条件関係がある命題には、対偶が作れる。
条件関係が無いように見える命題にも、条件関係を持つ命題がある。そういう命題には対偶が作れる。
《条件関係がある命題の例》
「Ａさんの母親は３０歳である」
この命題は、条件関係が明確にされた以下の命題に言い換えることができる。
「Ａさんの母親である、ならば、３０歳である」
これは、「ならば」がある条件関係がある命題なので、対偶が作れる。対偶は以下の命題になる。
「３０歳で無い、ならば、Ａさんの母親では無い」
《条件関係が無い命題の場合》
「Ａさん又はＢさんが１０歳である」
この命題は、条件関係が無い命題なので、対偶が作れない。
しかし、条件関係を掘り起こして、条件関係がある、この命題に等価な以下の命題に書き換えることができる。
「Ａさんが１０歳で無い、ならば、Ｂさんが１０歳である」
これは、「ならば」がある条件関係がある命題なので、対偶が作れる。対偶は以下の命題になる。
「Ｂさんが１０歳で無い、ならば、Ａさんが１０歳である」
このように作った対偶は、最初の命題の言い換えと言えるので、何かが変な条件関係である。
《他の条件関係を掘り起こした命題》
「Ａさん又はＢさんが１０歳である」
という命題から、他の条件関係を掘り起こして、この命題に等価で、しかも条件関係がある、以下の命題に書き換えることができる。
「ＡさんとＢさんとの２人、ならば、その２人のどちらかは１０歳である」
これは、「ならば」がある条件関係がある命題なので、以下のように対偶が作れる。
「ある２人のどちらも１０歳で無いならば、その２人はＡさんとＢさんでは無い」
《条件関係の本質》
「ＰならばＱである」、という条件関係を表す命題は、その命題の真偽の関係も含めて「Ｐで無いか、またはＱである」という命題と等価である。そのため、「Ｐで無いか、またはＱである」と表現された、条件関係が無い命題であっても、「ＰならばＱである」という条件関係を表す、等価な命題に変換できる。 すなわち、「いかなる場合もＰならばＱである」という命題は、「いかなる場合もＰで無いかＱである」という命題と等価である。
【問１】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Ａが成り立つ場合に、
「ＢならばＣである。」
【解答】
この問題の命題は、
「ＡでありＢならばＣである。」
と言い換えることができます。
その対偶は、
「Ｃで無ければ、Ａで無いかＢで無いかである。」
という命題になります。
（解答１）
その命題を言い換えると：
「条件Ａが成り立つ場合に、
Ｃで無いならばＢで無い。」
と言い換えることができます。
よって、この問題の解答として：
「条件Ａが成り立つ場合に、
Ｃで無いならばＢで無い。」
（解答２）
と答えても正しい解答です。
（解答おわり）
（補足）
「条件Ａが成り立つ場合に」
という言葉には、
「条件Ａが成り立たない場合は、
条件ＢとCの関係として記載された制約が無くなり、
「CであることもＣで無いことも起こり得る」
と言う意味が含まれています。
【問２】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Ａと条件Ｂが成り立つ場合に、
「ＣならばＤである。」
【解答】
問１と同様に考えることができ、
問２の命題の対偶は：
「条件Ａと条件Ｂが成り立つ場合に、
Ｄで無ければＣで無い。」
である。
（解答おわり）
《対偶は、命題の内容を、視点を変えて表現するもの》
命題の対偶は、元の命題に情報が等価な命題です。対偶は、元の命題に忠実に等価な命題です。元の命題が誤っていれば、対偶も、元の命題に等価な、誤った命題になります。元の命題が記述する情報が不十分であれば、対偶も、元の命題に等価な、不十分な情報を与える命題になります。
（対偶の例１）
「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
の対偶は、
「和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが有理数であるか、または、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」
（対偶の例２）
「Xが無理数かつＹが有理数であるか、または、Xが有理数かつYが無理数であるならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
の対偶は、
「和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」
（例１と例２のまとめ）
対偶は、 （命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題が表現している情報に等価な情報を、視点を変えて表現するものです。
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」という命題の表現を、
XとYを入れ替えてこの命題を書き直すと、
（命題２）「Yが有理数かつXが無理数ならば、その和Y＋Xは無理数である。」に変わります。命題２は命題１と情報が等価な命題です。
ここで、X+Y=Y+Xという情報を代入してこの命題を書き直すと以下の命題３に変わります。
（命題３）「Yが有理数かつXが無理数ならば、その和X＋Yは無理数である。」に変わります。この命題３は命題２に新しい情報が加えられることで得られたので、命題２とは情報が等価ではありません。
命題１と命題３を合わせると以下の命題４が得られます。
（命題４）「Xが無理数かつＹが有理数であるか、または、Xが有理数かつYが無理数であるならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
この命題４の対偶は、
「和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」です。例２の対偶と同じです。
そのようにして命題１に足し算の交換法則を加えて命題４が得られますが、命題４の対偶は、命題１の対偶とは異なります。
そうなる対偶の性質を見ると、命題の対偶をとる処理は、命題が表現している文字XとYの表現を、文字を入れ替えて表現し直す操作と同じ優先順位を持つ演算の一種ではあります。
しかし、命題の対偶をとる演算は、X+Y=Y+Xという新しい情報（足し算の交換法則）を命題に代入する演算よりも優先順位が高く、その演算よりも先に行うべき演算が対偶をとる処理です。そのため、命題１の対偶は、命題４の対偶とは異なりました。
（補足１）==対偶は、しっかりした論理の基礎==
対偶の作り方は、命題の論理的帰結よりも先に、命題の記述を優先して対偶を作ります。
対偶をとる元の命題毎に、その命題に等価な対偶が作られます。元の命題が異なれば異なる対偶が作られます。
そうする理由は、
対偶によって、命題の内容の真偽よりもしっかりした、等価な命題が得られるためです。
命題が間違っている場合も、その命題の対偶はその命題に確実に等価であり、その命題の間違いを、しっかり受け継いで命題の誤りをハッキリさせることができます。
（誤った命題の例）
「X+Yが有理数ならばXとYの少なくとも一方は無理数」
この命題の対偶は：
「XとYともに有理数ならばX+Yは無理数」
になります。
元の命題に等価な対偶の命題によって、元の命題の誤りをハッキリさせることができます。
【問３】以下の命題の対偶を述べよ。
（命題５）「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、
Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
【解答】
対偶は、「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、和X＋Ｙが有理数ならば、（Xが有理数かつYが無理数）では無い」である。
ここで、（Xが有理数かつYが無理数）では無いものの候補を列挙すると、
Xが無理数であってYが有理数であるか、
または、Xが無理数であってYが無理数であるか、
または、Xが有理数であってYが有理数であるか、である。
しかし、X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下では、「和X＋Ｙが有理数ならば」という言葉に続く言葉のXとYを入れ替えても同じ情報になる。そのため、（Xが無理数であってYが有理数）は、（Yが無理数であってXが有理数）と同じものになる。それも除外しなければならない。
よって、求める対偶は、
「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、
和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」である。
（解答おわり）
（補足２）
（命題５）「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、
Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題と、
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題は異なる命題です。
また、
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」という命題と、
（命題６）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和Ｙ+Ｘは無理数である。」という命題は異なる命題です。
（命題５）が、（命題１）に「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、」という、当たり前の前提事項であると思われる情報をあらわす言葉を加えるだけで、命題１と異なる命題に変わるのは以下の理由によると考えます。
（命題１）の記述には、X+Y=Y+Xという（当たり前と思われる）情報は書いて無い。その当たり前と思われる情報を（命題１）に代入する演算よりも、（命題１）の対偶をとる演算の方が優先順位が高く、その対偶をとった後で、X+Y=Y+Xという条件を加える演算を行うべきという演算の優先順位があると考えます。そのため、（命題１）では、対偶を取った後で、X+Y=Y+Xという条件を加えるべきと考えます。一方で、（命題５）は、対偶を取る前に、X+Y=Y+Xという条件を加えます（命題の中にそれが書いてあるからです）。そのように、（命題１）と（命題５）は、対偶を取る場合に、X＋Y＝Y+Xという情報の扱いが異なるゆえに区別でき、異なる命題だと考えます。
ここで、「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において」という条件付き命題に対して、その条件を付けない命題の区別はとても難しいとも言えると思います。なぜならば、「和X＋Y」という式には、「和Y＋X」でもあるという意味が含まれているという解釈も可能だからです。
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題は、
（命題７）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙ＝Y＋Xは無理数である。」
という命題であるとも解されるからです。命題７は、命題５と等価であって、
（命題４）「Xが無理数かつＹが有理数であるか、または、Xが有理数かつYが無理数であるならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
とも等価です。この、「和X+Y」の言葉の解釈が微妙なので、命題１が、命題７や命題５と解釈されてしまうことがあるという、問題の難しさがあります。ただし、命題７であると思って「命題１」の記述をしたいのならば、問題が難しくならないために、もっとわかり易い表現である、
（命題５）「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
で表現した方が良いと思います。
【問４】（難問）
集合Ｂが集合Ａの部分集合であることをA⊂B と表記し、以下に定義する。
A⊂Bであるとは、「（元x∈Ａ）ならば （元x∈Ｂ）」が成り立っているということである。
命題「（元x∈Ａ）ならば （元x∈Ｂ）である」の対偶を述べよ。
【解答】
この問題は難しい。対偶として、
｛（x∈Ｂ）の否定｝ならば｛（x∈Ａ）の否定｝
の形の命題を作れば良いのだが、
（x∈Ｂ）の否定をする記述のｘの定義のために、ｘがＡの元であるという記述（x∈Ａ）が必要である。しかし、そのｘを定義していた記述自体を、
｛（x∈Ａ）の否定｝という記述に変更してしまうので、ｘを使った記述が必要としているｘを定義する記述（x∈Ａ）が否定されて消滅してしまうからである。
そのため、対偶を作る元の命題の形を変えて、次に対偶を作るという工夫が必要である。
命題「（元x∈Ａ）ならば （元x∈Ｂ）である」は、
以下の、前提条件が付いている命題に等価である。
全ての集合の元ｘに対して：「（x∈Ａ）ならば （x∈Ｂ）である」
この命題ならば、対偶が作れる。その対偶は、以下の命題である。
全ての集合の元ｘに対して：「（ｘが集合Ｂの元ではない）ならば（ｘが集合Ａの元ではない）」
（解答おわり）
リンク：
高校数学の目次
条件関係が無いように見える命題にも、条件関係を持つ命題がある。そういう命題には対偶が作れる。
《条件関係がある命題の例》
「Ａさんの母親は３０歳である」
この命題は、条件関係が明確にされた以下の命題に言い換えることができる。
「Ａさんの母親である、ならば、３０歳である」
これは、「ならば」がある条件関係がある命題なので、対偶が作れる。対偶は以下の命題になる。
「３０歳で無い、ならば、Ａさんの母親では無い」
《条件関係が無い命題の場合》
「Ａさん又はＢさんが１０歳である」
この命題は、条件関係が無い命題なので、対偶が作れない。
しかし、条件関係を掘り起こして、条件関係がある、この命題に等価な以下の命題に書き換えることができる。
「Ａさんが１０歳で無い、ならば、Ｂさんが１０歳である」
これは、「ならば」がある条件関係がある命題なので、対偶が作れる。対偶は以下の命題になる。
「Ｂさんが１０歳で無い、ならば、Ａさんが１０歳である」
このように作った対偶は、最初の命題の言い換えと言えるので、何かが変な条件関係である。
《他の条件関係を掘り起こした命題》
「Ａさん又はＢさんが１０歳である」
という命題から、他の条件関係を掘り起こして、この命題に等価で、しかも条件関係がある、以下の命題に書き換えることができる。
「ＡさんとＢさんとの２人、ならば、その２人のどちらかは１０歳である」
これは、「ならば」がある条件関係がある命題なので、以下のように対偶が作れる。
「ある２人のどちらも１０歳で無いならば、その２人はＡさんとＢさんでは無い」
《条件関係の本質》
「ＰならばＱである」、という条件関係を表す命題は、その命題の真偽の関係も含めて「Ｐで無いか、またはＱである」という命題と等価である。そのため、「Ｐで無いか、またはＱである」と表現された、条件関係が無い命題であっても、「ＰならばＱである」という条件関係を表す、等価な命題に変換できる。 すなわち、「いかなる場合もＰならばＱである」という命題は、「いかなる場合もＰで無いかＱである」という命題と等価である。
【問１】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Ａが成り立つ場合に、
「ＢならばＣである。」
【解答】
この問題の命題は、
「ＡでありＢならばＣである。」
と言い換えることができます。
その対偶は、
「Ｃで無ければ、Ａで無いかＢで無いかである。」
という命題になります。
（解答１）
その命題を言い換えると：
「条件Ａが成り立つ場合に、
Ｃで無いならばＢで無い。」
と言い換えることができます。
よって、この問題の解答として：
「条件Ａが成り立つ場合に、
Ｃで無いならばＢで無い。」
（解答２）
と答えても正しい解答です。
（解答おわり）
（補足）
「条件Ａが成り立つ場合に」
という言葉には、
「条件Ａが成り立たない場合は、
条件ＢとCの関係として記載された制約が無くなり、
「CであることもＣで無いことも起こり得る」
と言う意味が含まれています。
【問２】以下の命題の対偶を述べよ。
条件Ａと条件Ｂが成り立つ場合に、
「ＣならばＤである。」
【解答】
問１と同様に考えることができ、
問２の命題の対偶は：
「条件Ａと条件Ｂが成り立つ場合に、
Ｄで無ければＣで無い。」
である。
（解答おわり）
《対偶は、命題の内容を、視点を変えて表現するもの》
命題の対偶は、元の命題に情報が等価な命題です。対偶は、元の命題に忠実に等価な命題です。元の命題が誤っていれば、対偶も、元の命題に等価な、誤った命題になります。元の命題が記述する情報が不十分であれば、対偶も、元の命題に等価な、不十分な情報を与える命題になります。
（対偶の例１）
「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
の対偶は、
「和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが有理数であるか、または、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」
（対偶の例２）
「Xが無理数かつＹが有理数であるか、または、Xが有理数かつYが無理数であるならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
の対偶は、
「和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」
（例１と例２のまとめ）
対偶は、 （命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題が表現している情報に等価な情報を、視点を変えて表現するものです。
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」という命題の表現を、
XとYを入れ替えてこの命題を書き直すと、
（命題２）「Yが有理数かつXが無理数ならば、その和Y＋Xは無理数である。」に変わります。命題２は命題１と情報が等価な命題です。
ここで、X+Y=Y+Xという情報を代入してこの命題を書き直すと以下の命題３に変わります。
（命題３）「Yが有理数かつXが無理数ならば、その和X＋Yは無理数である。」に変わります。この命題３は命題２に新しい情報が加えられることで得られたので、命題２とは情報が等価ではありません。
命題１と命題３を合わせると以下の命題４が得られます。
（命題４）「Xが無理数かつＹが有理数であるか、または、Xが有理数かつYが無理数であるならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
この命題４の対偶は、
「和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」です。例２の対偶と同じです。
そのようにして命題１に足し算の交換法則を加えて命題４が得られますが、命題４の対偶は、命題１の対偶とは異なります。
そうなる対偶の性質を見ると、命題の対偶をとる処理は、命題が表現している文字XとYの表現を、文字を入れ替えて表現し直す操作と同じ優先順位を持つ演算の一種ではあります。
しかし、命題の対偶をとる演算は、X+Y=Y+Xという新しい情報（足し算の交換法則）を命題に代入する演算よりも優先順位が高く、その演算よりも先に行うべき演算が対偶をとる処理です。そのため、命題１の対偶は、命題４の対偶とは異なりました。
（補足１）==対偶は、しっかりした論理の基礎==
対偶の作り方は、命題の論理的帰結よりも先に、命題の記述を優先して対偶を作ります。
対偶をとる元の命題毎に、その命題に等価な対偶が作られます。元の命題が異なれば異なる対偶が作られます。
そうする理由は、
対偶によって、命題の内容の真偽よりもしっかりした、等価な命題が得られるためです。
命題が間違っている場合も、その命題の対偶はその命題に確実に等価であり、その命題の間違いを、しっかり受け継いで命題の誤りをハッキリさせることができます。
（誤った命題の例）
「X+Yが有理数ならばXとYの少なくとも一方は無理数」
この命題の対偶は：
「XとYともに有理数ならばX+Yは無理数」
になります。
元の命題に等価な対偶の命題によって、元の命題の誤りをハッキリさせることができます。
【問３】以下の命題の対偶を述べよ。
（命題５）「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、
Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
【解答】
対偶は、「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、和X＋Ｙが有理数ならば、（Xが有理数かつYが無理数）では無い」である。
ここで、（Xが有理数かつYが無理数）では無いものの候補を列挙すると、
Xが無理数であってYが有理数であるか、
または、Xが無理数であってYが無理数であるか、
または、Xが有理数であってYが有理数であるか、である。
しかし、X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下では、「和X＋Ｙが有理数ならば」という言葉に続く言葉のXとYを入れ替えても同じ情報になる。そのため、（Xが無理数であってYが有理数）は、（Yが無理数であってXが有理数）と同じものになる。それも除外しなければならない。
よって、求める対偶は、
「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、
和X＋Ｙが有理数ならば、Xが無理数であってYが無理数であるか、または、Xが有理数であってYが有理数であるか、の何れかである。」である。
（解答おわり）
（補足２）
（命題５）「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、
Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題と、
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題は異なる命題です。
また、
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」という命題と、
（命題６）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和Ｙ+Ｘは無理数である。」という命題は異なる命題です。
（命題５）が、（命題１）に「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、」という、当たり前の前提事項であると思われる情報をあらわす言葉を加えるだけで、命題１と異なる命題に変わるのは以下の理由によると考えます。
（命題１）の記述には、X+Y=Y+Xという（当たり前と思われる）情報は書いて無い。その当たり前と思われる情報を（命題１）に代入する演算よりも、（命題１）の対偶をとる演算の方が優先順位が高く、その対偶をとった後で、X+Y=Y+Xという条件を加える演算を行うべきという演算の優先順位があると考えます。そのため、（命題１）では、対偶を取った後で、X+Y=Y+Xという条件を加えるべきと考えます。一方で、（命題５）は、対偶を取る前に、X+Y=Y+Xという条件を加えます（命題の中にそれが書いてあるからです）。そのように、（命題１）と（命題５）は、対偶を取る場合に、X＋Y＝Y+Xという情報の扱いが異なるゆえに区別でき、異なる命題だと考えます。
ここで、「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において」という条件付き命題に対して、その条件を付けない命題の区別はとても難しいとも言えると思います。なぜならば、「和X＋Y」という式には、「和Y＋X」でもあるという意味が含まれているという解釈も可能だからです。
（命題１）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
という命題は、
（命題７）「Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙ＝Y＋Xは無理数である。」
という命題であるとも解されるからです。命題７は、命題５と等価であって、
（命題４）「Xが無理数かつＹが有理数であるか、または、Xが有理数かつYが無理数であるならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
とも等価です。この、「和X+Y」の言葉の解釈が微妙なので、命題１が、命題７や命題５と解釈されてしまうことがあるという、問題の難しさがあります。ただし、命題７であると思って「命題１」の記述をしたいのならば、問題が難しくならないために、もっとわかり易い表現である、
（命題５）「X+Y=Y+Xが成り立つ条件の下において、Xが有理数かつYが無理数ならば、その和X＋Ｙは無理数である。」
で表現した方が良いと思います。
【問４】（難問）
集合Ｂが集合Ａの部分集合であることをA⊂B と表記し、以下に定義する。
A⊂Bであるとは、「（元x∈Ａ）ならば （元x∈Ｂ）」が成り立っているということである。
命題「（元x∈Ａ）ならば （元x∈Ｂ）である」の対偶を述べよ。
【解答】
この問題は難しい。対偶として、
｛（x∈Ｂ）の否定｝ならば｛（x∈Ａ）の否定｝
の形の命題を作れば良いのだが、
（x∈Ｂ）の否定をする記述のｘの定義のために、ｘがＡの元であるという記述（x∈Ａ）が必要である。しかし、そのｘを定義していた記述自体を、
｛（x∈Ａ）の否定｝という記述に変更してしまうので、ｘを使った記述が必要としているｘを定義する記述（x∈Ａ）が否定されて消滅してしまうからである。
そのため、対偶を作る元の命題の形を変えて、次に対偶を作るという工夫が必要である。
命題「（元x∈Ａ）ならば （元x∈Ｂ）である」は、
以下の、前提条件が付いている命題に等価である。
全ての集合の元ｘに対して：「（x∈Ａ）ならば （x∈Ｂ）である」
この命題ならば、対偶が作れる。その対偶は、以下の命題である。
全ての集合の元ｘに対して：「（ｘが集合Ｂの元ではない）ならば（ｘが集合Ａの元ではない）」
（解答おわり）
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