ベクトル方程式の直線の交点

　以下の問題をベクトル方程式で解いて、問題の解を公式化した。ただし、その公式を覚えても使わない。そのベクトル方程式を立式して解く手順こそが毎回使われる有用な情報である。

【問題１】
以下の図のようにベクトルであらわした２直線の交点のベクトルを求めよ。
ただし、単位ベクトルｑに平行な直線１に垂直な単位ベクトル（ベクトルｑを左回りに９０度回転したもの）をｑ_ｖとし、単位ベクトルｇに平行な直線２に垂直な単位ベクトル（ベクトルｇを右回りに９０度回転したもの）をｇ_ｖとする。
ここで、

（問題おわり）

（解答の方針）
　平面上の任意のベクトルは独立な２つのベクトルであらわせます。
この原理を利用して、
（１）先ず、求める交点をどの２つのベクトルであらわすかを決めて、
（２）次にその各ベクトルの係数をベクトル方程式で解くと
スムーズに解答を求めることができます。

  【解答１】
（解答の方針）
変数ｔを求めて式3で交点の位置ベクトルｂを、位置ベクトルｆとベクトルｇであらわす。

先ず、式１と３を連立して、ベクトルａ＝ベクトルｂとする。

この式５と、ベクトルｑに垂直なベクトルｑvの内積を計算する。

変数ｔが式６で求まったので、交点の位置ベクトルＭを計算する。

（解答１おわり）

式(7)では、その式中のベクトルｑ_vを、以下のベクトルに置き換えて計算しても良い。


この解答は、以下の式と等価です。

（補足１）
　上の式のように、交点Ｍを表すベクトルＦＭの式を位置ベクトルＡ，Ｂ，Ｐ，Ｆを用いて表そうとすると、式の形がベクトルＦＰを使っても良く、ベクトルＦＡを使っても良く、１つに定まらない。それは、その式が三角形ＦＰＡの面積をあらわす式だからです。ベクトルＦＭを表す式は、１つの形には定まらないという問題があります。
　ベクトルＦＭを表す式は、１つの形には定まらないので、この式の計算は複雑になり得るので、この式を使う計算には注意が必要です。
（計算が複雑になり得る（計算の森の中で迷子になり得る）のは、式が１つの形には定まらず、それが、式のバラエティをとても大きくするからです。）

【解答２】
（解答の方針）
　以下の式（５）のように、直線１と直線２の交点を、２直線に平行な方向に係わる２つの独立な単位ベクトルｑとｇとであらわすことにする。

　この式（５）に、直線１に垂直な単位ベクトルｑ_ｖを掛け算した式をもとめる。

その結果、係数ｗが（６）であらわせた。

　式（５）に、直線２に垂直な単位ベクトルｇ_ｖを掛け算した式をもとめる。 

その結果、係数ｕが（７）であらわせた。
（６）（７）により、交点の位置ベクトルＭをあらわす式は、以下の式（８）になる。

（解答２おわり）

この解答２の図形的な意味は、下の図のようにあらわせる。

（補足２）
　解答１の方が解答２よりも単純な解答になった。
このように、解答をどのベクトルで表すかの最初の方針によって、解答が大きく異なってくる。解答１のように、第１の直線の式と第２の直線の式を＝（等号）で結んで交点Mを求める式にするのが一番単純な交点Mの解き方だとわかった。全てのベクトルが２つの独立なベクトルのみであらわされていれば、速やかに交点Mの解が得られる。しかし、この設問のように、そのようにベクトルが整理されて表されてはいない場合は、解答１のように、あるベクトルに垂直なベクトルとの内積を計算することで、交点Mが計算できる。

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