メネラウスの定理に係わる難問（究極の方法）

 【問題１】（難問）

上図の線分の間に、
ＡＲ：ＲＢ＝１：３と
ＡＱ：ＱＣ＝２：１
の線分の長さの比の関係があるとき、
（１）ＢＰ：ＰＣを求めよ。
（２）ＡＯ：ＯＰを求めよ。

（重要な注意）
　以下で、このページに問題の解き方、解答を書きます。
その理由は、この種の問題を解くために推薦する解答方法を教えたいためです。
　この難問を、自力で解く努力をして知能ホルモンを分泌させたい人は、以下を読まないで、この問題を自力で解く努力をしてください。

　それ以外の方には、この難問を解く方法で、自力では考え出すことが難しいと思われる究極の方法の使い方を説明するので、その方法を学んでください。

【解答はじめ】
　以下の図のように、水平線の位置を仮定して、その水平線上の点の高さの比を考えます。その高さの比を線分の長さの比に反映させて解くのが「究極の方法」です。

上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比をカッコ()の中に書いて行きます。
その高さの比から線分の長さの比を考えると、
ＲＯ：ＯＣ＝３：２
であることがわかります。
次に、視点を変えて、水平線を以下の図のように定めて点の高さの比を考えます。

上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比を考えると、
ＰＯ：ＯＡ＝３：７
ＢＯ：ＯＱ＝９：１
であることがわかります。
次に、再度、視点を変えて、水平線を以下の図のように定めて点の高さの比を考えます。

上図のように水平線の位置を定めて点の高さの比を考えると、
ＢＰ：ＰＣ＝６：１
であることがわかります。
以上で、
（１）　ＢＰ：ＰＣ＝６：１
（２）　ＡＯ：ＯＰ＝７：３
が全て求められました。
（解答おわり）

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