無数の解がある連立方程式の高校生の解答

中学生の時は、無数に解がある連立方程式は、
「解が無数にある」と言えば答えになっていました。

しかし、高校生になると、そのような答えでは不十分な答えになります。

例えば、以下の様な問題を解いてみます。
【問題１】
以下の連立方程式を解け。

【解答】

以上の計算により、式１と式２と式３の連立方程式に等価な連立方程式である、式４と式５と式６との連立方程式が得られました。
（式４と式５と式６を使って式１と式２と式３を再現することが可能です→補足１。） 
　ここで、式６は、式１の全ての変数をｙに置き換えて、変数ｙだけの式にして、変数ｙの値を求めようとした式です。
　この式６でｙの値が定まらないので、ｙの値は不定です。よって、ｙの値は、任意の値を取ることができます。
ゆえに、問題の解は、
任意の定数ｔに関して：

になります。
（解答おわり）

（補足１）
　式４から式６を使って、以下のようにして式１から３を導き出すことができます。
先ず、式１～3を使って式4～式６を導き出す計算を再現します。
(1)×2－(2):
3x－6y=0，　(4')
(1)－(3)×2:
ー3y+z=0，　(5')
(1)ー(4')×(2/3)+(5'):
4y－yー3y=0，
0y=0，　　(6')

次に、この計算を逆にたどって、式４’～６’を使って式１～３を導き出す式を求めます。
(1)=(6')+(4')×(2/3)－(5')，　(1)
(2)=－(4')+(1)×2
=－(4')+((6')+(4')×(2/3)－(5'))×2
=(4')×(1/3)+(6')×2－(5')×2，　(2)
(3)=( (5')－(1))×(－1/2)
＝(5')×(－1/2)＋(1)×(1/2)
＝(5')×(－1/2)＋((6')+(4')×(2/3)－(5'))×(1/2)
＝－(5')+(6')×(1/2)+(4')×(1/3)，　(3)
この様に、式１～式３が、式４～式６を使って再現できる。
　そのため、式４～式６の連立方程式は、式１～式３の連立方程式に等価です。 

（補足２）
　式１～式３に対して、それらの式の和で作った式４～式６が等価な連立方程式と言えるのは、上の式の様に、式４～式６の式の和で式１～式３が作れるからです。その式を作る前に、式１～式３に対して、それらの式の和で作った式４～式６が等価な連立方程式と言えるか否かを判定できる条件は、大学に進学して線形代数学を学ぶことで学ぶことができます。
　詳しい内容は、その線形代数学で学んで欲しいと思いますが、式４～式６が、式１～式３の持つ式の特徴を余さず受け継いでいるように作られているか否かによって、式４～式６が式１～式３に等価な連立方程式と言えるか否かが定まります。
（式６が上の説明の様に作られずに、単に(1)-(1)で式６を作って0=0が得られるのが当たり前の計算する場合は、そうして作る式には、式１～式３の持つ特徴が受け継がれません）
　上の式の変形の様に、１つの変数で他の変数１つ１つを表わす式を作って、最後に、その式を元の式の１つ（どの式でも良い）に代入して１つの変数だけで表わした式６を作れば、それらの式４～式６の連立方程式は、その式６が0=0という式になったとしても、元の式１～式３の連立方程式に等価な連立方程式になります。

（補足３）定数と未知数の定義。
未知数→方程式の中で気にする数。
定数→方程式の中で気にしない数。
という違いがありますが、定数と未知数の区別はあいまいです。

問題の３つの式から成る連立方程式は、３つの変数ｘ，ｙ，ｚに関して、無数の解がある連立方程式です。
　このように解が無数にある連立方程式というものは、その変数のうちの１つの変数ｙを定数ｔであると考えて、残った未知数ｘとｙを定数ｔを使った式で表す解：

を解とする連立方程式であると解釈する事ができます。
よって、この式が解になります。

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