ベクトル方程式で三角形の内心の位置ベクトルを求める

大学への数学「ベクトル」編の勉強


【問１】三角形ＯＡＢの内心（内接円の中心）Ｄの位置ベクトルをもとめよ。

【解答方針】
ベクトル方程式の問題は、
「２次元空間の全てのベクトルは、２つの独立なベクトルの係数倍の和であらわすことができる」
という基本原理を用いて、基準にする２つのベクトルを定める。そして、未知の３つ目のベクトルをその基準ベクトルの合成であらわすことにする。ベクトル方程式を利用して、その分解する基準ベクトルの各係数を計算することで未知のベクトルを求める。


【解答】
２つの独立なベクトル（基準ベクトル）として、ベクトルＯＡとベクトルＯＢを用いることにする。
そして、求めるベクトルＯＤを、ベクトルａの方向の単位ベクトルと、ベクトルｂの方向の単位ベクトルを使った以下の式（１）であらわす。そして、ベクトルＡＤを式（２）であらわす

ベクトルｐとベクトルｑの間には以下の式（３）の関係がある。式（３）に（１）と（２）を代入して式（４）が得られる。

式（４）から、以下の式（５）と（６）が得られる。

式（５）と（６）を連立して係数ｓとｔを計算する。先ず、（６）から以下のｓを与える式（７）が得られる。

式（７）を（５）に代入してｔを計算する。

式（８）を（７）に代入してｓを計算する。

（９）を（１）に代入してベクトルＯＤをあらわす。

（解答おわり）

《補足》
ちなみに、この式(10)から、以下の式を計算できる。

ここで、ベクトルａを以下のベクトルｃとベクトルｂにおきかえる。


この式(14)は、ベクトルＢＤは、ベクトルｂとベクトルｃの間の角度を２等分した直線に平行なベクトルであることを意味する。
　すなわち、内心の点Ｄでは、角度Aの２等分線と角度Ｂの二等分線と角度Ｃの二等分線が１点Ｄで交わることを意味する。

《研究》
上記の式を同値変形してみる。

この式から、以下の式が得られる。

ベクトルDO，ＤＡ，ＤＢに関して上式の関係があることがわかった。

　各点の位置ベクトルを、ベクトルＯ，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄであらわすことにして（座標原点をGとする）、上式を以下の計算で位置ベクトルであらわす式に変形する。

この式のように、先の、内心Ｄと各頂点を結ぶベクトルで表した等式は、内心の位置ベクトルＤを、先の等式と同様な形をした、頂点の位置ベクトルで表す公式に変換される。
　この内心の位置ベクトルの公式を図を書き直してあらわすと、以下の図の式になる。


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