勉強しよう数学: 12月 2013

2013年12月31日火曜日

計算ミス対策（５６）平行シフト視線チェック

計算ミスを無くす方法
のサイトの助言がとても良いと思います。
　このサイトでは、計算ミスを少なくするための１つとして、
とにかく計算方法をどんどん覚えること
を推薦してます。
　的確なアドバイスと思います。

　それ以外にも、的確なアドバイスがありましたので、以下に抜き出しておきます。

計算間違いをするのが一番最悪のシナリオなわけやから、
（１）自分はこれくらいの暗算しか出来ないと低めに見積もって丁寧に計算する、
って言うように絶対に計算間違いをしないようにするのがコツです。

（２）計算式がややこしい文字式なら、文字の塊を一つの文字に置き換えて簡単にする。

（３）見間違いないように見やすい綺麗な字で書く。

（４）スペースに余裕を持って書く。

それと最後に一つ大切なのが
（５）解き終わると一回見直しておくと決める
（これは、もっと厳しく、式を１行１行、視線チェックして、誤りを波及させない方が良い）
です。
（計算ミスを無くす方法／スカイプ先生byイチロー（一橋進学塾）を参考にして）
（視線が見直しできるために、設問にある式でも、自分の手で書いておく）

これを意識的にやるように繰り返すことで、確実に計算ミスは減ります。

上の計算では、視線がイコール記号の左右のパラメータａの係数を同じ値だけシフト（増減）してチェックします。これが平行シフト視線チェックです。
　平行シフト視線チェックは、イコール記号の左右の同じパラメータのペアの項に対して行ないます。
（それ以外にパラメータａの項があっても良いですが、その項が変化しない事が条件になります。）

　上の式は、不等号の式に平行シフト視線チェックを適用した場合を示しました。
　このように、移項と項の和の計算とを同時に行っても視線チェックできます。

　この平行シフト視線チェックは、チェックされる式を書く前に行うことができます。視線が平行シフトして計算した値で式を書きます。そして、式を書いた後に再度平行シフト視線チェックを行なって、最初の目標通りに式が書けたことを確認します。そうすることで、計算ミスを減らせます。

　上の計算は、平行シフト視線チェックと類似しています。式の全部の項に同時に同じパラメータを掛け算してチェックします。
　この視線チェック方法も平行シフト視線チェックの一種です。

　上式のように、不等号を使った式の場合も同様にチェックします。
不等号の場合は、正の値を掛け算します。

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2013年12月30日月曜日

計算ミス対策（５５）イコール交差チェック

　上の計算では、視線がイコール記号をまたいで移項した項の正負を入れ替えます。その様に項の正負が入れ替わっていることをイコール交差チェックで確認します。

　このイコール交差チェックができるように数式を展開します。
そのために、以下のような計算はしないことにします。

この計算では、項の符号を間違え易い問題があります。そのため、このような計算はしない方が良い。必要があれば、最後の計算の後にイコール記号の左右を入れ替えても十分間に合います。

　上式のように、不等号を使った式の場合も同様にチェックします。
　このようなルールで計算する場合に、視線でイコール交差チェックをすることで、移項した項の符号の間違いを発見できます。

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計算ミス対策（５４）視線かき集めチェック

　上の計算では、上式のように展開して、先ず、視線ブーメランチェックを行ないます。
　次に、以下のように展開して、３行目の式に関して視線かき集めチェックを行ないます。

　視線かき集めチェックのやり方は、３行目の式を１行書いたら、視線で「３行目の式の未知数の項と同じ未知数の項の値を２行目から視線でかき集めて、合計を３行目の項の値と照合する、視線かき集めチェック」を高速に行う。

　この３行目の式についての視線かき集めチェックと、２行目の式についての視線ブーメランチェックで高速に式が見直しできます。
　しかし、もし、２行目の式を書かないで、いきなり１行目と３行目を比較しようとしても、両者を比較する単純で超高速な視線チェック方法がありません。そのため、スッキリ視線チェックを行うために、２行目の式を書いておくようにします。

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2013年12月29日日曜日

計算ミス対策（５３）概算ブーメランチェック

　上の計算のように、式を１行書く毎に、視線で「①書いた式の項の概算と同じ項を探し、②探した元の式の他の項と同じ項を後の式に探しに戻って来る概算ブーメランチェック」を高速に行う。
　このブーメランチェックは概算なので、「思い込み」とは異なる計算になるので、「思い込み」によるミスも発見できるので、なるべく行うようにしてください。
　このブーメランチェックで後の式に不足している項を発見したので、以下のように修正する。

　このように、概算ブーメランを行なった結果、後の式の誤った項を修正して（この場合は項を追加して）、式を完成させる。
　そして、この修正された１行の式全体に対して再度概算ブーメランチェックを行う。

　ここで、計算ミスをした根本原因は、数値の因数分解と式の暗黙の括弧の枠の変更とを同時に行ったことに根本原因がある。
　そのため、今後の計算では、以下のように、数値を因数に分解する際に、それ以外の式の形は変えずに、暗黙の括弧の枠を変更しないようにして計算しましょう。

　また、以下の式のように括弧（）を使うことで、暗黙の括弧の枠（項の数）を変えない計算をしても良いと考えます。

　この式を、上の場合のように、（概算を加えない）通常の（超高速の）ブーメランチェックを行うと、項の数が変わらないのでチェック結果がとりあえず合格になります。
最初の式は、通常の（超高速の）ブーメランチェックでも不合格で、計算ミスに気付くことができます。

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2013年12月28日土曜日

計算ミス対策（５２）式を１行１行ブーメランチェック

　上の計算のように、式を１行書く毎に、視線で「書いた式の項と同じ項を探し①②、②で探した元の式の他の項と同じ項を③、後の１行の式に探しに戻って来る視線ブーメランチェック」を高速に行う。
　このブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
　このブーメランチェックで後の１行の式に不足している項を発見したので、以下のように修正する。

　このように、視線ブーメランを行なった結果、後の１行の式の誤った項を修正して（この場合は項を追加して）、式を完成させる。
　そして、この修正された１行の式全体に対して再度ブーメランチェックを行う。
　ブーメランチェックを何度行っても計算時間に負担にならないように高速にチェックする。

　この視線ブーメランチェックは、計算式にくっつけた、関連する式と結ぶ霊的オーラのようなものと考え、式の項をその霊的オーラで常に関係する式と結んでください。そしてオーラを生かすために視線を何度でも他の式との間で往復させることを苦にしないようにしましょう。

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2013年12月27日金曜日

計算ミス対策（５１）式を１行１行視線ブーメランチェックする

　上の計算のように、式を１行書く毎に、視線で「書いた式にマイナス記号を持つ項があったら、元の式のマイナス記号を視線で探して、括弧（）があったら、もう１つのマイナス記号を調べに戻って来るブーメランチェック」を高速に行う。
　このブーメランチェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。
　このブーメランチェックでマイナス符号の誤りを発見したので、以下のように修正する。

　このように、視線チェックを行ない易いように、少なくとも項の単位で修正する。次の視線チェックの際に視線が誤り部分を横切らなくても良いように式の上側に修正項を記載する。
　そして、この修正された１行の式全体に対して再度ブーメランチェックを行う。
　ブーメランチェックを何度行っても計算時間に負担にならないように高速にチェックする。

　なお、このブーメランチェックを、式を書いてしまう前に行うことができれば、書こうとする式の誤りを先に見つけて修正して、正しい式のみを書けるようになるとも思う。

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2013年12月26日木曜日

計算ミス対策（５０）式を１行１行視線チェックする

上の計算例では、
（１）視線チェックができるように、設問にある式を１行目に書き込んだ。

（２）式を１行書く毎に、視線で「書いた式に使った項と同じ項の源の式を視線で探す、探し物チェック」を高速に行う。
　この視線チェックは極めて高速であり、考えるよりも速い。そのため、式の計算の際の「思い込み」が発現するよりも速いので、「思い込み」によるミスも発見できるので、必ず行うようにしてください。

（３）視線チェックで発見した誤りの訂正は、再度の視線チェックがし易いために、まとまった単位で、少なくとも項の単位で置き換え修正をする。
（常識ではあるが、消しゴムを使った修正はしない）
　修正した式が仕上がった時点で、再度、その１行の式全体を視線チェックする。
（視線チェックは、何度行っても時間的に負担にならないように、高速に「同じ項を探す」だけに留める。）
　視線チェックは、以下のように視線を回して「同じもの探し」をする。同じか同じで無いかが第１優先で、計算の手順が合っているかは後回しにする。

式を展開した項の掛け算の順番は、視線が自然に移動する順に書く。以下の式のように展開して書いた方が良かった。

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2013年12月25日水曜日

問題をやさしくする数学（２５）因数分解の公式

【覚えよう】
　以下の式の因数分解の公式があります。この問題は、普通は２行目までしか教えられていないようです。

　この式は、３行目まで因数分解しなくて良いのでしょうか。
　この問いに対する答えは、
「３行目の式にまで因数分解しなければいけません」
です。
　この因数分解が難しいのでその計算が求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、因数分解の結果で出てきた２次式も更に因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
　この因数分解は難しいですが、この因数分解もできるようにしましょう。
　この２次式の項を因数分解するために試験時間を浪費したり計算ミスする危険を防ぐために、
この答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。

この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
ｘ^３－ｙ^３
のｙを（ωｙ）に置き換えた式が、
ｘ^３－（ωｙ）^３
＝ｘ^３－ｙ^３
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
ｙを（ωｙ）に置き換えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の１つの項の（ｘ－ｙ）を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の１つの項の（ｘ－ωｙ）が導き出される。
　このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項（ｘ－ωｙ）もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

　以下の式の因数分解の公式も、普通は２行目までしか教えられていないようです。

　この式も、同様に考えて、３行目までおぼえてください。

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2013年12月23日月曜日

（２４）因数分解の難問

【覚えよう】
　以下の式の因数分解の問題があります。この問題は、実は難問です。
　この問題が難問であることをあいまいにすると、因数分解はどこまで計算したら良いのか、やり方がわからなくなりますので、ここで、この問題の考え方をはっきりさせておきます。

この式の因数分解の計算の最初の段階では、この式がｘ，ｙ，ｚを入れ替えても同じ式になる対称な形の式であることを利用して解きます。
　ｘ，ｙ，ｚの対称な形の式は、以下の要素ｓ，ｔ，ｕを使ってあらわすことができます。

つまり、以下のように、ｓ，ｔ，ｕの関数ｆであらわせます。

　既に、この式の因数の１つがｓであることを予測していますので、この式を、ｓ，ｔ，ｕであらわすように変形すれば、因数分解もできるだろうと予測できます。
そのため、以下の様にして、式をｓ，ｔ，ｕであらわす変形を行ないます。

ｓで因数分解ができました。

ただし、変数ｘ，ｙ，ｚの式を変数ｓ，ｔ，ｕの式に変換する式の変形において、式の対称性を維持しつつ変形すると、以下のようになり、より優れた解答が得られます。

こうして、ｓで因数分解ができました。

なお、以下のようにして因数分解することもできます。

この計算手順は、以下のようにして導かれる計算の要点をまとめたものである。

このため、以下の計算をする。

　ここで、このｓ=x+y+z の右に掛かる項は因数分解しなくて良いのでしょうか。
　この問いに対する答えは、
「その項も因数分解しなければいけません」
です。
　この因数分解が難しいのでその計算は求められない場合が多いと思います。しかし、因数分解の精神としては、この式も因数分解しないといけないという基本精神は歪めないで、しっかり心に刻んでおいてください。
　この因数分解は難しいですが、２０００年頃は高校で教えられていたようですので、この因数分解もできるようにしましょう。
　この項を因数分解するために多大な試験時間を浪費する危険を防ぐために、
以下に、この式の因数分解の答えを書きますので、答えを覚えて、その答えだけを書くようにして下さい。

この因数分解の覚え方は以下のようにします。
最初の式:
ｘ^３＋ｙ^３＋ｚ^３－３ｘｙｚ
のｙを（ωｙ）に置き換えて、ｚを（ω^２ｚ）に置き変えた式が、
ｘ^３＋（ωｙ）^３＋（ω^２ｚ）^３－３ｘ（ωｙ）（ω^２ｚ）
＝ｘ^３＋ｙ^３＋ｚ^３－３ｘｙｚ
となって、最初の式と同じ式になる。
一方、
ｙを（ωｙ）に置き換えて、ｚを（ω^２ｚ）に置き変えた式で計算すると、
置き換え前の計算で、因数分解の１つの項のｓ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）を導き出したのと同様に、
置き換え後の計算でも、因数分解の１つの項のｓ’＝（ｘ＋ωｙ＋ω^２ｚ）が導き出される。
　このパラメータの置き換えをしても、最初の式は変わらないので、置き換えたパラメータを基礎にして得た因数分解の項ｓ’＝（ｘ＋ωｙ＋ω^２ｚ）もまた、最初の式の因数分解の項である。
と考えて覚えてください。

　因数分解したカッコの中の式では、ｘにだけωが掛からないので、式がｘ，ｙ，ｚに関して対称な形で無いので気持ちが悪いという人は、以下のように式を変形してみましょう。

　この因数分解の結果を見ると、完全に因数分解された式は、ｓ，ｔ，ｕだけであらわすことはできませんでした。最初の式をｓ，ｔ，ｕの関数ｆであらわす計算手法は、最初の因数分解の項ｓを導き出すときだけに通用しました。

（補足１）この完全な因数分解を解く計算は、以下の様に考えて解くのが良いと考えます。
【解】
この問題は難しいので、先ず、ｚ＝０の場合を以下の様にして解く。