（３ａ）複素数はベクトルの一種：３次方程式の解

大学への数学（旧Ｂ）「複素数」編の勉強

【問】
 ｘ^３＝１の複素数の解を複素数平面上で表示すると、以下の図のようになります。

上の図で、ｘ＝１，Ａ，Ｂが、ｘ^３＝１の３つの解です。
全ての複素数ｙは、２次元べクトルと同様に、２つの独立な複素数ＡとＢの合成で、
ｙ＝（ｓ×Ａ）＋（ｔ×Ｂ）　　　（１）
とあらわすことができます。
（ただし、ｓとｔは実数とする）
そのようにして、
ｙ^３＋ｐｙ＋ｑ＝０　　　　　　　（２）
（ｐとｑは実数とします）
の形であらわされる３次方程式が実数でない複素数解を１つは持つ場合に、その１つの複素数を、式（１）であらわしてみます。

その場合に、この式（２）の３次方程式の残りの解を求めよ。

【解答】
実数係数の高次方程式の複素数解は、その解に共役な複素数も、その解である。
よって、複素数Ａを共役な複素数Ｂに置き換え、ＢもＡに置き換えた、式（１）の複素数に共役な複素数
ｙ＝（ｓ×Ｂ）＋（ｔ×Ａ）　　　（３）
もまた、式（２）の解である。
よって、式（２）は、第３の解をＣとすると、以下の式であらわせる。
（ｙ－（ｓＡ＋ｔＢ））（ｙ－（ｓＢ＋ｔＡ））（ｙ－Ｃ）＝０　　（４）
この式が、式（２）の形であって、ｙの２乗の項の係数が０になるためには、
式（４）のｙの２乗の項の係数を０にする以下の式が成り立つ必要がある。
（ｓＡ＋ｔＢ）＋（ｓＢ＋ｔＡ）＋Ｃ＝０
（ｓ＋ｔ）（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝０　　　　　　　　（５）
ここで、Ａ＋Ｂ＝－１であるので、式（５）は以下の式になる。
－（ｓ＋ｔ）＋Ｃ＝０，
Ｃ＝ｓ＋ｔ，　　　　　　　　　　　　　　　　（６）
よって式（２）の３つ目の解Ｃは、上の式（６）であらわせる。
以上をまとめると、式（２）の全ての解は、
ｓＡ＋ｔＢ　　　（１）
ｓＢ＋ｔＡ　　　（３）
ｓ＋ｔ　　　　　（６）
の３つである、
（解答おわり）


【研究】
この問題の場合に、式（２）の方程式の各項の係数ｐとｑと、解のパラメータｓとｔとの関係はどうなっているか調べてみよう。
式（２）と、式（４）を展開した式のｙの項の係数と定数項を比較する。
ｙの１次の項は：
ｐ＝（ｓＡ＋ｔＢ）（ｓＢ＋ｔＡ）＋Ｃ（ｓＡ＋ｔＢ＋ｓＢ＋ｔＡ）
＝ｓ^２ＡＢ＋ｓｔ（Ａ^２＋Ｂ^２）＋ｔ^２ＡＢ＋Ｃ（Ａ＋Ｂ）（ｓ＋ｔ）
＝ｓ^２＋ｓｔ（Ｂ＋Ａ）＋ｔ^２－Ｃ（ｓ＋ｔ）
＝ｓ^２－ｓｔ＋ｔ^２－（ｓ＋ｔ）（ｓ＋ｔ）
＝（ｓ＋ｔ）（ｓ＋ｔ）－３ｓｔ－（ｓ＋ｔ）（ｓ＋ｔ）
＝－３ｓｔ　　　　　　　　　（７）
定数項は：
ｑ＝－（ｓＡ＋ｔＢ）（ｓＢ＋ｔＡ）Ｃ
＝－（ｓ^２ＡＢ＋ｓｔ（Ａ^２＋Ｂ^２）＋ｔ^２ＡＢ）Ｃ
＝－（ｓ^２＋ｓｔ（Ｂ＋Ａ）＋ｔ^２）（ｓ＋ｔ）
＝－（ｓ^２－ｓｔ＋ｔ^２）（ｓ＋ｔ）
＝－（ｓ^３＋ｔ^３）　　　　　　（８）
よって、ｐとｑと、解のパラメータｓとｔとの関係は：
ｐ＝－３ｓｔ　　　　　　　　　（７）
ｑ＝－（ｓ^３＋ｔ^３）　　　　　　（８）
の関係がある。
この（７）と（８）を使うと、ｐとｑが与えられたら、ｓ^３とｔ^３を計算でき、それから、ｓとｔを計算できます。

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