分点の位置ベクトル（三角形の重心の公式）

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

【問】三角形の重心の位置をあらわす公式を、ベクトル方程式を用いて、三角形の辺の中点と頂点を結ぶ２つの線の交点の位置を計算することで導け。

　これは、その交点をＧとして、以下の図のようにして、点Ａが原点Ｏにあるとして、２つのベクトルＯＢとＯＣと２つの変数　ｔ，ｕを用いたベクトル方程式を用いて、求めます。

（注意）この図では、ベクトルで頂点を表す必要から、ベクトルＢの長さＡＢを長さｂとします。高校１年で頂点Ｂに対向する線分ＣＡの長さをｂと名付けていたことから変わっています。

先ず、重心Ｇに至る２つの経路について、ベクトルを足し合わせて重心Ｇの位置ベクトルを計算します。

次に、この２つの位置ベクトルＧを等しいとしたベクトル方程式を立てて、計算します。

位置ベクトル

と位置ベクトル

とは異なる方向を向いているので、そのベクトルの和が０になるためには、各々のベクトルＯＢとＯＣの係数が０の場合に限られる。
そのため、以下の式がなりたつ。

 この式２を解くと式３が得られる。

 式３を式１に代入して計算する。

これで、重心の位置ベクトルＧを表す式が得られた。

　次に、点Ａが原点Ｏで無い任意の位置にある場合を計算する。
すなわち、以上で得られた重心のベクトルの公式を以下のように点Aとは異なる位置にある原点Oに関する位置ベクトルの公式に書き直す計算をする。

以上のようにして、三角形の重心はその３頂点の位置ベクトルの和の３分の１になるという、重心の位置ベクトルの公式（下図）が導きだせた。

この重心の公式は、３つの頂点の位置ベクトルの平均が重心の位置ベクトルになるということを表す式です。

《補足》
　ここで、この重心の公式を導き出す式で用いたベクトルは全て平面上の２次元ベクトルであった。一方で、以上の議論は、これらのベクトルを空間上の３次元ベクトルについて行っても、同じ結論が得られる。すなわち、以上で得た平面上の２次元の位置ベクトルによる重心の公式と同様に、３次元空間での３次元の位置ベクトルによる、同じ形の式の重心の公式が成り立つ。

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