第３講１節 いろいろな数列の和（２－２）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問２】
１^２＋２^２＋３^２＋・・・＋ｎ^２＝Ｇ（ｎ）とする公式を求めよ。

ａ_ｋ＝ｋ^２の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせるｂ_ｋの式を考えて解きます。
ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４
＝（ｂ_１－ｂ_２）＋（ｂ_２－ｂ_３）＋（ｂ_３－ｂ_４）＋（ｂ_４－ｂ_５）
＝ｂ_１－ｂ_５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}＋ｆ（ｋ）
となって、ｆ（ｋ）という項が余っても、その項の和の公式がわかっていれば、それでも問題が解けます。

－（ｋ－１）ｋ^２＋ｋ（ｋ＋１）^２
を考える。

－（ｋ－１）ｋ^２＋ｋ（ｋ＋１）^２
＝ｋ｛－（ｋ－１）ｋ＋（ｋ＋１）^２｝
＝ｋ｛３ｋ＋１｝
となるから、
ｋ^２＝（１／３）｛－（ｋ－１）ｋ^２＋ｋ（ｋ＋１）^２－ｋ｝
である。

つまり、
ａ_ｋ＝ｋ^２の場合において、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}－（ｋ／３）
とあらわせる
ｂ_ｋ＝－（１／３）（ｋ－１）ｋ^２
という式が得られた。
－（ｋ／３）という項が余っているが、この余った項の和を求める公式は既に知っている（ｋの和はｎ（ｎ＋１）／２）ので問題が解ける。

これを使って、以下の答えが得られる。
ａ_ｋ＝ｋ^２の和（ｋ＝１～ｎ）は、
ｂ_１－ｂ_{（ｎ＋１）}－（ｋ／３）の和
＝（１／３）｛－０×１^２｝＋（１／３）｛ｎ（ｎ＋１）^２｝
－｛ｎ（ｎ＋１）／２｝／３
＝（１／３）｛ｎ（ｎ＋１）^２－ｎ（ｎ＋１）／２｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）｛（ｎ＋１）－（１／２）｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋（１／２））
（解答おわり）

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