加法定理の練習問題６

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

【問１】下図のように、３つの平行線の上にそれぞれ点Ａ，Ｂ，Ｃをとる正三角形△ＡＢＣがあり、点Ｂを置いた平行線と線分ＡＣの交点をＤとする。
図のように平行線の間の距離をそれぞれｐ，ｑとし、△ＡＢＣの一辺の長さをａとする。
∠ＡＢＤ＝αとし、∠ＣＢＤ＝βとするとき、ｓｉｎ（α）をｐ，ｑであらわせ。

【解答の方針】
α＋β＝π／３　（式１）
であることを利用して、角度α＋βのｓｉｎかｃｏｓかを加法定理で展開する。
そして、
ｓｉｎα＝ｐ／ａ　（式２）
ｓｉｎβ＝ｑ／ａ　（式３）
から、角αとβのｃｏｓを計算して、展開式に代入して未知数を消す。
これにより、未知数ａのみが式に残るので、先ずａが求められる。
あとは、そのａの値を式２に代入すれば、求めるｓｉｎαが得られる。

（解答開始）
式１を利用した以下の加法定理の式を考える。
ｃｏｓ（π／３）＝１／２で値が簡単なので、ｃｏｓの加法定理を使う。
ｃｏｓ（π／３）＝ｃｏｓ（α＋β）
＝ｃｏｓα・ｃｏｓβ－ｓｉｎα・ｓｉｎβ，
１／２＝ｃｏｓα・ｃｏｓβ－ｓｉｎα・ｓｉｎβ　（式４）

（ｃｏｓαを式２から求める）

（ｃｏｓβを式３から求める）

式２、３、５、６を式４に代入する。

両辺を二乗する。

両辺の平方根を計算する。

式７を式２に代入する。

（解答おわり）

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