拡張三平方の定理の２つの式がベクトルの内積により１つの余弦定理の式になる

 【三平方の定理】

上図の直角三角形で、式０であらわされた三平方の定理が成り立ちます。

【拡張三平方の定理】

上図の三角形で、式１であらわされた拡張三平方の定理が成り立ちます。
ａ_１が小さくなって０になれば、この式１は式０に一致します。

（証明開始）
三角形ＡＢＣに関して、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使うと、以下の式が成り立ちます。

（証明おわり）

　式の対称性から、以下の様に、この式は、他の式でも表現できる、複数の式があるというバラエティがあります。

すなわち：
(1)辺ＢＣの長さａと、辺ＢＣ上への辺ＢＡの射影の長さａ_１の積を使う表現。
(2)辺ＢＡの長さｃと、辺ＢＡ上への辺ＢＣの射影の長さｃ_１の積を使う表現。
との２つのバラエティがあります。
その式のバラエティは、ベクトルの内積を使った１つの式で表現できます。
　そして、その式は、余弦定理をあらわします。 

（補足）
　拡張三平方の定理の式の２つの式のバラエティは、下図のように、三角形ＡＢＣの辺ＡＣの中点を中心にした円を使った方ベきの定理から理解できます。

しかし、２つの式のバラエティを含む定理は、方ベきの定理だけでは無く、以下の定理も、そのバラエティを含むので、頭を柔らかくしましょう。

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