ベクトルの外積の応用：角運動量保存の法則

ケプラーの「面積速度一定の法則」を高校の物理で教わります。
　大学に入ると、一般教養で、その法則をもっと汎用化した「角運動量保存の法則」を学びます。

　高校で物理を選択しなかったからと言っても、その知識が教養に必須な理系の大学では、なさけ容赦無く一般教養の「角運動量保存の法則」を学ばされます。

 （角運動量保存の法則とは、
「回転している物体系に外から、回転モーメント＝（腕の方向に垂直な力）×（腕の長さ）が加わらなければ、角運動量＝（腕の方向に垂直な運動量）×（腕の長さ）が変わらない。」
という法則です）

　この、「角運動量保存の法則」は、「運動量保存の法則」と同じくらいに大切な法則です。
しかし、高校物理では教わりさえしません。
　理系大学が必要とするこの一般教養（必須知識）と高校教育の間に大きなギャップがあります。
　この大きなギャップの存在によって学生が脱落しないようにするには、入試の問題を難しくして学生を選別するしかなさそうです。

　そのため、
「角運動量保存の法則」
＝「面積速度（角運動量を質量で割り算した値）一定の法則」
が物理での保存法則の１つであることを理解できる学生である事を学生側が証明するつもりで、
大学の数学の入試問題に挑むと良いと考えます。

　ベクトルの外積の知識の練習として、以下の問題を解きます。

【問題】
　上図のように、水平面上で回転中心Ｏのまわりに回転する軽いレールに、レールをローラーはさんで固定した重い物体Ｍが、回転中心Ｏから距離ｒ_０の位置で、レールの軸に垂直方向に速度ｖ_０で運動して、回転中心のまわりを回転しています。
　この物体Ｍがローラーでレールをゆっくりとたぐりよせて、回転中心Ｏから距離ｒ_１の位置までゆっくり上って来たとき、物体は、レールの軸に垂直方向に速度ｖ_１で運動するものとします。この速度ｖ_１を計算しなさい。

【解答】
　面積速度一定の法則は、
外積（面積）：

という関係があるという法則です。

 の関係が成り立って、

回転中心Ｏに物体Ｍが近づけば、物体の速度ｖは速くなるという法則です。

　その知識は、上の式のように外積という数学の表現を用いることで表現ができます。
　これが、外積という概念の典型的な応用例です。

【問題の解答】
　角運動量保存の法則を使うと、
先の問題の答えは、
 ｖ_１＝ｖ_０（ｒ_０／ｒ_１）
です。

リンク：
高校数学の目次