長さの等しいベクトルの張る２重平行四辺形の面積の公式

ベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）とＢ（ｂ_１，ｂ_２）の張る平行四辺形の面積Ｓの公式は、
Ｓ＝ａ_１ｂ_２－ａ_２ｂ_１
で計算する公式が知られています。
　この公式は思い出すのに少し時間がかかるし、何となく使いにくい感じがして、今一つ使いにくい公式のように感じました。
　これに替わる、もっと楽に使えそうな公式がないかを考えました。 

　その結果、以下の、「長さの等しいベクトルＡとＢの張る２重平行四辺形の面積の公式」（後の式１から３）が導き出せました。
　このような公式もあることが分かったので、この公式も速やかに導き出すことができるように、以下の公式の導き出し方を覚えてしまいましょう。

上の図で、長さの等しいベクトルＡとＢの張る２重平行四辺形の面積Ｓは、以下の式で計算できる。

よって、以下の式が成り立つ。

この式が成り立つ理由は、|Ａ|＝|Ｂ|の場合にベクトルＣＤとベクトルＣＦが直交するからです。
式１および式２は、Ｓの正負が反映されている公式です。
式３は、Ｓの絶対値をあらわす公式です。

（補足）
　以上の公式は、図から求めることができた。
それらの公式のうち、式２の公式を、以下では、式を展開することで証明する。

（証明おわり）

（第２の証明）
　式３の公式は、以下の図の様に、ベクトルａとベクトルｂに垂直なベクトルｕとベクトルｗを使って証明することもできます。

これにより、以下の計算ができます。

 この結果は式３の結果をあらわしている。
（証明おわり）

（第３の証明）
この２重平行四辺形の面積の公式は、ベクトルAとBを反時計回りに９０度回転したベクトルAv（＝ｕ）とBv＝（－ｗ）を使って、以下の式であらわせます。

（証明おわり）

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