問題をやさしくする数学（１９）座標系を変える

【問】実数ａ，ｂに関する条件ｐ，ｑを次のように定める。
ｐ：　（ａ＋ｂ）^２＋（ａ－２ｂ）^２＜５
ｑ：　（ａ＋ｂ）^２＜１　または　（ａ－２ｂ）^２＜４
次の①～④のうち、命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例になっているのはどれか。
①ａ＝０，ｂ＝０
②ａ＝１，ｂ＝０
③ａ＝０，ｂ＝１
④ａ＝１，ｂ＝１

【解答】
命題「ｑ⇒ｐ」に対する反例は、
ｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。

命題ｐとｑが複雑なので、命題の式の方をＸ､Ｙとおいて命題を見やすくし、
ｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合を以下の図の斜線であらわす。
図の円周上の点は（ｐで無い）条件を満足している。

上図の斜線の範囲にある（Ｘ，Ｙ）がｑ及び（ｐで無い）が成り立つ場合である。
とりあえず、ＸとＹでｂをあらわすと、
ｂ＝（Ｘ－Ｙ）／３
である。
そのため、Ｙ＝Ｘの直線上の点はｂ＝０を満たす点であることがわかる。
ｂ＝０でＹ＝Ｘの直線上にある場合は、
ａ≧√（５／２）
あるいは、
ａ≦－√（５／２）
がなりたつべきであるが、
①と②はこの条件を満足していない。よって反例では無い。

あとは、③と④を個々に調べれば良い。
③の、ａ＝０，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝１，Ｙ＝－２なので、ｑを満足しない。よって反例では無い。
④の、ａ＝１，ｂ＝１の場合は、
Ｘ＝２，Ｙ＝－１なので、ｑを満足する。
また、円周上の点なので、（ｐで無い）も満足する。
よって、④が反例である。
（解答おわり）

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