(16)垂直ベクトルへの射影を利用した連立方程式の解の公式

【問】以下の連立方程式を解いて未知数ｓを求めよ。

【解答】
　連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルｂを水平線にし、その水平線への垂直線ベクトルｈへの射影（高さ）を利用するとベクトルａに掛かる未知数ｓを素早く求めることができます。

このベクトル方程式で、垂直線ベクトルｈへの射影（水平線ｂの上の高さ）を以下のように計算します。

（解答おわり）

①　先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルｅのＸ成分の高さを６ｚとします。
②　ｕに掛かるベクトルｂを水平ベクトルとする。そのベクトルのＸ成分の高さは①との関係で、高さｚです。
③　ｓに掛かるベクトルａのＸ成分の高さは①との関係で、高さ９ｚです。
④　ｕに掛かるベクトルｂは水平ベクトルなので、そのＹ成分はＸ成分による高さｚを打ち消す高さ－ｚです。
⑤　ｓに掛かるベクトルａのＹ成分の高さは④との関係で、高さ－３ｚ／４です。

問題の連立方程式のｓに掛かるベクトルａの総体の高さは③と⑤の合計であり、右辺のベクトルｅの高さは①です。その比を計算してｓが得られました。

（別解）
この問題は、以下の図を考えて解くと、計算手順が単純になると思います。

 ｓ＝６・（－４）／（９・（－４）＋３・１）
＝－６・４／（－３６＋３）
＝－２・４／（－１１）
＝８／１１
（解答おわり）

【連立方程式の解の公式】
　この別解の要点を整理すると、以下の連立方程式の解の公式ができあがります。

連立方程式１と２をベクトルの視点で見ると、式６のベクトル方程式をあらわしていると見ることができます。
　ここで、ベクトルａとベクトルｂと、それらに垂直なベクトルが下図のように描けます。

ベクトルａに垂直なベクトルａ_ｖと、ベクトルｂに垂直なベクトルｂ_ｖを以下の式７と８であらわし、それを使うと以下の式９と１０が成り立ちます。

ここで、以下の式１１が成り立ちます。

結局、ベクトル方程式６であらわした連立方程式１と２の未知数ｓとｕが、上の式９と式１０で計算できる、
連立方程式の解の公式が導けました。 

（補足）
この式９と式１０のｓとｕを組み合わせたベクトル（ｓ，ｕ）を考えると、
ベクトル（ｓ，ｕ）は以下の式１６であらわすことができる。
先ず、以下の式１２から１５でベクトルｃとそれに垂直なベクトルｃ_ｖと、ベクトルｄとそれに垂直なベクトルｄ_ｖを定義する。

これらのベクトルを使うと、ベクトル（ｓ，ｕ）は以下の式１６であらわせる。

ただし、以下の式１７が成り立つ。

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖ＝ｆを、
更に反時計回りに９０度回転した単位ベクトルｆ_ｖは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積ａ_ｖ・ｂを、
両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して内積した値は同じ値になるが、
その関係は、以下の式であらわされる。
ａ_ｖ・ｂ＝－ａ・ｂ_ｖ

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