ベクトル方程式による極と極線

「大学への数学」の勉強

【問１】座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣを結ぶ直線を、
その直線上の点Ｑをあらわすベクトルと点Ａをあらわすベクトルを使ったベクトルの式であらわせ。

ここで、線分ＯＡの長さをａとする。

なお、接点ＢとＣを結ぶ直線を、点Ａに対する円の極線と呼びます。
一方、線分ＢＣと円の交点ＢとＣから引いた円の接線の交点Ａを、直線ＢＣに対する円の極と呼びます。

【解答】

（予備知識）
平面ベクトルの問題では、
「平面上の全ての点が、２つの独立なベクトルを（係数を掛け算して）合成することであらわせる」
という原理を利用して問題を解きます。

この問題では、ベクトルＯＢとベクトルＯＣで直線ＢＣ上の任意の点Ｑの式を以下の式であらわします。

ベクトルであらわす直線の式はもう１つのあらわし方があり、
それは、直線の式（３）に、その直線に垂直なベクトルを（内積で）掛け算した式です。 そのため、試しに、多分ＢＣに垂直と思われるベクトルＯＡを式（３）に掛け算して、どうなるかを調べてみます。

上の計算で、式（１）と（２）を代入して使いました。

式４は、任意の点Ｑ（パラメータｔの任意の値で）に対して成り立つ直線の式になりました。
式４を展開すると、以下の式４’になります。

そのため、この式４が求める直線をあらわすベクトルの式です。
（解答おわり）

なお、試しに掛け算したベクトルＯＡによって、直線の式（３）が、パラメータｔがあらわれない直線の式（４）に変わったので、ベクトルＯＡがこの直線に垂直なベクトルであることも確かになりました。

【補足】
極Ａ（ａ_１，ａ_２）が円上にある場合、式４で与えられる極線は、点Ａで円に接する接線の式になる。

なお、極Ａ（ａ_１，ａ_２）が円の中に入ってしまうと、点Ａから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式４は、点Ａ（ａ，ｂ）が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えＡが円の中でも、式１であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。


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複素数平面での円の極と極線