(17)ベクトルの外積と３元連立方程式

【問】以下の連立方程式を解いて未知数ｓを求めよ。

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▷第１の解
▷第２の解
▷第３の解
▷第４の解
▷第５の解

【第１の解】
　連立方程式はベクトル方程式とみなして解くとやさしくなります。以下のようにベクトルの張る面に垂直な法線への射影を利用すると連立方程式の１つの未知数ｓを素早く求めることができます。

（第１の解おわり）

①　先ず、問題の連立方程式の右辺のベクトルｅのＹ成分のベクトルの高さを６ｚとしました。
②　ベクトルｂとｃの張る面を水平面とする。ベクトルｃのＹ成分の高さは①との関係で、高さｚです。
③　ベクトルｂのＹ成分の高さは①との関係で、高さ６ｚです。
④　ベクトルｃは水平面上のベクトルなので、そのＺ成分はＹ成分による高さｚを打ち消す高さ－ｚです。
⑤　ベクトルｂのＺ成分の高さは④との関係で、高さ－ｚ／２です。
⑥　ベクトルｂは水平面上のベクトルなので、そのＸ成分はＹ成分とＺ成分による高さを打ち消す高さ－１１ｚ／２です。
⑦　ベクトルａのＸ成分の高さは⑥との関係で、高さ（１１ｚ／２）（３／２）です。

問題の連立方程式のｓに掛かる高さは⑦であり、右辺の高さは①です。その比を計算してｓが得られました。


【第２の解】
　ベクトルの外積を利用して計算すると、以下のように答えが得られます。

（第２の解おわり）
ベクトルの外積を利用する方が速そうです。


【第２の解（その２）】
　第２の解の方法を、以下に整理して書きます。

なお、

である。
　連立方程式２から４が解を持たない場合もあり得るが、それは、式６，９，１０の分母が０になる場合に生じる。
（第２の解（その２）おわり）

【第３の解】
　上記の第２の解とは異なる、以下の解き方で連立方程式を解く事もできます。

式１５から１７を使って以下の式１８と１９を導き出す。

この式１８と１９は、ベクトルｚと内積計算した値が０になる、ベクトルｚに垂直な２つのベクトルを表しています。
ベクトルｚは、その２つのベクトルを外積したベクトルに平行である。
そのため、未知の係数ｋを使った以下の式２０が得られる。
係数ｋは、式２０と式１５から得る式２１で計算できる。

よって、ベクトルｚ＝（s,w,u）が以下の式２２で求められる。

この式２２を変形して、以下の式２３も得られる。

　連立方程式１５から１７が解を持たない場合もあり得るが、それは、式２３の分母が０になる場合に生じる。
  （第３の解おわり）

なお、

である。

　この式２２及び式２３の解は、第２の解（その２）の式６から式１０の解とは異なる形で表された解ですが、同じ解をあらわしています。

【第４の解】
　以下の解き方で連立方程式を解く事もできます。
これは、解が無い連立方程式が、その解が無いことが明確に分かる方法です。

の形をした、未知数ｓ，ｔ，ｕの連立方程式の問題を考える。具体的には以下の式を考える。

この連立方程式の各方程式の表す面の法線ベクトルは上記の通りである。各面の法線ベクトルが互いに垂直になるように、各面の方程式を変形する。


更に変形する。

このように、各面の法線ベクトルが互いに垂直になるように、各面の方程式を変形して上記の式を得た。そうすると、上記の式(7)によって、この方程式が解を持たないことが明らかに現れてきた。
（第４の解おわり）

【第５の解】
　以下の解き方でも、解が無い連立方程式が、その解が無いことが明確に分かる。
 
以下の、未知数ｓ，ｔ，ｕの連立方程式を考える。

この連立方程式の拡大係数行列を以下に書く。

1行目－3(3行目)：
2行目－4(3行目)：

1行目/2:

2行目－3(1行目)：

このように方程式を加減算する変形だけで、上記の式が得られる。その2行目の式によって、この方程式が解を持たないことが明らかに現れた。
（第５の解おわり）

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