複素数平面で双曲線の特徴を表現する

複素数平面で見た双曲線の特徴も覚えておきましょう。

【双曲線の接線の方程式】

ｘ^２－ｙ^２＝１とあらわせる単純な双曲線の場合は、
以下のような面白い性質があります。

（１）この双曲線は、複素数ｚの式で、
Ｒｅ（ｚ^２）＝１
とあらわせます。
（２）この双曲線上の点ａで接する接線の式は、
Ｒｅ（ａｚ）＝１
とあらわせます。
その接線（ｚ点の集合）は、ａの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その接線の原点からの距離は、
|a|分の１です。

【極点に対する双曲線の極線の方程式】
（３）この双曲線の外の点ｚから引いた双曲線への接線の接点ａとｂを結ぶ線を、
極点ｚに対する双曲線の極線
と呼びます。

　この極点ｚと極線との間には、以下の図の関係があります。

極点ｚに対する極線（ａ）の式は、
Ｒｅ（ａｚ）＝１
とあらわせます。
その極線（ａ点の集合）は、ｚの共役複素数があらわすベクトルに垂直です。
そして、その極線の原点からの距離は、
|z|分の１です。

　なお、この極線の式は、極点ｚに関連するきれいな式であらわせますが、接点ａとｂの式は複雑な式になります。
　そのため、極線を求める問題に直面した場合は、接点の座標を直接に計算しない計算方法で、極線の式を求めるよう工夫してください。（このグラフの極線の式は上の式の通りですので、形が異なるグラフの場合も、この式を導出する方法と類似させた方法で極線を求めてください。） 

【関連する問題】
　ｘ^２－ｙ^２＝１であらわせる双曲線に以下の式であらわされる直線が交差している。

この直線と双曲線の交点２つのそれぞれから引いた双曲線への接線２つの交点（極）を求めよ。

　この問題の解答は書きませんので、自力で解答してください。

（補足）
　なお、複素数平面であらわした双曲線上の点ａでの接線と点ｂでの接線との交点ｚ（極）の座標は、以下の２つの式であらわせます。この２つの式は、値が等しい同等な式です。

この２つの式も、各自で自力で導いてみてください。

リンク：
双曲線の弦と中点の共役点通過線の直交の公式
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