必要条件と十分条件の表現のバラエティ

参考リンク：「必要条件と十分条件の確実な判定方法」


【問題１】
以下の命題から、何が何の必要条件であるかを述べよ。
また、何が何の十分条件であるかを述べよ。
（命題）
条件Ａが成り立つ場合に、
「ＢならばＣである。」

【解答１】
　この問題の命題は、
「ＡでありＢならばＣである。」
 と言い換えることができます。
ＡandＢ→Ｃ
そのため、
Ｃが（ＡandＢ ）の必要条件です。
（ＡandＢ ）がＣの十分条件です。

（補足）この命題の対偶は：
（ＡandＢ ）でないならば、Ｃではない。
です。

【解答２】
問題文そのままを利用して、以下の解が得られます。
条件Ａが成り立つ場合に、
ＣがＢの必要条件です。
ＢがＣの十分条件です。

（補足）この命題の対偶は：
条件Ａが成り立つ場合に、
Ｂでないならば、Ｃではない。
です。

【解答３】
少し場違い感がありますが、以下の解答も正しい解答です。
Ｂが成り立つ条件の下で、
ＣがＡの必要条件です。

また、Ｂが成り立つ前提条件の下で、
（何が前提条件かをハッキリさせなければなりません）
ＡがＣの十分条件です。

《補足》
ある結果をもたらすために必ず必要な条件が必要条件です。
必ずそうなる結果をもたらす条件が十分条件です。

前提条件の下での、ある結果をもたらすために必ず必要な条件も必要条件です。
前提条件の下での、必ずそうなる結果をもたらす条件も十分条件です。

【問題２】
ｘの方程式

（a,b,c:実数）
が２つの実数解α、βをもつことは、

であるための何条件ですか？ 
ただし、重解の場合は２つの解を持つものとする。

【解答１】
（Ｓｔｅｐ１）
先ず、十分条件の成立の可否を調べます。

a,b,cが実数であって、以下の方程式の解をαやβで表すという前提条件の下で、
ｘの方程式

の解が２つの実数解（重解も含む）をもつならば、
必ず、
ａ≠０
であって、

である。

（注意）
ａ＝０
の場合は、この方程式は１つの解しかもたない。
（注意おわり）

そのため、
ｘの方程式

の解が２つの実数解（重解も含む）をもつ事は、

が成り立つことの十分条件である。
（必ずそうなる結果をもたらす条件が十分条件です）
（前提条件の下での、必ずそうなる結果をもたらす条件も十分条件です） 
 （十分条件の確認おわり） 

（Ｓｔｅｐ２）
次に、必要条件の成立の可否を調べます。

少なくとも
ａ≠０
であって、

で表わせるαとβがある場合に、
方程式

の解は２つある（重解も含む）が、
その解が実数解であるとは限らない。
言い換えると：
少なくとも
ａ≠０
であって、

から計算することができるαとβがあることは、
方程式

の解が２つある（重解も含む）事の十分条件ではあるが、

その解は実数解であるとは限らない。

よって、

の解が２つある（重解も含む）事は、

少なくともａ≠０
であって、

であるために必ず必要な条件（必要条件）である。

しかし、

の解が２つあり（重解も含む）、その解が２つとも実数解である事は、

少なくともａ≠０
であって、

であるために必ず必要な条件（必要条件）では無い。
（必要条件の不成立の確認のおわり）
（解答おわり）

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