２倍角と半角の公式

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

２倍角の公式は、加法定理の２つの角度が等しい場合の公式です。
ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
α＝βの場合は
ｓｉｎ（α＋α）＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓαｓｉｎα
ｓｉｎ（２α）＝２ｓｉｎαｃｏｓα
これが、ｓｉｎの２倍角の公式です。

ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ
α＝βの場合は
ｃｏｓ（α＋α）＝ｃｏｓαｃｏｓα－ｓｉｎαｓｉｎα
ｃｏｓ（２α）＝ｃｏｓ^２α－ｓｉｎ^２α
＝ｃｏｓ^２α－ｓｉｎ^２α＋ｃｏｓ^２α＋ｓｉｎ^２α－１
＝２ｃｏｓ^２α－１
＝ｃｏｓ^２α－ｓｉｎ^２α－ｃｏｓ^２α－ｓｉｎ^２α＋１
＝１－２ｓｉｎ^２α
すなわち、
ｃｏｓ（２α）＝ｃｏｓ^２α－ｓｉｎ^２α
＝２ｃｏｓ^２α－１
＝１－２ｓｉｎ^２α
これがｃｏｓの２倍角の公式です。


上の２つの式を覚えて良く使うようにしましょう。


ｔａｎ（２α）＝２ｓｉｎαｃｏｓα／（ｃｏｓ^２α－ｓｉｎ^２α）
分母と分子ともにｃｏｓ^２αで割り算すると
ｔａｎ（２α）＝２ｔａｎα／（１－ｔａｎ^２α）
これがｔａｎの２倍角の公式です。

半角の公式は、以下の公式です。
ｃｏｓ（２α）＝２ｃｏｓ^２α－１
この式を変形する

これがｃｏｓの半角の公式です。

ｃｏｓ（２α）＝１－２ｓｉｎ^２α
この式を変形する

これがｓｉｎの半角の公式です。


これがｔａｎの半角の公式です。

（変形半角の公式（１））
以下の、変形半角の公式（１）が成り立ちます。


（変形半角の公式（２））
以下の、変形半角の公式（２）が成り立ちます。


（sinの複数の積の式）
以下の式の関係があります。


（cosの積の式）
　以下の公式も成り立ちます。
cos(2θ)=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)

　以上の変形半角の公式やcosの積の公式のように、(cosθ-sinθ)と(cosθ+sinθ)を、sinやcosと同じ様に扱った公式も成り立ちます。

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