http://br-h2gk.hatenablog.com/entry/2015/12/08/190838">
(注意)</a></span><br />
<span style="font-size: large;"><a href="http://br-h2gk.hatenablog.com/entry/2015/12/08/190838"> 原始関数のF(x)が連続で微分可能でF'(x)=f(x)であっても、f(x)が連続関数になるとは限らないことに注意が必要です。F(x)が連続で微分可能であっても微小に振動している場合があるからです。</a></span><br />
<span style="font-size: large;"> 以下で定義する原始関数F(x)を微分して得た関数f(x)は、</span><br />
<span style="font-size: large;">F(x)の微分で作られたので、積分可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">(F(x)の定義) </span><br />
<span style="font-size: large;">x≠0の場合:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFk_4FRW65l9MmLqOVpoG4L3P-vCnqVjqokpXFIRGdKxqs9Ik7jRGySWBnZgoHk_HBgn4zKAO-P7B0QrHAaFGiUhdNNG8Fg8Y0DQIUbtG02jHatsEde21EeSu8uqtWAAaeVrUyltfVSUCT/s1600/d790a.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="97" data-original-width="270" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFk_4FRW65l9MmLqOVpoG4L3P-vCnqVjqokpXFIRGdKxqs9Ik7jRGySWBnZgoHk_HBgn4zKAO-P7B0QrHAaFGiUhdNNG8Fg8Y0DQIUbtG02jHatsEde21EeSu8uqtWAAaeVrUyltfVSUCT/s1600/d790a.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">x=0の場合: F(0)=0,</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(導関数f(x))</span><br />
<span style="font-size: large;">この原始関数F(x)はx≠0の場合も、x=0の場合も、微分可能で、</span><br />
<span style="font-size: large;">その導関数f(x)は、以下の式であらわせます。</span><br />
<span style="font-size: large;">x≠0の場合の微分:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh22gQaJnwoR35vWa4k4PQsPWoWa3vubmUptl_u6Sn9dWOkHUTKA90B1uxxoPlH9ckK5dpRA7cVf7X-Tp8TDRMtLn2QPRxjg8ua_dXJc0zFfrbYqdmuVMqjKItjPxxJgQhwmJyUuIfBern/s1600/d790b.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="100" data-original-width="638" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh22gQaJnwoR35vWa4k4PQsPWoWa3vubmUptl_u6Sn9dWOkHUTKA90B1uxxoPlH9ckK5dpRA7cVf7X-Tp8TDRMtLn2QPRxjg8ua_dXJc0zFfrbYqdmuVMqjKItjPxxJgQhwmJyUuIfBern/s1600/d790b.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">になり、xが0に近づくと-1と1の間を振動します。</span><br />
<span style="font-size: large;">この導関数が含むcos(1/x)の関数が以下のグラフであらわす形の関数になるからです。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9ifJk6U49YRBDhzktdoQQADgx9D4E7hrHoRSZPW1ChctkrkdrVLHWsBs9cr1m5pHUZUKIPILEMqRpmymqi_1OsfERHofplpB9a9IuE6UMkrOgHOHPbMKmqXtayaCvksQNSuLPantZBZCt/s1600/d793.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="368" data-original-width="380" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9ifJk6U49YRBDhzktdoQQADgx9D4E7hrHoRSZPW1ChctkrkdrVLHWsBs9cr1m5pHUZUKIPILEMqRpmymqi_1OsfERHofplpB9a9IuE6UMkrOgHOHPbMKmqXtayaCvksQNSuLPantZBZCt/s1600/d793.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">X=0の場合にも、F(x)は微分可能で:</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS1YcX9LXOPZzgaiY9PXmG__wBYVMW9jFY486Jc867xwBBA6xuAkH4FD4bupkzUshsh60Q6LsdV8-t5Nc_hn_wy6sUgLccRHqS8oj_6i5daEw1Udj5C1FskY1uwlGNbe_3vCnapc_0Ibqu/s1600/d790c.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="206" data-original-width="566" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS1YcX9LXOPZzgaiY9PXmG__wBYVMW9jFY486Jc867xwBBA6xuAkH4FD4bupkzUshsh60Q6LsdV8-t5Nc_hn_wy6sUgLccRHqS8oj_6i5daEw1Udj5C1FskY1uwlGNbe_3vCnapc_0Ibqu/s1600/d790c.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">というように、0になります。</span><br />
<span style="font-size: large;">このように、x=0の場合の導関数f(x)は、x=0で不連続ではありますが、f(0)=0という値を持ちます。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">この導関数f(x)は、x=0で不連続ですが、x=0で関数値を持ち、積分すると原始F(x)になる、積分可能な関数です。</span><br />
<span style="font-size: large;">しかも、その積分結果の原始関数F(x)を微分すると、元の、x=0で不連続な関数f(x)が得られます。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(積分可能な例4)</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlsuU-PYXihnkutFztVlKYpVMRJ8_At-1B8_X3uxdIikXiZKikM42XbUBL1VgcyqUn1RVpfpG2_ICNGYnmJs-xh70ykfojSRj7ltzfYd8ng1mBKGyhebv1_bqP0A_88hk6sAj7f5jXyuGj/s1600/d327.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="362" data-original-width="414" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlsuU-PYXihnkutFztVlKYpVMRJ8_At-1B8_X3uxdIikXiZKikM42XbUBL1VgcyqUn1RVpfpG2_ICNGYnmJs-xh70ykfojSRj7ltzfYd8ng1mBKGyhebv1_bqP0A_88hk6sAj7f5jXyuGj/s1600/d327.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">上のグラフは、不連続な関数f(x)のグラフですが、無理やり積分して積分可能なグラフの例を示しています。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> 上の図の関数f(x)がリーマン積分可能なのは、変数xの全区間の部分区間毎です。</span><br />
<span style="font-size: large;">第1の部分区間:</span><br />
<span style="font-size: large;">-∞<x<A</span><br />
<span style="font-size: large;">第2の部分区間:</span><br />
<span style="font-size: large;">A’<x≦C</span><br />
<span style="font-size: large;">(点Aで関数は不連続であり、また、極限も存在しませんが、</span><br />
<span style="font-size: large;">-∞<x≦C</span><br />
<span style="font-size: large;">まで合わせた区間でも、関数の区間を細分した各小区間での関数の値の和が一通りに定まるので、その連続で無い点Aを範囲内に持つ区間でも積分可能です。)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(点Bでは、関数が無限大になるので積分ができません)</span><br />
<span style="font-size: large;">第3の部分:</span><br />
<span style="font-size: large;">D≦x<+∞</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">(注意1)</span><br />
<span style="font-size: large;"> リーマン積分では、点A’から点Dまで、関数f(x)の値が無限に大きくなる点Bを範囲内に持つ区間で関数f(x)を積分することができません。</span><br />
<span style="font-size: large;">その理由は:</span><br />
<span style="font-size: large;">無限に関数値が大きくなる点Bを積分の範囲内に持つと、その点Bを中に持つxの小区間で、</span><br />
<span style="font-size: large;">細分の幅Δxがどれだけ小さな値であっても、</span><br />
<span style="font-size: large;">(1/Δx)≪f(ξ)</span><br />
<span style="font-size: large;">となる関数値f(ξ)を選ぶことができるからです。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcoKg2OLFaDiyuZnICe2h6BqqtGcSaumifY6EN_awBn-pQEviM-hAo8Rs6D7PE5ly_BTt-Skum9WDhwGcNrGxHA9t3RKnDqptG4fOkt-ALALseGzUmj-of0xMrUIxAvSfTG9hMj1ldd5qu/s1600/d333.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="428" data-original-width="381" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcoKg2OLFaDiyuZnICe2h6BqqtGcSaumifY6EN_awBn-pQEviM-hAo8Rs6D7PE5ly_BTt-Skum9WDhwGcNrGxHA9t3RKnDqptG4fOkt-ALALseGzUmj-of0xMrUIxAvSfTG9hMj1ldd5qu/s1600/d333.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">そういう関数値f(ξ)を選んでしまうと、関数値の総和が定まらなくなってしまうからです。</span><br />
<br />
<span id="kougi" style="font-size: large;">(注意2)<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html#kougi" rel="nofollow" target="_blank">広義積分</a></span><br />
<span style="font-size: large;"> しかし、上図の関数f(x)は、B点の左側の区間で、X=A’からx=Cまでの積分の値の、Cを無限にBに近付けた極限の有限の値を持つものとします。</span><br />
<span style="font-size: large;">また、B点の右側の区間で、X=DからX=+∞までの積分の値の、Dを無限にBに近付けた極限の有限の値を持つものとします。</span><br />
<span style="font-size: large;">「そのように左側の区間のC点及び右側の区間のD点をB点に近付けた極限での積分の値が存在するならば、</span><br />
<span style="font-size: large;">B点の左側の区間の積分値と、B点の右側の区間の積分値の和を、点Bを範囲内に持つxの区間での積分とする(広義積分)」</span><br />
<span style="font-size: large;">と言うように、関数f(x)の「積分可能性」の定義を拡大することができます。</span><br />
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/08/blog-post_18.html"><span style="font-size: large;">また、グラフが積分可能な範囲は、変数を置き換える置換積分によって、変数を変え、被積分関数の形を変えると、</span></a><br />
<span style="font-size: large;">積分可能な範囲が変わることがあります。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">例えば、</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)≡1/
<math>
<msqrt>
<mi>-x</mi>
</msqrt>
</math></span><br />
<span style="font-size: large;">は、xが-1から0未満の数までの範囲で積分可能ですが、</span><br />
<span style="font-size: large;">xが-1から0までの範囲では、x=0に近づくと被積分関数の値が無限に大きくなるので積分可能ではありません。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRPfH1Z8Irnj8QEo6p7_q5434kXBxaRZ_rxQLuCfK1UdLJjBmFN55Bqp7FMaSiHTJoJoHzsu1icGZzq5KxrdeRfjBSIjj10Tkog_Xb9mEc6aVpyxH-TbPtehXSxQuonPhi1GTdQckQwtNA/s1600/e302.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="455" data-original-width="645" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRPfH1Z8Irnj8QEo6p7_q5434kXBxaRZ_rxQLuCfK1UdLJjBmFN55Bqp7FMaSiHTJoJoHzsu1icGZzq5KxrdeRfjBSIjj10Tkog_Xb9mEc6aVpyxH-TbPtehXSxQuonPhi1GTdQckQwtNA/s1600/e302.GIF" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-size: large;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnyPSf6wz7NR0ZxDBKlF8DNpF2O0xAAfiW3TwCwuF92johDBm3Spm1Euk9dCSwGn81l6Iq6dgizoMHbcnwZyG0mKI7N7Y_v-HeUGv3BYNutFWlh0-Wtut4kraIN7oEm-2aKmuNJafbDpYz/s1600/d340.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="430" data-original-width="396" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnyPSf6wz7NR0ZxDBKlF8DNpF2O0xAAfiW3TwCwuF92johDBm3Spm1Euk9dCSwGn81l6Iq6dgizoMHbcnwZyG0mKI7N7Y_v-HeUGv3BYNutFWlh0-Wtut4kraIN7oEm-2aKmuNJafbDpYz/s1600/d340.GIF" /></a></span></div>
<span style="font-size: large;">
しかし、</span><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_18.html"><span style="font-size: large;">新たな変数t≡-
<math>
<msqrt>
<mi>-x</mi>
</msqrt>
</math>
</span></a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_18.html"><span style="font-size: large;">を使って、変数tで積分する式に変換する(置換積分)と、</span></a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2017/08/blog-post_18.html"><span style="font-size: large;">以下の図の様に、被積分関数が定数2に変換されます。</span></a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjb19EwD3OActFWFEVI-d9Bd6RqtHNe3U3GssXnnD3SHrosWnJuRmPWWzW5AoA2xZQ8KRAuS0Tqod-3nu6z3X0Ag7cT3dp3vRuAJelrnNrZMaE8wnIX3HrlNN1f8cjsexTghXl9ekoGZkf7/s1600/d342.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="404" data-original-width="427" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjb19EwD3OActFWFEVI-d9Bd6RqtHNe3U3GssXnnD3SHrosWnJuRmPWWzW5AoA2xZQ8KRAuS0Tqod-3nu6z3X0Ag7cT3dp3vRuAJelrnNrZMaE8wnIX3HrlNN1f8cjsexTghXl9ekoGZkf7/s1600/d342.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">そのため、その場合は、 </span><span style="font-size: large;">xがー1から0までの範囲に対応する、 </span><br />
<span style="font-size: large;">tが-1から0までの範囲で、「積分可能」に変わります。</span><br />
<span style="font-size: large;">そのように、積分可能な変数の範囲は、変数を変換すると変わることがあります。 </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">また、この関数f(x)に対して以下の図のグラフの不定積分F(x)を考えてみます。</span><br />
<span style="font-size: large;">(不定積分の求め方)</span><br />
<span style="font-size: large;"> この不定積分の求め方は、上図の関数の部分毎に原始関数=不定積分F(x)を求め、それらの不定積分を、連続になるようにつなげば、以下のグラフのように、総体の不定積分が出来上がります。</span><br />
<span style="font-size: large;">定義域x<0の関数f(x)の原始関数の-2
<math>
<msqrt>
<mi>-x</mi>
</msqrt>
</math>
と、</span><br />
<span style="font-size: large;">定義域x>0の関数f(x)の原始関数2
<math>
<msqrt>
<mi>x</mi>
</msqrt>
</math>
と</span><br />
<span style="font-size: large;">を独立にY方向に平行移動させて、x=0で連続につないで不定積分を求めます。<br />
この不定積分F(x)は、不定積分が、被積分関数F(x)の定義域のx<0だけで定義されることになるのが気持ち悪かったので、被積分関数f(x)のx>0の範囲を勝手に定義して、その全体の不定積分を作りました。関数f(x)の部分毎に作った原始関数を、連続につないで総体の不定積分を作りました。
</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMTpVPVkBPCkqW0APdDLN1FioLFiTZ-9pJIq3L2QWR8TOuusy1GIhBHAp1OyiLsYj2K6H57_Xw8kSdvXk88s2sFMHHFB1aFnF7_qHkmm-RiqpKN1im6PAJmmxTRTlGUT6QRalpSHR8EUYL/s1600/e300.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="564" data-original-width="645" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMTpVPVkBPCkqW0APdDLN1FioLFiTZ-9pJIq3L2QWR8TOuusy1GIhBHAp1OyiLsYj2K6H57_Xw8kSdvXk88s2sFMHHFB1aFnF7_qHkmm-RiqpKN1im6PAJmmxTRTlGUT6QRalpSHR8EUYL/s1600/e300.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">このグラフの不定積分F(x)を微分してみます。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBYBpdyNz0HTDCIiyrsvJurBpS-hjRXjmdaABPhKWucKm0sfkCO8O-iA02vtzt-ecTVZ9sVmb7hVIukI71ut8bbcQeruq3NisNsVnl8x0IT5hrmft0roo1uD8hrU6rWZ295B1rUuKHU0cu/s1600/e301.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="394" data-original-width="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBYBpdyNz0HTDCIiyrsvJurBpS-hjRXjmdaABPhKWucKm0sfkCO8O-iA02vtzt-ecTVZ9sVmb7hVIukI71ut8bbcQeruq3NisNsVnl8x0IT5hrmft0roo1uD8hrU6rWZ295B1rUuKHU0cu/s1600/e301.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)は、1つながりの連続関数であって、</span><br />
<span style="font-size: large;">また、x=0以外の点で微分するとf(x)になります。</span><br />
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)が1つながりに連続な変数xの範囲では、関数f(x)が積分可能です。</span><br />
<span style="font-size: large;">(その理由は、以下で、<a href="https://www.amazon.co.jp/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6-%E7%AC%AC1%E5%B7%BB%E2%80%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%B7%A8-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%A7%A3%E6%9E%90-%E7%AC%AC-1%E7%B7%A8/dp/4753601633/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=10FD1E429A3D6W9346KZ">藤原松三郎の「微分積分学 第1巻</a>」を解説して説明します)</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">そして、関数f(x)の定積分は、</span><br />
<span style="font-size: large;">不定積分F(x)が1つながりに連続な範囲の:</span><br />
<span style="font-size: large;">a≦x≦b</span><br />
<span style="font-size: large;">の区間では定積分でき、その定積分の値は:</span><br />
<span style="font-size: large;">F(b)-F(a)</span><br />
<span style="font-size: large;">で計算しても良いです。</span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>関数f(x)が積分可能な条件は、f(x)の不定積分F(x)が、f(x)の積分区間において1つながりに連続である事です。</b></u></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">このように、積分可能の条件が広くされました。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKFG9KQCAQLiqM5E_JznLjMHHToBJpcl8ozogpg50OK9N783d-M-ZsRSYyvbxNeCcEv3K0k0Mj_sTmrp1eH18THtbxL1u95tA-ZkDufskK1pakcueA767Cf4byqvvpvuVYy9rvomqJHki/s1600/e333.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="428" data-original-width="517" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOKFG9KQCAQLiqM5E_JznLjMHHToBJpcl8ozogpg50OK9N783d-M-ZsRSYyvbxNeCcEv3K0k0Mj_sTmrp1eH18THtbxL1u95tA-ZkDufskK1pakcueA767Cf4byqvvpvuVYy9rvomqJHki/s1600/e333.GIF" /></a></div>
<br />
<span style="font-size: large;">----(補足)------</span><br />
<span style="font-size: large;">また、-1≦x<0で定義された</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)≡1/
<math>
<msqrt>
<mi>-x</mi>
</msqrt>
</math>
</span><br />
<span style="font-size: large;">の定積分を計算する場合に、上図の不定積分F(x)の他に以下の図の様に不定積分F(x)と、それを微分した関数f(x)を考えて、それらの定義域を、元の関数f(x)の定義域にまで縮小して考えても同じことになります。</span><br />
<span style="font-size: large;"> つまり、被積分関数f(x)のx>0の範囲に接続する勝手な関数を別の関数に変えて、その全体の不定積分を作りました。関数f(x)の全体の定義域の部分の定義域毎の原始関数を、連続になるようにつないで総体の不定積分を作りました。
</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguNlXbhajKq7yMbj7N8p9xUT7ohacFFmUg7eQj4oKDGu405AjO-fDqh-GG_7uMaUnu_ueP7QQ0d8vS1voFR4mrDrQDAXQVg4IPRhjn9MNXurvsWXZsJLxiMHyayAfNQ_4irXeX7QxjAMjV/s1600/e304.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="406" data-original-width="624" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguNlXbhajKq7yMbj7N8p9xUT7ohacFFmUg7eQj4oKDGu405AjO-fDqh-GG_7uMaUnu_ueP7QQ0d8vS1voFR4mrDrQDAXQVg4IPRhjn9MNXurvsWXZsJLxiMHyayAfNQ_4irXeX7QxjAMjV/s1600/e304.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">この関数F(x)は、x=0で連続な1つながりな連続関数です。</span><br />
<span style="font-size: large;">この関数F(x)を微分すると以下の関数f(x)になる。</span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5FCQjazy3615xqqE9gSr0sZQ-k5-JgY9pfRtCd4dAzzWdGPHezP342swAYHExbbRj-crXWkz8xls4zx4naW_f8__jnR9TQHA_G_utepwHqb-4wUlDOfaFEANtkp6ojtsoG-BCQJf2AXAf/s1600/e303.GIF" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="585" data-original-width="641" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5FCQjazy3615xqqE9gSr0sZQ-k5-JgY9pfRtCd4dAzzWdGPHezP342swAYHExbbRj-crXWkz8xls4zx4naW_f8__jnR9TQHA_G_utepwHqb-4wUlDOfaFEANtkp6ojtsoG-BCQJf2AXAf/s1600/e303.GIF" /></a></div>
<span style="font-size: large;">そのため、F(x)は、そのf(x)の不定積分です。</span><br />
<span style="font-size: large;">この不定積分F(x)の定義域を、<br />
x≦0<br />
にすれば良い。</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> ここで、x<0で定義される被積分関数f(x)に、x>0で定義される勝手な被積分関数f(x)を加えて、被積分関数f(x)を、その定義域を広げた異なる関数に変えて、その全体の不定積分F(x)を作りました。そして、最終的に、その不定積分の定義域は削除するので、X>0の定義域の不定積分は、気休めに加えたものにすぎません。</span><br />
<span style="font-size: large;"> ただし、いずれの作り方で作るにしても、不定積分F(x)の定義域はx≦0にでき、被積分関数f(x)の定義域はx<0ですので、不定積分F(x)の定義域の方が被積分関数f(x)の定義域よりも広く作れました。
</span><br />
<span style="font-size: large;">----補足おわり--------</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">これらの事については、<a href="https://www.amazon.co.jp/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6-%E7%AC%AC1%E5%B7%BB%E2%80%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A7%A3%E6%9E%90%E7%AC%AC%E4%B8%80%E7%B7%A8-%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%A7%A3%E6%9E%90-%E7%AC%AC-1%E7%B7%A8/dp/4753601633/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=10FD1E429A3D6W9346KZ">数学者の藤原松三郎の「微分積分学 第1巻」</a>が、<br />
連結区間a≦x≦b内で定義される関数f(x)が、その連結区間内に有限個の連続で無い点を持つ関数f(x)である場合に、</span><br />
<span style="font-size: large;">その区間a≦x≦bでのf(x)の積分を広義積分と呼び、</span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)の不定積分F(x)が求められて、 </span><br />
<span style="font-size: large;">関数f(x)の積分範囲<br />
a≦x≦b<br />
内で不定積分F(x)が(端点では片側連続である)1つながりに連続な関数ならば、</span><br />
<span style="font-size: large;">(その積分範囲内にF(x)が微分不可能な点、それは被積分関数f(x)が連続で無い点、があっても良い)、<br />
(1)それは、不連続関数f(x)が積分可能である証拠であり、<br />
(2)以下の計算で定積分を計算して良い事が書いてあります。 <br />
F(b)-F(a)<br />
よって、<br />
<span style="color: red;"><u><b>不連続な関数f(x)に対して、</b></u></span>
</span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>その定義域を、関数f(x)の連続で無い点を除外した連結区間に分割し、</b></u></span>
</span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>それら各連結区間毎に原始関数を計算し、</b></u></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>得られた各原始関数を連続につないで不定積分を構成します。</b></u></span></span>
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><u><b>その1つながりに連続な不定積分を使って上の式で定積分を計算して良いのです。</b></u></span></span><br />
<br />
<a href="https://www.kspub.co.jp/book/detail/1565647.html"><span style="font-size: large;">また、小寺平治・著「はじめての微分積分15講」(2,200円)の103ページにも、このことが書いてあります。</span></a><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://www.amazon.co.jp/%E8%BB%BD%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80%E3%80%881%E3%80%89-%E5%B0%8F%E5%B9%B3-%E9%82%A6%E5%BD%A6/dp/400005192X/ref=la_B004KYGATW_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1553841912&sr=1-1">小平邦彦「[軽装版]解析入門Ⅰ」</a>の182ページにも、このことが書いてあります。</span><br />
<br />
<span style="font-size: x-large;"><a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/06/blog-post.html" rel="nofollow" target="_blank">《(外部リンク)置換積分等の積分の計算に潜んでいる広義積分》</a><br />
<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2022/03/blog-post_8.html" rel="nofollow" target="_blank"><span>《(外部リンク)変な積分》</span></a></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク: </b></u></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><b><a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a></b></u></span>
<br />
<span style="font-size: large;"><u><b><br />
</b></u></span></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-87275560946526794382023-08-15T14:54:00.004+09:002023-08-15T15:15:41.185+09:00図形の角度を複素数平面で求める <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問1】</span><br />
<span style="font-size: large;"> 以下の図形のtanθを求めよ。ここで、ベクトルOAを複素数aであらわし、ベクトルOBを複素数bであらわし、ベクトルOCを複素数cであらわす。</span><br />
<img border="0" data-original-height="684" data-original-width="612" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBbLfXhVGo711Qg08qWHanrdlqUBFTZZmz3VBKnG6rMn83jReRTt3cBjA0R1AK_FI3Q5AUouSo52FG6b-JsSObKjrxLDNrUh0-LaARyo0vfp2sH-M6p4hf8kUt5SxwgUnWD8wzhfN4hMBmlQiojPkGYzIzXd4nLnCtkRATmKThCiUjvYXXAu5FbS92hbss/w573-h640/f992.jpg" width="573" /><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/08/blog-post_15.html">この問題の解答はここをクリックした先にある。</a></span><span style="font-size: large;"><br /></span><br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</b></u></span>
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-38697465454575535492023-08-08T08:34:00.002+09:002023-08-08T08:34:27.952+09:00図形の角度を求める問題 <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問1】</span><span style="font-size: large;"> </span><br />
<span style="font-size: large;">以下の図形のtanθを求めよ。</span><br />
<img border="0" data-original-height="676" data-original-width="516" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwR3Px5BOdmUUGrRvVtKZtYg3SL2a8paORVHv0VGIxFpe9KUBiIthjpBRkhIqYeEEGeSxnosQUlQWmoqoTXyBKMXl_y3R8rxaGdX4k-ffYs3GXFOOhnk1vNlKKJ813bXIue1lXyGefvoNhFZmhRK7zGSUmwlVfcHes4LxNcgNbtZgdbt43uZCGVeAf8s5V/w489-h640/f963.jpg" width="489" /><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/08/blog-post.html">この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。</a></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</b></u></span>
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-24579479347173156062023-08-07T14:25:00.015+09:002024-02-26T08:03:14.823+09:00sin70°の変換公式<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問題1】<br />
以下の公式が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="226" data-original-width="523" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUSZOyPoTsd26FzmI1fdJtO9Rwn3kH09RlGN5is8dLhIQs75cEagfX8EfOhxvUOcuby7G4TqoBWTo0xomEJM6CpwRTlNVXgwA_csOaMDG5VFTZjtICVNoQ5cozgFrIQyVfuKrhAuzykYjDmRVt002joQSL9OMwokv0upO-5Yu__i40lSAQ6DMU3ctFDgfh/s16000/f962aa.jpg" /><br />
<br />
【問題2】<br />
以下の公式が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="238" data-original-width="457" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZgLj-ufwyHChJupsdPOIibBD5a11gJta2hOMMKpUckHwMzVNKzcuA6I-z11YlVVpEsIvFIjWEpM0dejRjEy0dbCvQRlDwqhPCIeIgq67ArOh1tU-n4pFWyDivz2N7RbrCv9_b3qwIOkpCHcCu5OPg8qYLES-_1mYd7J7ANCp4ECSHMaPkLci3FNrw1tmg/s16000/f974a.jpg" /><br /><br />
【問題3】<br />
以下の公式が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="123" data-original-width="505" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPfiq7whkQdn9tK3rGc45fIDA5JKgUonQzRq-d7TGOwoyAZm-9uKuLoOtIKGE9XB39Xh2dkQPMTplE83ffCES9zgtLZdyoVLEAdRcn0auRWohzHrN0ZAvRlWal1BsSHQ_8vj5vyt6FOdy2rTBpbm2hr4EzwdVbsoStk3uhf5WgGsWVNZD3iSdyyRpBzXUV/s16000/f976a.jpg" /><br /><br />
【問題4】<br />
以下の公式が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="73" data-original-width="544" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhC_XcLO1dxEC7h_1kHfdyM-lTNlGRwcW3oz5vSxTxumx2WZptsoqinT_rbsOSV0KrdXiQm7J-V6djP3Fxjyf8lzNLwYxnCjbsU2sttSB2ZRNuYjvxHTpwgJLTC5sLtcYrhv07T8ZpUNyVVwK_nrCPP_rHf03fQ6nAg_D29qGj0uYZ6mowN7H-pcCBRunjF/s16000/f999a.jpg" /><br />
<br />
【問題5】<br />
以下の公式が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="133" data-original-width="595" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJiqPSDO7bnYlG_Fe-CO_Eo3sQbEfEzXSmejz9LsafkxsffrFj2rhpcHWG_VOyvx43J8tsp7vtizNwbDnoK2wio3ILsFsYxi8IsGvOphdlCopoL3cpD89RQYgqhAjODoqUhHpEtyvqcWzzAjD3KhClDmzySNUydypUYgYwIpPAWWqsC5HimYJNkySUM3YY/s16000/g001a.jpg" /><br />
<br />
【問題6】<br />
以下の公式が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="90" data-original-width="586" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSS0QZBlU0RCnQ-2Uza4fUMpymp7nmn03TW6h4uO79S2pULGM4Fn93DtESWe7Um0v8klCgdnLEaM1TQCU5S0_a33daxoMOt3-8JlkFVj9wMnpvr2PoawWQzcAs9MJGEztBONTNA4X5JvKP7YkIb2DQG0OCuOZC-qmIl2zwjhDvxLVzsw4W8Uet6fVNfCOc/s16000/g242a.jpg" /><br />
<br />
【課題】<br />
以下の公式が成り立つことを各自で証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="700" data-original-width="478" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhm7Z7ODVq4tpJs1rGoqEISJ_6lIXAIfWeZvviC_b8MzpJ8bIAZUJBd8Zi6pfVtr347eSYi1ALGHnZD4FqwI7t1hO6eAM4jPayZqNLqHUdZqbeJiZ3_W59Kt0ATk9pX5uotfYtgALQtixn3z1zumq9QPXFgsIvonY8i7xc1kMBAJP2c1FgkfLQZaP8p1fwg/w437-h640/f988.jpg" width="437" /><br />
<img border="0" data-original-height="573" data-original-width="543" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxJrGZFNmw16U9PILFB8pSbGra7HZzYYYZL-Cmq8LSk78m0sgZ9BMTcnj8fd1D8S4S1r3ONH8SSfb4TCApJTp6Zy_iW9y33YwJUVvH_2zEeykplgRoObwfhmiGFbL6iqxSqopS-jlmiDvN4rSZOCjMA7GIILvgE0Xnshk67FatmWn9FBML2qYDywzmjhPt/s16000/f989.jpg" /><br />
<img border="0" data-original-height="522" data-original-width="600" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjESuJcUhB37BeRqjn_nvVrAF4AUdyQlbRTZgbUtNasC6PlIfzj55rxj7x9bPyyPw9E6PbNEqaNZ0RoyceVJbBxQQ1eARVvNHcTCDPLo5RE5gvlv6jWnhkmpQmSK-WQF6u1_14IxYYV0H1_FyD09BiwRpFTCdUcBBdb_4lY3kKqNhaCGbkhnlFw57iBM_Cu/s16000/f990.jpg" /><br />
<br />
<img border="0" data-original-height="781" data-original-width="631" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCNytNnldg_lWTljPRVDIv3ek9k9-1QjfGZGrtw8ULAOGEesIkZNCmYgbgSaMBhE2usOTcjtqgYQNZFQ3ADJnM4vtwSnYNW1Thc4OtoO3Rq9ClJRCWE9nPiZpktEqWaMFFJA-bTpr25QBjYuEAtBGIQYXjxuGHgdEnEVlg1EyiAEnEWoh4qSZe1Q8hpiAJ/s16000/f991.jpg" /><br /><br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/08/sin70.html">この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。 <br /></a>
<br />
<u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</b></u></span></div>
</div>
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<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">【問題】<br />
複素数平面上で、原点0と点A(a)と点B(b)とを通る円の中心の位置をMとする。線分OAの中点をHとしたとき、ベクトルHMを複素数aとbとであらわす式を求めよ。<br />
<img border="0" data-original-height="621" data-original-width="649" height="612" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirxR7UEKQk_YLcSNntwuy9P61wkr2bF3ljbLTfPduEQ2DAkqEbDlnAmlzj2PTL-H8Kgr6EIXvTgdgrsXIp9PZMR04fHjvR8YDC83JTXr92b_fyo8Uk1b3uSXmlEo0hziZ23qO-KtQAuAb8yq01L95g_9bG41UaEwq9SIQGHZ4Ifxia_0wD6zLHGBTC5yrY/w640-h612/f953.jpg" width="640" /><br /><br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/07/blog-post_26.html">この問題の解答はここをクリックした先にあります。</a></span><span style="font-size: large;"><br />
<br />
<u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2019/07/blog-post_21.html">複素数平面で三角形の外心を求める</a><br />
</b></u></span></div>
<br /></div>
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<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;"> 複素数平面であらわした複素数はベクトルです。<br />
<a href="https://jeea.or.jp/course/contents/01109/" rel="nofollow" target="_blank">(実際、ベクトルPを複素数x+iyと等号で結ぶ表現をすることもあります。)</a><br />
<a href="https://jeea.or.jp/course/contents/01109/" rel="nofollow" target="_blank"><img border="0" data-original-height="63" data-original-width="148" height="63" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgR-2xlckYcuPJfhnE-JjnHai7yM5NVC_v_JKzyOH8zJWT6bWCuH6zzkAZObP7SSWMIpoyu0ajIviKG_GZOwQCzw59rvOUU8vPRvn3UzTFC0OZoU89g3hzrtTmR1gcrdejH3tcGbCuWgec5dXVQSSDHmEhekJ6MGHHuqCRqjPX66h1lf6jSF_6gxT7gsQ/s1600/f691.JPG" width="148" /></a><br /></span><span style="font-size: large;">以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">【問題1】</span><br />
<span style="font-size: large;"> 複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の3点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その3点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数hを求めよ。 <br />
<br />
【問題2】<br />
複素数平面上で、原点0を中心にした半径1の円がある。その円上の異なる3点A(α)、B(β)、C(γ)が作る三角形の点Aから直線BCへ下ろした垂線の足をH(ε)とする。点Hの位置をあらわす複素数εを、点A,B,Cの位置から導き出す式を求めよ。 <br />
<br />
先ず、この問題を、ベクトル方程式を使ってベクトルで解を求めて、その解を複素数であらわす解を求めてください。<br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/07/blog-post_24.html">次に、ここをクリックした先の、解答を見てください。</a>
<br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2015/04/blog-post_26.html">垂線の足までのベクトルの複素数の公式</a><br>
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2019/07/blog-post_21.html">複素数平面で三角形の外心を求める</a><br />
</b></u></span></div>
<br /></div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-83492849986916879392023-07-21T09:40:00.003+09:002023-07-22T18:35:08.277+09:00任意の整数nに対するxの方程式が整数解を持つ問題<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
任意の整数nに対するxの方程式が整数解を持つ問題は、nの絶対値が十分大きい場合を考えて解くと問題が解き易くなります。
<br />
<br />
【問題1】<br />
aは実数の定数とする。任意の整数nに対する次のxの方程式が整数解を持つようなaの値をすべて求めよ。<br />
<img border="0" data-original-height="94" data-original-width="573" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj387bJBHhcnCSDqkTtSebCmMIYXBiYqeLp85pzgZI3bKrkXgSTzLBdyDMPL5qzndV5V1O6o1_HqTs4o87E0yIwSu3F8-Ud4dl9zNJ-qvkGp0kDkrcKGn_nZZRfq2LxvjEh_rQabZ-1sTrGB_Kqhozdc1HdpoqF7FoxOnnhrX8dc7Dkfk2xNYzIWuIHTUrp/s16000/f936a.jpg" /><br />
(問題おわり)<br />
<br />
【問題2】<br />
aは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、<br />
<img border="0" data-original-height="73" data-original-width="375" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhkMenZMlZ_C9UX0DChKCvAn4q_C0d9KI1uL99aqQvqeVBZxQnrqhWN6AD1AyEEAmeXvXvXDCHyGr2wgyy3GzZin9cqNqhW4PbyIoudZ9ataAA93wTOlELgU6LJC1V_WETy7TM1sWIIq2T08ujyKwpmSFz6tAtbAKPsT6ipQnRlBLnOgV8i4ZEhk627Sls/s16000/f939a.jpg" /><br />
以下の式(2)が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="66" data-original-width="289" height="66" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitYm9YKLaYnPF5kgt4u8-crqiWeO1Vo2fGLF_dADf3cQYIMIz-tg0OQCHef1Ot6Iye5HmzC6QxQdmAxbRTbXDQgKTZVf1AJ-WhwDuB30GzEWu1MsIIk9n3C4J_Fxa5RCOxiWkES_uLIVHDuFUqibUea2nQX6DiIsU5rSNtKj-eRoZxom15TKrLeEf4ypJ1/s1600/f939b.jpg" width="289" /><br />
(問題おわり)
<br />
<br />
【問題3】<br />
aは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、<br />
<img border="0" data-original-height="69" data-original-width="418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4pIJIES8kSjmoGPv5LMYxWNNaHxUe5FTQbjDIKn_Bc3KPlc-TZqicjGOdC9WQhKIPmO6DB8DRp06ACdKd-U7fUvP5nDb26pzRnc1pAJyPYi8_ryLPZTaDLInAI5hXVuOY1AVXvPrbc-TnxVExY4zzEBwEIvPj_NEfx-tXHd509XOvdrZSq7s0Sqb1iEmV/s16000/f940a.jpg" /><br />
以下の式(4)が成り立つことを証明せよ。<br />
<img border="0" data-original-height="55" data-original-width="180" height="55" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEitFcr01qVYdJ03Rq7kGDBIGhOKfSp_wbe5jBzF6M8OfnChDB8suO6i4uAgVviqUFg8-jGR9RY3dTRbzb8fmjf6N7jz7Tzpsu-lRncG-KB-WIVFYpGQT-IyHb247BYS-ViuE9dJkoGRA9NJ3QfJOiBBgZaZdxWvnLxojB1zfdyE1dyhu1Svhr6MUSpu064M/s1600/f940b.jpg" width="180" /><br />
(問題おわり)
<br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/07/nx.html">この問題の解答はここをクリックした先にあります。</a>
<br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
</span><span style="font-size: large;"><br /></span></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-74227063327089563822023-07-17T09:41:00.009+09:002023-07-17T09:50:33.199+09:00未知数が2つ以上ある連立不等式<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
未知数が1つだけの連立不等式は同値変形にかかわる式変形ができます。<br />
未知数が2つ以上ある連立不等式の正しい解き方も、問題を同値変形して解くのが正しい解き方です。同値変形して解く正しい解き方は、図を描いて解く解き方です。
<br />
<br />
【問】<br />
-4<a<4.........①<br />
-4<b<4.........②<br />
6<2a-b..........③<br />
0<a+b...........④<br />
であるとき、aの範囲とbの範囲とを求めよ。<br />
(問題おわり)<br />
<br />
【解答】<br />
以下の図を書いて問題を解く。
<br />
<img border="0" data-original-height="595" data-original-width="631" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgng1XIkOSnIPKBopbgrTtHcRtX4kd68faiGe-rxbmw4ZteLMPEIIeNUAYTudrbI1ABGW1b-V6OlHav0uQ9M6R-KiXqHA_seGPbY2pbxaTkKJkbsLuywmwKpr38R5CXWyeShhAGJBZ-TXN2MCLyMxgasq_5TJREFOdY88XPrY7eMSYvMucXMFCQUKcu7X9O/s16000/f931.jpg" /><br />
図の斜線の範囲が、同値変形した連立不等式の解です。<br />
その斜線の図形の形から、<br />
2<a<4,<br />
-4<b<2,<br />
がわかる。<br />
(解答おわり)
<br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
</span><span style="font-size: large;"><br /></span></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-16248744554346455222023-07-09T08:11:00.006+09:002024-02-20T18:09:51.815+09:00空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">大学への数学「ベクトル」編の勉強</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">【問1】以下の空間図形の線分OBと、三角形DEFが張る面βとの交点Gの位置ベクトルをもとめよ。<br />
なお、ベクトルOAをベクトルaとし、ベクトルOBをベクトルbとし、ベクトルOCをベクトルcとする。<br />
そして、点Dは線分OAを2:3に内分する点、点Eは線分ACを2:1に内分する点、点Fは線分BCを1:2に内分する点である。<br />
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmnoYhsnIxWoBRNaguohRJmX0HFPs4KBaSyKkdFw5Kj3nNEMDXPgQn9tWx-Pxyay2RJ6FPL-N0H7k7WgevWFTAynI2h913-fwcYfMKHxDdN5ktmzbWDgepMaKTS_yDQEnNw3F3IarFdFE/s1600/com596.GIF" /><br />
<br />
【問2】<br />
四面体OABCがあり、 <br />
<img border="0" data-original-height="76" data-original-width="466" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJtbBclqRzmpTpe4_BDZH2Q09cm0GTvlkHmQSXoLHJG_TKfPaUafI9rjuhiX388CoeON42G4RfLMWPb-mt1HhtuUtfueag57YaObDDBBkhMbNAd6lZIm0eAa-P3RKgPmxw-swcRjJdqX27XjtfNsPZ_sGwJTfjIhXp4Z3HRi2P0ht_52PqON2MSpEcZA5F/s16000/g228a.jpg" /><br />
とし、点Dを、以下の式(1)で定める。<br />
<img border="0" data-original-height="75" data-original-width="387" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_3jhIJ2T8pMd9cvABVkGnXSiKVGdAs5sBqzM1hMy5y_TdTLsI5Y5il5S2fgpPeT3qoFH16q2DSsn_3nOdd7pTE9901POy8pT1XZtEebQzb2NtehJpzraIsawdMBlkc02JF1eovquvVAyNMn8Xn2YInF1z6HXHMG0-7y6_7BgRlL9SwlbjMq9HJ0ItVLEa/s16000/g228b.jpg" /><br />
点Xは、三角形ABCの辺上または内部にあるものとして、以下の式(2)で定める。<br />
<img border="0" data-original-height="64" data-original-width="378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFd8hxM42th2rd0-h3RBOfDkrlJ44tQEJ0PNxP4ltfCmlkDYKFaXbnfwkSxXPq_6LHJxJC7Q6JvJxLXFOVxBBJMNkwBcYL_Sx8NgTo-uskhl1n8lfxXLmqYIvTitpxMYcMu6u_n6-ffm5w-_EQ68UqxGH7ZUgMdodOnRpwTRIm8nkd5y2mql8zLazPExqS/s16000/g228c.jpg" /><br />
このとき、直線DXと平面OABとの交点Pの位置をあらわすベクトルOPを求めよ。
<br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/07/blog-post_9.html" rel="nofollow" target="_blank">この問題を自力で解いた後で、ここをクリックした先の解答集を見てください。この問題の解き方が種々あるので参考になると思います。</a><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;">リンク:</span><br />
<span style="font-size: large;">
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/07/blog-post.html">ベクトルを境界面まで延長する問題 </a><br />
</span>
<br />
<br /></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-33909737906116963082023-07-08T10:46:00.008+09:002023-07-09T08:54:13.871+09:00ベクトルを境界面まで延長する問題<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">以下の問題を例にして、ベクトルを境界面まで延長する問題をやさしく解く方法を(この問題の解答にて)紹介する。<br />
<br />
【問】以下の図の四面体OABCでベクトルOPを延長して面ABC上の点Qで交差するベクトルOQをベクトルaとbとcであらわす式(1)を求めよ。また、ベクトルAQを延長して直線BC上の点Rで交差するベクトルARをベクトルABとベクトルACであらわす式(2)を求めよ。
<img border="0" data-original-height="576" data-original-width="529" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8qyPPXJQ-QEkAeeJ5r1a17fcSuxQ03ST9boU0PNJtDmevP7dLUVb0zagnq6IdjFtQ_lWjtr2hq0rH-3tKX4qGZvk8cHlFfz1Y5_PJv7eXZeDDr1wyMXf0xQs6BFDjjjC0VaVN4xU6H8jhiY7C5K432ikRFIVaulNiWdpzfbGO8qY2Tq969HVsnddyQ-5q/s16000/f913.jpg" /><br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/07/blog-post.html">この問題を、自力で解いたあとで、ここをクリックした先にあるこの問題の解答も参考にしてください。</a>
<br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2023/07/blog-post_9.html">空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ</a><br></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-69845330351136038302023-06-18T18:21:00.001+09:002023-06-18T18:21:40.543+09:00三角形の頂点のx方向変位量の公式 <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
【問1】<br />
以下の図のΔxの値を表す公式(3)を証明せよ<br />
<img border="0" data-original-height="778" data-original-width="679" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLVor7rbpSrlqppVCHsoXjUiGDkz0mPhluROVXX7Cz8SxtOP0Sc9XVc1RaGaANUZmRtp0474SwXdi_Kz6QxHTTeYcqGWaLChXm4b8JQ3Wr6cZibit9NRXft3i36hfjz8iuvs1pdd-XgS9eefSPU9h1Hwk39fwru8edmhN2Ry-FpGzsJevC37ujr5Aa1g/w559-h640/f909.jpg" width="559" /><br />
(問題おわり)<br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2023/06/blog-post.html" rel="nofollow" target="_blank">この問題の解答は、ここをクリックした先にある。</a> <br /><br />
</span>
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</b></u></span>
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-3420337159811380522022-12-07T08:12:00.041+09:002022-12-09T12:43:15.291+09:00確率の同様に確からしい事象と事象の対称性<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
《事物の対称性の把握》<br />
確率の問題を解くために、事物の対称性の認識が不可欠です。<br />
互いに平等・対等で対称な関係にある複数の対象物に対して、その各々が選ばれる可能性を、「同様に確からしい」としている。<br />
互いに平等・対等で対称な関係にある複数の対象物とは、例えば、サイコロの6つの目がある。<br />
【サイコロの目】<br />
サイコロを振ると出て来る1から6までの6つの目について考える。<br />
それらの目は、サイコロという正6面体の、互いに対称な6つの面を、番号付けして区別したものです。<br />
その6つの面は、どの面も平等で、互いに対等で対称な関係がある。すなわち、それらの間には差別が無い。<br />
それゆえ、その6つの面のどの面が選ばれるかの可能性を「同様に確からしい」と考える。<a href="https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/chu/keyproject/pdf/sugaku_2nen3_02.pdf" rel="nofollow" target="_blank">そのように考えて定める確率を「数学的確率」と呼ぶ。</a><br />
また、互いに対等で対称な関係があると認識された6つの目の選ばれる事象のバラエティが6つあると考える。<br />
<br />
【袋の中の複数の玉】<br />
袋の中の同じ形同じ重さの複数の玉で、色だけが異なる玉を取り出す問題について考える。<br />
それらの複数の玉は、どの玉も平等であって対等である。すなわち、玉同士の関係は対称な対等な関係であって、玉を取り出す可能性が玉毎に(その色などの性質によっては)差別されない。<br />
それゆえ、同じ色の玉も区別するように、全ての玉を区別して考える。そのように区別したどの玉も平等で対等であり、玉同士の間に対称な関係がある。そのように区別した複数の玉のどの玉が選ばれるかの可能性を「同様に確からしい」と考える。<br />
また、互いに対称な対等な関係が認識された複数の玉は、そのどれかの玉が選ばれるかの事象のバラエティが玉の数だけあると考える。<br />
<br />
【個々の対象物の全てを区別して考える】<br />
事物の対称性を考えるときの、考えるべき個々の対象物については全てを異なる物と把握する。その理由は、人が見分けられないように見えても、1つ1つの対象物は全て異なって数えられる物なので、個々の対象物は全て区別して把握する。そのうえで、各々の対象物を平等・対等に扱う。<br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.com/2021/04/blog-post_25.html" rel="nofollow" target="_blank">更に、対象物を袋から取り出す時刻についても、設問が「同時に取り出す」という条件を設定している場合であっても、わずかに異なる時間のずれがあるとし、各々の対象物を袋から取り出す時刻も全て異なるものとみなす。</a><br />
<br />
そういうふうに全ての対象物を、各々が区別される1つの対等な単位にまで区別して考える。そういうふうに対象物を明確に区別したうえで、その対等な対象物のどれが選ばれることも「同様にたしからしい」と考える。「同様にたしからしい」と考えることは、対象物をすべてが区別された対等な物として平等化して考える。そして、それらの区別した上で平等化した1単位の対象物の間に対称な関係があると考える。すなわち、「同様に確からしい」と考えることは、事物の対称性をみつける作業です。<br />
<br /> 例えば、りんご2個と梨5個が入った袋から1個を取り出すとき、<br />
りんご1,りんご2,<br />
梨1,梨2,梨3,梨4,梨5,<br />
の合計7個の物に区別して把握し、各物を平等化する。<br />
そして、平等化したそれらの物のうちのどの1つを取り出すことも、<br />
互いに、同様に確からしいと考える。<br />
<br />
りんごのどれか1つを取り出す事象と、梨のどれかの1つを取り出す事象については、<br />
両者が同様に確からしいとは考えない。<br />
(両者は対等では無いからです)<br />
<br />
【確率の基本について】<br />
<a href="https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/probability.html" rel="nofollow" target="_blank">「確率の問題を間違えてしまう5つの原因と求め方とは?」のサイト</a><br />
<a href="https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/probability.html" rel="nofollow" target="_blank">に記載されている、確率についての基本的考え方が身についていますか? <br />
「確率が苦手な人には、共通する5つの原因があります。<br />
<br />
今回の記事では、その5つと正しい求め方を数学が苦手な人にも易しく解説します。この記事を読むと自分がどうして確率の問題を間違ってしまっているかの答えが出ると思います。<br />
<br />
Q1. リンゴ2つとバナナ4つの入ったかごから3つの果物を同時に取り出すとき、リンゴ1つとバナナ2つを取り出す確率を求めてください。<br />
<br />
《よくある間違い》<br />
果物を取り出した時に考えられる組み合わせは・・<br />
{リンゴ、リンゴ、バナナ}、{リンゴ、バナナ、バナナ}、{バナナ、バナナ、バナナ}の3通り。<br />
だから、<br />
{リンゴ、バナナ、バナナ}になる確率は1/3になります・・・<br />
これは大きな間違えです。<br />
もしこれが正解だとすると、リンゴが2個の場合で、バナナが4個の場合も100個の場合も200個の場合も、答えは1/3になってしまいます。」</a><br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;">リンク:</span><br />
<a href="https://schoolhmath.blogspot.jp/2017/10/blog-post_1.html"><span style="font-size: large;">中学数学の目次</span></a><br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.jp/2011/03/blog-post_26.html"><span style="font-size: large;">高校数学の目次</span></a><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-597365757760889631.post-58197611605084950242022-12-04T18:26:00.004+09:002022-12-05T11:24:02.917+09:00ベン図問題は連立方程式<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="line-height: 24pt;">
<span style="font-size: large;">
【問1】<br />
ある都市でA,B,Cの3種類の新聞が発行されている。その都市の世帯で:<br />
Aを購読しているものの割合は69%<br />
Bを購読しているものの割合は46%<br />
Cだけを購読しているものの割合は3%<br />
B,Cの両方を購読しているものの割合は21%<br />
A,Cの少なくとも一方を購読しているものの割合は88%<br />
B,Cの少なくとも一方を購読しているものの割合は50%<br />
A,B,Cのうちのどれか1種類だけを購読しているものの割合は61%である。<br />
このとき次の割合を求めよ。<br />
(ⅰ) Aだけを購読しているものの割合。<br />
(ⅱ) Bだけを購読しているものの割合。<br />
(ⅲ) A,B,Cすべてを購読しているものの割合。<br />
(ⅳ) A,B,Cのどれも購読していないものの割合。<br />
(問題おわり)<br />
<br />
【問2】<br />
ある学校の1学年61人に趣味に関する調査をしたところ、次のア〜キのことが分かった。<br />
ア 読書だけが趣味である人 10人<br />
イ 映画鑑賞だけが趣味である人 6人<br />
ウ スポーツだけが趣味である人13人<br />
エ 読書と映画鑑賞が趣味である人 16人<br />
オ 映画鑑賞とスポーツが趣味である人 10人<br />
カ スポーツと読書が趣味である人 14人<br />
キ 読書と映画鑑賞とスポーツのいずれも趣味でない人 8人<br />
<br />
このとき、全ての未知数を求めよ。<br />
(問題おわり)<br />
<br />
<a href="https://schoolmathans.blogspot.com/2022/12/blog-post.html">この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。</a>
<br />
<br />
</span>
<span style="font-size: large;"><u><b>リンク:<br />
<a href="http://schoolhmath.blogspot.com/2011/03/blog-post_26.html">高校数学の目次</a><br />
<br />
</b></u></span>
</div>
</div>
schoolmathhttp://www.blogger.com/profile/08002411833607460933noreply@blogger.com0