複素数平面のグラフの方程式の変換は図形で解くこと

複素数平面のグラフの方程式を計算でつなぐ道はがけ崩れで崩壊している

　以下の複素数平面のグラフを表わす複素数の方程式同士を式の計算でつなぐのはほとんど不可能です。
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の式の計算をせずに、図形の考察で答えを求め、その答えを複素数の式で表す解き方をしましょう。

【問】以下の複素数平面のグラフの方程式を簡単な方程式に変換せよ。

《解答方針》
「（計算の定石）正弦定理や円周角の定理で解ける問題は、ベクトルの式や複素数平面の式の計算を使わないで、正弦定理や円周角の定理を使った図形問題として解く方がスムーズに解ける。そのため、この種の問題は図形問題として解き、その結果を、ベクトルの式や複素数平面の式で表す。」

【解答】
　このグラフの式（１）は、２つのベクトルの成す角度θのｃｏｓθが１／２である式であるので、２つのベクトルの成す角度θは６０°です。そのため、円周角の定理から、複素数ｚの描くグラフは、上図のような２つの円上になります。
　そのうち１つの円の中心は１＋ｉ／√３であり、円の半径は２／√３です。
よって、この円のグラフの方程式は、Ｉｍ（ｚ）≧０のときは、

であらわせる。
（解答おわり）

　この円のグラフの方程式（２）から、以下の式（３）を計算することができます。

　この式（３）は、Ｉｍ（ｚ）≧０の場合には、式（１）と同じグラフをあらわす式ですが、計算で式（１）を変換して式（３）を求めることはほとんど不可能です。
　そのように計算の障害が大きいので、複素数平面のグラフの式を計算でつなぐ道は、いわば、がけ崩れで崩壊していると言えます。
　そのため、そのグラフの式を変換した式は、上の解答のように図形で計算して求めてください。
　くれぐれも、がけ崩れで崩壊している「計算で式を変換する道」は通らないでください。

（参考）Ｉｍ（ｚ）≧０の場合には、式（３）の円上の点が式（１）を満足することの、計算による証明

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