ペル方程式で解ける不定方程式

【問】（高校生の難問）

以下の不定方程式の整数解をすべて求めよ。

（コメント）この問題は、ペル方程式で解けます。
大学入試問題に出題されることもあるようですが、
高校生には難問ですので、理系難関大学や医学部を受験しようとしている高校３年生以外は、この問題をやらなくても良いと思います。
該当する高校生であっても、参考に見ておくだけで十分と思います。

【解１】

解のいくつかを求める。

もう１つの解を計算する。

この場合はｘ，ｙは自然数解を持たない。
もう１つの解を計算する。

これは自然数解を持つ。 

次に、１つの解を得た場合に他の解を求める漸化式を作る。
作成する漸化式は、以下の式を満たす漸化式にします。

１つの解ｕが得られた場合に他の解Ｕを与える漸化式８を、行列Ｍを使った式で定義します。
式３を扱い易くするために、式３の係数を以下の行列の要素ａで定義します。

以下のようにして、行列Ｍの要素の満たす式を求める。

この式の左右の項の行列を計算する。

この式を満たす行列は以下の式で与えられる。ｃとｄは選択の自由度を与える未知数である。

この式を満足するｃとｄの整数解を１つ、以下の様に求め、それを使って、行列Ｍを定める。

これで、１つの漸化式の行列Ｍが得られた。
ペル方程式の場合は、この漸化式だけで全ての解を計算できることが分かっている。
　すなわち、ペル方程式では、ｃ＋ｄ√３の値を最小にする自然数解（ｃ，ｄ）＝（２，１）を使って上の漸化式を作れば、その漸化式で作った解が全ての自然数解をあらわす。

（漸化式の他の導出方法）
　以下のようにこの漸化式を導出する方が簡単なようです。

　この漸化式を使って、解を順次に計算できるが、以下では、その計算を先回りして解をあらわす式を求める。

この式を変形して、係数ｚとｍとを使った以下の形の式に変形する。

この式を解いてｚとｍを定める。

ｚとｍが２組あることで以下の式が成り立つことを利用して解を計算する。

以下のようにｋ番目の解を計算する。

（注意）この解のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。 

（（Ｕ_１，ｋ ，Ｕ_２，ｋ）の式を導き出す簡単な計算方法）
　以下の様にすると簡単に計算できます。
（漸化式の他の導出方法）の計算を続けて、以下の計算をします。

（注意）この解のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在しているので、
解を選別して整数解だけを抽出する必要がある。
（解答おわり）

【解２】 
　解２では、解１によって計算するｘ，ｙの解には整数解以外の解が混在していたのを改善する。

 この式Ｂ１を式２に代入する。

 ここで、ｕ_１とｕ_２には正負の何れかであるかが決まっていない自由度がある。
６ｙ＋１＝１（ｍｏｄ３）であるので、ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）であるｕ_１＝か、－ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）である－ｕ_１を６ｙ＋１に等しいと計算する。
（後の計算で、 常に正のｕ_１＝１（ｍｏｄ３）であることが分かる）

この式から、以下の漸化式が得られる。

この漸化式に従うと、 
順次に計算する正のｕ_１は常に、ｕ_１＝１（ｍｏｄ３）となることが分かる。
そのためｙの整数解は、Ｂ３’のみで計算しなければならない。
一方でｘの整数解は、正負のｕ_２を使って、いずれの計算でも整数解が得られる。

この漸化式を使って、（ｘ，ｙ）の整数解をいくつか求めてみる。

 これらの計算において、計算した（ｘ，ｙ）は全て整数解になったので、整数解以外の解の混在を無くすことができたと考えられる。

　次に、漸化式の計算を繰り返す手順を飛び越えて、一般解をあらわす式を求める。

この一般解の式のｘ，ｙには、整数解以外の解が混在していないと考える。

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