佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】２つの円、
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝３ （式１）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４ （式２）
がある。この２つの円の２つの交点ＡとＢを通る（直線３）と、座標原点（０，０）を通る（円４）との式を求めよ。
この問題の円の（式１）と（式２）の連立方程式の解が交点ＡとＢの座標になる。
この連立方程式と同じ解の交点ＡとＢの座標を与える別の連立方程式（一方は直線の式で、もう一方は円の式）を求める問題です。
（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。
その解を与える以下の形の連立方程式を作る問題です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝ｆ （式４）
ただし、式４は座標原点（ｘ，ｙ）＝（０，０）を通るので、それを代入して、
０＋０＋０＋０＝ｆ の式を満足しなければならない。
そのため、ｆ＝０である。よって、式４は以下の式になる。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
よって、求める連立方程式は、以下の形の式です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
（計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３の式を求め、同様にして円４の式を求める。
計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２－３＝０ （式１’）
ｘ２－６ｘ＋９＋ｙ２－４ｙ＋４－３＝０
ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０＝０ （式６）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２－４＝０ （式２’）
ｘ２－２ｘ＋１＋ｙ２－２ｙ＋１－４＝０
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２＝０ （式７）
（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式６）＋ｎ（式７）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０）
＋ｎ（ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２）＝０ （式８）
この式８を、式３と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式８と式３を比較し易いように、式８を変形する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
一方の直線の式３には、ｘ２の項やｙ２の項が無いので、上の式もそれらの項の係数が０でなければならない。
（詳しくは、以下のように考える）
式９が式３と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
＜式９＞ ＜式３＞
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０と同じ）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ａ
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｂ
定数項： （１０ｍ－２ｎ）＝－ｃ
式１０以外の式は未知数ａ，ｂ，ｃを定める式であって、ｍとｎを限定する式ではないので、ｍとｎを限定するのは式１０のみ。
よって、
ｍ＋ｎ＝０ （式１０）
この式１０の条件を満たすｍとｎのどの組合せでも良い。
とりあえず、ｍ＝１、ｎ＝－１に決める。
その場合は、式９は、以下の式になる。
（－６＋２）ｘ＋（－４＋２）ｙ＋（１０＋２）＝０
－４ｘ－２ｙ＋１２＝０
（－２）で式全体を割り算する。
２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
この式１１が求める式３の形（を変形した形）の具体的式である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
（円４の式の計算）
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
以下の計算では、式９のｍとｎを、円４を求めるために定め、先に直線３を求めるときに定めた値とは別の値のｍとｎを定める。
円４の式５は以下の式である。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
式９が式５と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１３）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ｄ （式１４）
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｅ （式１５）
定数項の係数： （１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
式１４と式１５は未知数ｄとｅを定める式なので、ｍとｎを限定する式では無いので無視して良い。
それ以外の式は、式１２（式１３と同じ）と式１６だけである。
（ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
（１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
この式１２と式１６を連立してｍとｎを定める。
２（式１２）＋（式１６）を計算することでｎを消去した式を作る。
２ｍ＋１０ｍ＝２
ｍ＝２／１２＝１／６ （式１７）
１０（式１２）－（式１６）を計算することでｍを消去した式を作る。
１０ｎ＋２ｎ＝１０
ｎ＝１０／１２＝５／６ （式１８）
式１７と式１８を式９に代入する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
（（１／６）＋（５／６））ｘ２＋（（１／６）＋（５／６））ｙ２
＋（－（６／６）－（１０／６））ｘ＋（－（４／６）－（１０／６））ｙ＋（（１０／６）－（１０／６））＝０
ｘ２＋ｙ２－（１６／６）ｘ－（１４／６）ｙ＝０
ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
この式が、求める円４の式５である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線３） ２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
（円４） ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
すなわち、上の式の直線３と円４の２つの交点は、円１と円２の交点ＡとＢである。
【重要な注意】
以上の方法で２つの円を通る直線や円の式を求める場合に、元の２つの円が交わらない場合にも、答えが出て来ます。その場合の答えは間違った答えですので、必ず、元の２つの円が交差して交点を持つ事を確かめておかなければなりません。また、解答にも、元の２つの円が交差して交点を持つ事を確かめた事を書いておいた方が良いと思います。
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【問１】２つの円、
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝３ （式１）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝４ （式２）
がある。この２つの円の２つの交点ＡとＢを通る（直線３）と、座標原点（０，０）を通る（円４）との式を求めよ。
この問題の円の（式１）と（式２）の連立方程式の解が交点ＡとＢの座標になる。
この連立方程式と同じ解の交点ＡとＢの座標を与える別の連立方程式（一方は直線の式で、もう一方は円の式）を求める問題です。
（解答と解説）
この問題は、式１と式２の解を、別の方程式を使って求める問題です。
その解を与える以下の形の連立方程式を作る問題です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝ｆ （式４）
ただし、式４は座標原点（ｘ，ｙ）＝（０，０）を通るので、それを代入して、
０＋０＋０＋０＝ｆ の式を満足しなければならない。
そのため、ｆ＝０である。よって、式４は以下の式になる。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
よって、求める連立方程式は、以下の形の式です。
（直線３） ａｘ＋ｂｙ＝ｃ （式３）
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
（計算方針）
ｍ（式１）＋ｎ（式２）を計算することで、直線３の式を求め、同様にして円４の式を求める。
計算の見通しを良くするために、式にｍを掛け算してｍ倍になる項を全て左辺に集めた式に整えて計算する。
（円１） （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２－３＝０ （式１’）
ｘ２－６ｘ＋９＋ｙ２－４ｙ＋４－３＝０
ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０＝０ （式６）
（円２） （ｘ－１）２＋（ｙ－１）２－４＝０ （式２’）
ｘ２－２ｘ＋１＋ｙ２－２ｙ＋１－４＝０
ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２＝０ （式７）
（直線３の式の計算）
先ず、ｍ（式６）＋ｎ（式７）を計算することで、直線３の式を求める。
ｍ（ｘ２＋ｙ２－６ｘ－４ｙ＋１０）
＋ｎ（ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２）＝０ （式８）
この式８を、式３と等しくなるように、ｍとｎの値を決める。
式８と式３を比較し易いように、式８を変形する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
一方の直線の式３には、ｘ２の項やｙ２の項が無いので、上の式もそれらの項の係数が０でなければならない。
（詳しくは、以下のように考える）
式９が式３と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
＜式９＞ ＜式３＞
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ） ＝０ （式１０と同じ）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ａ
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｂ
定数項： （１０ｍ－２ｎ）＝－ｃ
式１０以外の式は未知数ａ，ｂ，ｃを定める式であって、ｍとｎを限定する式ではないので、ｍとｎを限定するのは式１０のみ。
よって、
ｍ＋ｎ＝０ （式１０）
この式１０の条件を満たすｍとｎのどの組合せでも良い。
とりあえず、ｍ＝１、ｎ＝－１に決める。
その場合は、式９は、以下の式になる。
（－６＋２）ｘ＋（－４＋２）ｙ＋（１０＋２）＝０
－４ｘ－２ｙ＋１２＝０
（－２）で式全体を割り算する。
２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
この式１１が求める式３の形（を変形した形）の具体的式である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
（円４の式の計算）
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
以下の計算では、式９のｍとｎを、円４を求めるために定め、先に直線３を求めるときに定めた値とは別の値のｍとｎを定める。
円４の式５は以下の式である。
（円４） ｘ２＋ｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＝０ （式５）
式９が式５と等しいためには、両式の各係数が等しくなければならない。
ｘ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
ｙ２の係数： （ｍ＋ｎ）＝１ （式１３）
ｘの係数： （－６ｍ－２ｎ）＝ｄ （式１４）
ｙの係数： （－４ｍ－２ｎ）＝ｅ （式１５）
定数項の係数： （１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
式１４と式１５は未知数ｄとｅを定める式なので、ｍとｎを限定する式では無いので無視して良い。
それ以外の式は、式１２（式１３と同じ）と式１６だけである。
（ｍ＋ｎ）＝１ （式１２）
（１０ｍ－２ｎ）＝０ （式１６）
この式１２と式１６を連立してｍとｎを定める。
２（式１２）＋（式１６）を計算することでｎを消去した式を作る。
２ｍ＋１０ｍ＝２
ｍ＝２／１２＝１／６ （式１７）
１０（式１２）－（式１６）を計算することでｍを消去した式を作る。
１０ｎ＋２ｎ＝１０
ｎ＝１０／１２＝５／６ （式１８）
式１７と式１８を式９に代入する。
（ｍ＋ｎ）ｘ２＋（ｍ＋ｎ）ｙ２
＋（－６ｍ－２ｎ）ｘ＋（－４ｍ－２ｎ）ｙ＋（１０ｍ－２ｎ）
＝０ （式９）
（（１／６）＋（５／６））ｘ２＋（（１／６）＋（５／６））ｙ２
＋（－（６／６）－（１０／６））ｘ＋（－（４／６）－（１０／６））ｙ＋（（１０／６）－（１０／６））＝０
ｘ２＋ｙ２－（１６／６）ｘ－（１４／６）ｙ＝０
ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
この式が、求める円４の式５である。
（注意）この式は、式６と式７を加えて得た式９であるので、式１と式２の円の２つの交点ＡとＢを通る。
以上の計算で得た以下の式の連立方程式は（式１）と（式２）の連立方程式を変形して求めたので、元の式１と式２の連立方程式と同じ解を与える。
（直線３） ２ｘ＋ｙ－６＝０ （式１１）
（円４） ｘ２＋ｙ２－（８／３）ｘ－（７／３）ｙ＝０ （式１９）
すなわち、上の式の直線３と円４の２つの交点は、円１と円２の交点ＡとＢである。
【重要な注意】
以上の方法で２つの円を通る直線や円の式を求める場合に、元の２つの円が交わらない場合にも、答えが出て来ます。その場合の答えは間違った答えですので、必ず、元の２つの円が交差して交点を持つ事を確かめておかなければなりません。また、解答にも、元の２つの円が交差して交点を持つ事を確かめた事を書いておいた方が良いと思います。
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