ペル方程式で解ける不定方程式

【問】（高校生の難問）

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、ペル方程式で解けます。
大学入試問題に出題されることもあるようですが、
高校生には難問ですので、理系難関大学や医学部を受験しようとしている高校３年生以外は、この問題をやらなくても良いと思います。
該当する高校生であっても、参考に見ておくだけで十分と思います。

【解１】

解のいくつかを求める。

もう１つの解を計算する。

この場合はｘ，ｙは自然数解を持たない。
もう１つの解を計算する。

これは自然数解を持つ。 

次に、１つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作る。
作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。

１つの解ｕが得られた場合に他の解Ｕを与える漸化式８を、行列Ｍを使った式で定義します。
式３を扱い易くするために、式３の係数を以下の行列の要素ａで定義します。

以下のようにして、行列Ｍの要素の満たす式を求める。

この式の左右の項の行列を計算する。

この式を満たす行列は以下の式で与えられる。ｃとｄは選択の自由度を与える未知数である。

この式を満足するｃとｄの整数解を１つ、以下の様に求め、それを使って、行列Ｍを定める。

これで、１つの漸化式の行列Ｍが得られた。
ペル方程式の場合は、この漸化式だけで全ての解を計算できることが分かっている。
　すなわち、ペル方程式では、ｃ＋ｄ√３の値を最小にする自然数解（ｃ，ｄ）＝（２，１）を使って上の漸化式を作れば、その漸化式で作った解が全ての自然数解をあらわす。

（漸化式の他の導出方法）
　以下のようにこの漸化式を導出する方が簡単なようです。

　この漸化式を使って、解を順次に計算できるが、以下では、その計算を先回りして解をあらわす式を求める。

この式を変形して、係数ｚとｍとを使った以下の形の式に変形する。

この式を解いてｚとｍを定める。

ｚとｍが２組あることで以下の式が成り立つことを利用して解を計算する。

以下のようにｋ番目の解を計算する。

（注意）この解のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。 

（（Ｕ_１，ｋ ，Ｕ_２，ｋ）の式を導き出す簡単な計算方法）
　以下の様にすると簡単に計算できます。
（漸化式の他の導出方法）の計算を続けて、以下の計算をします。

（注意）この解のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。
（解答おわり）

【解２】 
　解２では、解１によって計算するｘ，ｙの解には整数解以外の解が混在していたのを改善する。

 この式Ｂ１を式２に代入する。

 ここで、ｕ_１とｕ_２には正負の何れかであるかが決まっていない自由度がある。
６ｙ＋１＝１（ｍｏｄ３）であるので、ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）であるｕ_１＝か、－ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）である－ｕ_１を６ｙ＋１に等しいと計算する。
（後の計算で、 常に正のｕ_１＝１（ｍｏｄ３）であることが分かる）

この式から、以下の漸化式が得られる。

この漸化式に従うと、 
順次に計算する正のｕ_１は常に、ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）となることが分かる。
そのためｙの整数解は、Ｂ３’のみで計算しなければならない。
一方でｘの整数解は、正負のｕ_２を使って、いずれの計算でも整数解が得られる。

この漸化式を使って、（ｘ，ｙ）の整数解をいくつか求めてみる。

 これらの計算において、計算した（ｘ，ｙ）は全て整数解になったので、整数解以外の解の混在を無くすことができたと考えられる。

　次に、漸化式の計算を繰り返す手順を飛び越えて、一般解をあらわす式を求める。

この一般解の式のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在していないと考える。

リンク：
高校数学の目次

不定方程式の難問

【難問】以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、ペル方程式で解くこともできない。
とても難問です。

【解答】（途中までの速報）

すなわち、この式が成り立つには、ｎが５の倍数５ｐである必要がある。

１つの解は見つけた。

この問題は、海外のインターネットで議論されていて、
それ以外の解も求められている。
（ｘ，ｙ）＝（１５４１，－１８２２）
も解であり、
それ以外にも解がありますが、
解の個数は有限のようです。

そのインターネットのサイトには、
簡単な構造の漸化式により、
１つの解から、他の解が得られると書いてありました。
ただし、そのサイトの漸化式は間違っていましたので、
正しい漸化式を計算して記録に残すことにします。

とりあえず、１つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作ってみます。

 この式の解の漸化式を１つ作ります。
この式と整数解を求めるｘ，ｙとの関係を以下に整理しておきます。

作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。

 １つの解ｕが得られた場合に他の解Ｕを与える漸化式を、行列Ｍを使った式１１で定義します。
式５’を扱い易くするために、その係数を以下の行列の要素ａで定義します。

 この式に、先の式１１を代入して、以下のようにして、行列Ｍの要素の満たす式を求める。

この式の左右の項の行列を計算する。

この式を満たす行列は以下の式で与えられる。ｃとｄは選択の自由度を与える未知数である。

この式を満足するｃとｄの整数解を１つ、以下の様に求め、それを使って、行列Ｍを定める。

 これで、１つの漸化式の行列Ｍが得られた。
この漸化式を使って、以下のように問題を解析し、この漸化式の有効性を調べる。
先に求めた解
（ｓ，ｔ）＝（１６，５）
に、この漸化式を適用する。

上のように、この漸化式を使って（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の解を順次に計算したが、その解の（ｕ_１，ｕ_２）の組に対する（ｘ，ｙ）が整数になる解が直ぐにはみつからなかった。

次に、以下の（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の組を求めて、この漸化式を適用して他の解を得て（ｘ，ｙ）の整数解を探した。

以上のように１つの整数解（ｘ，ｙ）の組（１５４１，－１８２２）がみつかった。

更に、以下の（ｓ、ｔ）＝（ｕ_１，ｕ_２）の組を求めて、この漸化式を適用して他の解を得て（ｘ，ｙ）の整数解を探した。

以上のように１つの整数解（ｘ，ｙ）の組（－４０１１９，－６４３１２）がみつかった。

　以上の計算の結果、この漸化式は、解を探すのにある程度役に立った。

先のサイトに書いてあった解を見ると、以上の探索により得た解は、小さな値の解を漏らさず探索できていた。
そのため、この漸化式は結構役にたっていることがわかった。

　以上でいくつかの解が得られた。
　次に、全ての解を網羅する漸化式があるのかどうか、以上の解を使って調べてみる。
（解答途中）

リンク：
高校数学の目次

２重条件の条件付き確率

【問題】（難問）
　イベント１で、赤コイン１つと白コイン１つが入っている袋から１つのコインを机の上に取り出しコインの色とコインの面が表か裏かを記録してコインを袋に戻す。そしてイベント２で再度、同じことを繰り返してコインの色とコインの面が表か裏かを記録した。
　その２回のイベントで少なくとも１回は、白コインでコインの面が表であるコインが記録された。
　こうなる条件のもとで、この２回のイベントの２回とも、袋から取り出したコインが白コインであった条件付き確率を求めよ。

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

リンク：
高校数学の目次

条件付き確率の入試問題９

【問題】 　５回に１回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月にＡ，Ｂ，Ｃ３軒を順に年始まわりをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。２番目の家Ｂに忘れてきた確率を求めよ。
(1976年　早稲田大）

解答は、ここをクリックした先のページにあります。

リンク：
高校数学の目次

条件付き確率の問題文の意味

以下の例題１から４を参考にして、「条件付き確率」の意味を説明する。

【例題１】
　２枚のコインを投げて裏が出ているコインが有ると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？

【解答】
 下図の縦線は、○印で交差する横線の樹形図の枝を束ねた部分的枝をあらわします。

　この基本樹形図を使うことで、 
コインが２つとも裏である条件付き確率は、１／３である。
（解答おわり）

【例題２】
　２枚のコインを投げて、１つのコインＡに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？

【解答】
下図の縦線は、○印で交差する横線の樹形図の枝を束ねた部分的枝をあらわします。

　この基本樹形図を使うことで、 
コインが２つとも裏である確率は、１／２である。
（解答おわり）

【例題３】
　２枚のコインを投げて、１つのコインＢに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？

【解答】
下図の縦線は、○印で交差する横線の樹形図の枝を束ねた部分的枝をあらわします。

 問題の解き方の視点を変えたこの基本樹形図を使っても、 
コインが２つとも裏である確率は、１／２である。
（解答おわり）

（疑問１）
　コインＡが裏である場合のコインＢが裏の確率が１／２であり、コインＢが裏である場合のコインＡが裏の確率が１／２であるのに、なぜ、コインＡかコインＢのいずれかが裏である場合の、それ以外のコインが裏である確率が、それらと異なる値の１／３になるのか？
（理由）
　コインＡかコインＢのいずれかが裏である場合には、コインＡが裏である場合とコインＢが裏である事象が独立に有るわけでは無い。
　コインＡが裏である事象とコインＢが裏である事象は同時に生じることができる。
　そのため、コインＡが裏である事象とコインＢが裏である事象を合わせて、コインＡかコインＢのいずれかが裏である事象を構成するとき、事象同士が干渉して確率の値を変えるという現象が起きたと考える。

【例題４】
　２枚のコインを投げて、１つのコインに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？
（問題のあいまいさ）
　この例題４は、
(1)１つのコインを調べて、表であるか裏であるかを確認したら、裏が出ていると判った。このとき両方のコインが裏である確率はいくらか？
という意味の問題であると解釈したら、
例題２か例題３の問題であるので、
答えは１／２である。

　しかし、この例題４を、
(2)コインＡとコインＢを両方とも調べた結果、いずれか１つのコインに裏が出ていると判った。このとき両方のコインが裏である確率はいくらか？
という意味の問題であると解釈したら、
例題１の問題であるので、
答えは１／３である。

　また、例題４を、
(3)「２枚のコインを投げて、両方のコインをしらべたら、いずれか１つのコインのみに裏が出ていて他のコインには裏が出てない（表だった）ことが判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？」
という意味の問題であると解釈したら、
それは、両方のコインの片方は裏では無い場合だけを考えている問題であるので、
答え：両方のコインが裏になる確率は０である。

　例題４のように、どうにでも解釈できる意味不明な問題（愚問）もあり得るので、 問題文を良く読んで、愚門は解かないように注意しましょう。
(補足)
　例題４を以下の文に書き直したら、
「２枚のコインを投げて、いずれか１つのコインのみを調べたら、そのコインに裏が出ていると判ったとき、両方のコインが裏である確率はいくらか？」
という文にすれば、
例題２又は３の問題であることが明確になる。

リンク：
高校数学の目次