二項定理に関連する公式

二項定理は、例えば：
（ｘ＋１）^５
を展開した各項の係数が以下の式であらわされるという定理です。

ｘ＝１とおけば、上の式１のように、２^５が組合わせの数_ｎＣ_ｒの和であらわされます。
上のように式１が得られたので、この式１を覚えろと言われます。

しかし、数学のセンスのある学生ならば、ここで、何となくうさんくさく感じて、素直にはこの式１を覚える気にはならないと思います。
（そのうさんくささを感じる嗅覚が数学的センスです）
この公式がうさんくさいので、先ずは、具体的な場合を調べて、本当に式１が成り立つのかを具体的に調べます。

何と！全部成り立っているではないですか。

しかし、それでも納得いかないので、この式１が別の方法で証明できるならばこの式１を覚えても良いと考え、別の証明方法が無いか調べてみます。
（その調査をすることが数学を勉強するということだと考えます）

そのために、組合せの数_ｎＣ_ｒの式の定義を使ってこの式１を証明する方法を探してみます。
先ず、 組合せの数_ｎＣ_ｒの式の変形可能性を調べます。

上のように、組合せの数_ｎＣ_ｒには、式２の関係があることを確認できました。
（この式２は覚えておきましょう）
この式２を使って、もう少し調べてみます。

この式３も成り立つことが分かりました。
この式３を使うことで、組合せの数_ｎＣ_ｒを、そのパラメータｎをどんどん減らした式に変換でき、下の図の関係があります。
（便利なので、この式３を覚えましょう）
下図では、各行の各項_ｎＣ_ｒが、式３に従って、その下の行の２つの項の和であらわされます。

上の図で、下方の行の各項が上方の行で２回使われています。そのため、上方の行の値は下方の行の値の２倍です。
それゆえ、式１が成り立ちます。
（式１の証明おわり）

こうしたやり方で、
「納得した後で初めて式１を覚えることにする。」
という勉強方法は間違っていないと私は考えます

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