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2013年8月15日木曜日

分点の位置ベクトル(三角形の重心の公式)



佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】三角形の重心の位置をあらわす公式を、ベクトル方程式を用いて、三角形の辺の中点と頂点を結ぶ2つの線の交点の位置を計算することで導け。

 これは、その交点をGとして、以下の図のようにして、点Aが原点Oにあるとして、2つのベクトルOBとOCと2つの変数 t,uを用いたベクトル方程式を用いて、求めます。
(注意)この図では、ベクトルで頂点を表す必要から、ベクトルBの長さABを長さbとします。高校1年で頂点Bに対向する線分CAの長さをbと名付けていたことから変わっています。

先ず、重心Gに至る2つの経路について、ベクトルを足し合わせて重心Gの位置ベクトルを計算します。
次に、この2つの位置ベクトルGを等しいとしたベクトル方程式を立てて、計算します。
位置ベクトル

と位置ベクトル

とは異なる方向を向いているので、そのベクトルの和が0になるためには、各々のベクトルOBとOCの係数が0の場合に限られる。

そのため、以下の式がなりたつ。
 この式2を解くと式3が得られる。
 式3を式1に代入して計算する。
これで、重心の位置ベクトルGを表す式が得られた。

 次に、点Aが原点Oで無い任意の位置にある場合を計算する。
すなわち、以上で得られた重心のベクトルの公式を以下のように点Aとは異なる位置にある原点Oに関する位置ベクトルの公式に書き直す計算をする。

以上のようにして、三角形の重心はその3頂点の位置ベクトルの和の3分の1になるという、重心の位置ベクトルの公式(下図)が導きだせた。

この重心の公式は、3つの頂点の位置ベクトルの平均が重心の位置ベクトルになるということを表す式です。

《補足》
 ここで、この重心の公式を導き出す式で用いたベクトルは全て平面上の2次元ベクトルであった。一方で、以上の議論は、これらのベクトルを空間上の3次元ベクトルについて行っても、同じ結論が得られる。すなわち、以上で得た平面上の2次元の位置ベクトルによる重心の公式と同様に、3次元空間での3次元の位置ベクトルによる、同じ形の式の重心の公式が成り立つ。

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