工夫（４）空間直線の交点Pの計算

【問】以下の図の直線ＭＮと直線ＦＬの交点があれば、その交点Ｐを求めよ。

【解答】
２つの空間直線が交わるためには、その２つの空間直線が同一平面上にある以下の条件が成り立つ必要があります。

実際、以下の式が成り立ちます。

そのため、この２つの空間直線が同一平面上にあります。
それゆえ、この２つの空間直線が交わります。

　この問題では、２つの空間直線が交わるので、パラメータｓであらわした直線の式と、パラメータｔであらわした直線の式をイコールで結ぶだけで、あとは、計算間違いをしないように細心の注意をして計算していくだけで答えが得られます。

（注意）これらの式は、
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」と
「パラメータであらわした、直線上の点の位置の式」
と言った方が数学的に正確です。
　交点Ｐは、直線ＭＮ上の点であり、かつ、直線ＦＬ上の点ですので、
交点Ｐでは、直線ＭＮ上の点の式＝直線ＦＬ上の点の式の関係があります。

このベクトル方程式のベクトルａ、ｂ、ｃが、それだけで三次元空間の全ての点をあらわすことができる、線形独立な（他のベクトルの線形結合ではあらわせない）場合に限り、以下の式が成り立ちます。

 

 

このように、変数２つで３つの方程式がありましたが、それでも矛盾無く解けました。
そのため、直線ＭＮと直線ＦＬの交点が存在します。
（２つの空間直線が交差しない場合は、この３つの式は矛盾し、解が無くなります）

解があるので、以下のように、直線の交点Ｐの位置ベクトルを計算します。

（解答おわり）


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