線形変換を使って図形問題を易しくする

以下の問題を例にして、図形をやさしい図形に線形変換して問題を解く方法を説明します。

【問題１】
以下の図で、
三角形の頂点Aから対向する辺BCの中点Dまで引いた直線ADがあり、
頂点Bから対向する辺CAの中点Eまで引いた直線BEがあり、
頂点Cから対向する辺ABの中点Fまで引いた直線CFがある。
直線ADと直線BEの交点Pを直線CFも通る事を証明せよ。

（問題１おわり）

【ベクトルの線形変換の定理】解答で利用する定理
以下の図の様に、歪んだ三角形を正三角形に線形変換します。

この線形変換では、
ベクトルAB＝ベクトルｂを、
正三角形の辺A'B'を表す：
ベクトルA'B'＝ベクトルβに変換し、
ベクトルBC＝ベクトルｃを、
正三角形の辺A'C'を表す：
ベクトルA'C'＝ベクトルɤに変換します。

そして、
ベクトルｂとベクトルｃを以下の式１の左辺の式で合成して表される全てのベクトルを、
式１の右辺の式の、ベクトルβとベクトルɤで合成して表すベクトルに変換します。

その場合に、以下の関係が成り立ちます。

この式１の左辺の式でベクトルを合成して表わせるベクトルBCは、式１の右辺の式でベクトルを合成して表すベクトルB'C'に変換されます。

この式１を成り立たせて線形変換する場合には、
式１のベクトルをｓ倍したベクトルは以下の式２の左辺の式であらわされ、そのベクトルはその右辺の式に変換されます。

そのため、
式１の左辺のベクトルをｓ倍した式２の左辺のベクトルは、
式１の右辺のベクトルをｓ倍した式２の右辺のベクトルに変換され、
平行する２つのベクトルは、その長さの比が同じである平行する２つのベクトルに変換されます。

また、このベクトルの逆変換に対しても同様の関係が成り立ちます。

結局、線形変換によってこの正三角形を元の歪んだ三角形に逆変換すると、
(1)１つの点は１つの点に逆変換され、
(2)１つの直線は１つの直線に逆変換され、
(3)その直線上の線分同士の長さの比は変わらない、
ように図形が逆変換されます。
（ベクトルの線形変換の定理おわり）

【問題１の証明開始】
この「ベクトルの線形変換の定理」によって、
ベクトルA'F'はベクトルAFに逆変換され、
ベクトルA'E'はベクトルAEに逆変換され、
ベクトルA'D'はベクトルADに逆変換されます。
すなわち、
辺BCの中点がDであり、
辺CAの中点がEであり、
辺ABの中点がFである
関係が、
逆変換した元の歪んだ形の三角形でも、
成り立っています。

正三角形A'B'C'では「直線A'D'と直線B'E'の交点P'は直線C'F'も通る」関係が成り立つ事が一目で分かります。

この正三角形のベクトルA'P'はベクトルAPに逆変換されます。

「ベクトルの線形変換の定理」によって、
正三角形A'B'C'を逆変換した
正三角形ABCでも「直線ADと直線BEの交点Pは直線CFも通る」関係が成り立ちます。
（証明おわり）

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