【ベクトルの長さの比の公式】
以下の図の、同じ方向のベクトルBPとベクトルBDの長さの比は、直線ACを水平線にしたときの、ベクトルの水平線上の高さの比である。ベクトルの高さは、水平線ACの法線ベクトルａvとベクトルの内積に比例する（この法線ベクトルａvは、ベクトルACを左回りに９０°回転したベクトルである）。
ＢＰ／ＢＤは、水平線AC上の高さの比である。水平線AC上の高さが、ベクトル ＢＰとベクトルＢＡとベクトルＢＣで同じである。それらのベクトルと水平線の法線ベクトルａvとの内積が同じ値である。
（ベクトルの長さの比の公式おわり）
（補足）
ベクトルＢＰの高さをベクトルの内積で表す式は、複数の形であらわせる。それによって、この式を表す計算が複雑になり得るので、計算に注意が必要です。
（計算が複雑になり得る（計算の森の中で迷子になり得る）のは、式が１つの形には定まらず、それが、式のバラエティをとても大きくするからです。）
【例題１】
以下の図の(ベクトルＢＰ)の(ベクトルＢＥ)に対する比を求めよ。
（例題１おわり）
【例題１の解１】
この問題をベクトルの長さの比の公式を使って解く前に、
先ず、オーソドックスな、ベクトル方程式を使う方法で解く。
求める比をｘとあらわす。
（解１おわり）
【例題１の解２】
ベクトルの長さの比の公式により、
ベクトルＢＰは以下の式で計算できる。
（解２おわり）
【解３】
ベクトルｄへの垂直ベクトルを使う計算式は複雑でわかりにくかった。それよりももっと明確で簡単な解き方として、以下のように解く。
先ず直線APDを水平線として、水平線の高さを０にする。それ以外の点の高さを、以下のようにして順次に定めていく。
（解３おわり）
【解４】
以下のように、直線BEのベクトル方程式と直線ADのベクトル方程式を書いて、両方程式を連立させることで、速やかに直線の交点P（に係る係数の連立方程式）を求めることができる。
あとは、これを解けば良い。
（解４おわり）
【例題２】
上の図の三角形OABで、ADとBCの交点PのベクトルOPを、ベクトルaとベクトルｂであらわせ。
（例題２おわり）
【例題２の解答（１）】
以下の様にベクトルＯＰをあらわすベクトル方程式(1)と(2)の連立方程式を解いて未知数ｕとｗを求める。そして、ベクトルOPを、定まった未知数を使ってベクトルａとベクトルｂであらわす。
(1)=(2):
（解答（１）おわり）
（例題２の検算方法）
しかし、この公式は覚えられない。
また、この計算を実際に行う過程で、計算間違いをし易い。
その計算の検算を兼ねて、もっと速やかに計算できる方法の１つは、スーパーメネラウスの定理を使って、以下の様に計算します。
この、スーパーメネラウスの定理を使って、以下の計算でベクトルOPが計算できます。
この様にスーパーメネラウスの定理を使って答えが求められます。（この計算以外にも、もっと速やかに計算することもできます）。
（例題２の検算おわり）
もっと簡単に、以下の図形の辺の長さの関係から、メネラウスの定理を使って、ベクトルＯＰを求めることができる。
【例題２の解答（２）】
例題２の解答（１）のベクトルの係数の公式は複雑な式なので、覚えられませんでした。しかし、以下の解き方の途中で出てくる公式を覚えることはできると思います。
（解答はじめ）
先ず、 ベクトルＯＰを以下の式（１）であらわします。
すると、点Pが線分AD上にあることと、ベクトルODがベクトルOBに平行であることから、以下の式が成り立つ。
同様にして、点Pが線分BC上にあることと、ベクトルOCがベクトルOAに平行であることから、以下の式が成り立つ。
----------------補足------------------------
これらの式(3)と(5)は覚え易い。
ｘとｙからｓとｔを表す公式は、以下の式(6)と(7)になる。これらの公式は覚えやすい。
すなわち、例題２の図でのベクトルOPからベクトルOCとベクトルODを求める公式は覚えやすい。その公式を覚えるには、先ず式(3)と(5)を導き出し、続けて式(6)と(7)を導き出す手順を覚えるのが、その公式の良い覚え方だと思う。
----------------補足おわり------------------
式(3)と(5)を用いて、ｓとｔからｘとｙを計算すれば、再び解答（１）と同じ解が得られる。
同様にして、(x,s)と(y,t)の対称性から、
（解答（２）おわり）
【例題２の解答（３）】 一番速い解き方。
直線ADに平行な直線EBを考え、それらの直線上の線分の長さの比を求める。
上図のように、直線ADに平行な直線EBを考え、三角形の辺の相似比を利用してAD:EB:APを求める。その比を利用してベクトルOPを求める。
（解答（３）おわり）
《補足１》
ベクトル計算は図形の性質を解析する強力な手段ではあるが、従来の図形解析手段である、補助線を引いて図形の相似を利用して長さの比を求めるやりかたの方が速く答えを導き出せた。
【例題２の解答（４）】
ベクトルＰＡのベクトルＤＡに対する比を、直線BCを水平線にしたベクトルの長さの比の公式を使って、以下のように計算する。
式(1)に式(2)を代入してベクトルＰＡを求める。
（解答（４）おわり）
《補足２》
ベクトルの長さの比の公式を使う計算方法は、補助線を引いて図形の相似を利用して長さの比を求める計算と同じ筋道で計算する。
《補足３》
この解き方で注目すべき点は、ベクトルの長さの比の公式を使う計算方法では、ベクトルａやベクトルｂをそれぞれ９０°回転したベクトルａvやｂvを具体的な成分であらわす計算はしていないことである。それらのベクトルａvやｂvが存在するものとして、それらのベクトルの存在を前提にして計算するだけで、ベクトルの長さの比が計算できる。
【空間ベクトルの長さの比の公式】
以下の図は空間ベクトルをあらわし、点A,P,Cは空間直線AC上にあり、点D,P,Bは空間直線DB上にある。
同じ方向のベクトルBPとベクトルBDの長さの比は、平面DACにおいて、直線ACを水平線にしたときの、各ベクトルの、平面DACにおける、水平線AC上の点D側の方向の高さの比である。各ベクトルの高さは、平面DACにおける、水平線ACに垂直な方向のベクトルａvと、各ベクトルの内積に比例する（このベクトルａvは、平面DACにおいてベクトルACを左回りに９０°回転したベクトルである）。
ＢＰ／ＢＤは、水平線AC上の高さの比である。水平線AC上の高さが、ベクトル ＢＰとベクトルＢＡとベクトルＢＣで同じである。それらのベクトルとベクトルａvとの内積が同じ値である。
（空間ベクトルの長さの比の公式おわり）
【解答（５）】これも、一番速い解き方。
解答（４）の、ベクトルＢＣへの垂直ベクトルを使う計算式は複雑でわかりにくかった。それよりももっと明確で簡単な解き方として、以下のように解く。
先ず直線ＢＣを水平線として、水平線の高さを０にする。それ以外の点の高さを、以下のようにして順次に定めていく。
その高さの比④を利用してベクトルOPを求める。
（解答（５）おわり）
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以下の図の、同じ方向のベクトルBPとベクトルBDの長さの比は、直線ACを水平線にしたときの、ベクトルの水平線上の高さの比である。ベクトルの高さは、水平線ACの法線ベクトルａvとベクトルの内積に比例する（この法線ベクトルａvは、ベクトルACを左回りに９０°回転したベクトルである）。
ＢＰ／ＢＤは、水平線AC上の高さの比である。水平線AC上の高さが、ベクトル ＢＰとベクトルＢＡとベクトルＢＣで同じである。それらのベクトルと水平線の法線ベクトルａvとの内積が同じ値である。
（ベクトルの長さの比の公式おわり）
（補足）
ベクトルＢＰの高さをベクトルの内積で表す式は、複数の形であらわせる。それによって、この式を表す計算が複雑になり得るので、計算に注意が必要です。
（計算が複雑になり得る（計算の森の中で迷子になり得る）のは、式が１つの形には定まらず、それが、式のバラエティをとても大きくするからです。）
【例題１】
以下の図の(ベクトルＢＰ)の(ベクトルＢＥ)に対する比を求めよ。
【例題１の解１】
この問題をベクトルの長さの比の公式を使って解く前に、
先ず、オーソドックスな、ベクトル方程式を使う方法で解く。
求める比をｘとあらわす。
（解１おわり）
【例題１の解２】
ベクトルの長さの比の公式により、
ベクトルＢＰは以下の式で計算できる。
（解２おわり）
【解３】
ベクトルｄへの垂直ベクトルを使う計算式は複雑でわかりにくかった。それよりももっと明確で簡単な解き方として、以下のように解く。
先ず直線APDを水平線として、水平線の高さを０にする。それ以外の点の高さを、以下のようにして順次に定めていく。
（解３おわり）
【解４】
以下のように、直線BEのベクトル方程式と直線ADのベクトル方程式を書いて、両方程式を連立させることで、速やかに直線の交点P（に係る係数の連立方程式）を求めることができる。
あとは、これを解けば良い。
（解４おわり）
【例題２】
（例題２おわり）
【例題２の解答（１）】
以下の様にベクトルＯＰをあらわすベクトル方程式(1)と(2)の連立方程式を解いて未知数ｕとｗを求める。そして、ベクトルOPを、定まった未知数を使ってベクトルａとベクトルｂであらわす。
(1)=(2):
（例題２の検算方法）
しかし、この公式は覚えられない。
また、この計算を実際に行う過程で、計算間違いをし易い。
その計算の検算を兼ねて、もっと速やかに計算できる方法の１つは、スーパーメネラウスの定理を使って、以下の様に計算します。
この、スーパーメネラウスの定理を使って、以下の計算でベクトルOPが計算できます。
この様にスーパーメネラウスの定理を使って答えが求められます。（この計算以外にも、もっと速やかに計算することもできます）。
（例題２の検算おわり）
もっと簡単に、以下の図形の辺の長さの関係から、メネラウスの定理を使って、ベクトルＯＰを求めることができる。
【例題２の解答（２）】
例題２の解答（１）のベクトルの係数の公式は複雑な式なので、覚えられませんでした。しかし、以下の解き方の途中で出てくる公式を覚えることはできると思います。
（解答はじめ）
先ず、 ベクトルＯＰを以下の式（１）であらわします。
すると、点Pが線分AD上にあることと、ベクトルODがベクトルOBに平行であることから、以下の式が成り立つ。
同様にして、点Pが線分BC上にあることと、ベクトルOCがベクトルOAに平行であることから、以下の式が成り立つ。
----------------補足------------------------
これらの式(3)と(5)は覚え易い。
ｘとｙからｓとｔを表す公式は、以下の式(6)と(7)になる。これらの公式は覚えやすい。
すなわち、例題２の図でのベクトルOPからベクトルOCとベクトルODを求める公式は覚えやすい。その公式を覚えるには、先ず式(3)と(5)を導き出し、続けて式(6)と(7)を導き出す手順を覚えるのが、その公式の良い覚え方だと思う。
----------------補足おわり------------------
式(3)と(5)を用いて、ｓとｔからｘとｙを計算すれば、再び解答（１）と同じ解が得られる。
同様にして、(x,s)と(y,t)の対称性から、
（解答（２）おわり）
【例題２の解答（３）】 一番速い解き方。
直線ADに平行な直線EBを考え、それらの直線上の線分の長さの比を求める。
上図のように、直線ADに平行な直線EBを考え、三角形の辺の相似比を利用してAD:EB:APを求める。その比を利用してベクトルOPを求める。
（解答（３）おわり）
《補足１》
ベクトル計算は図形の性質を解析する強力な手段ではあるが、従来の図形解析手段である、補助線を引いて図形の相似を利用して長さの比を求めるやりかたの方が速く答えを導き出せた。
【例題２の解答（４）】
ベクトルＰＡのベクトルＤＡに対する比を、直線BCを水平線にしたベクトルの長さの比の公式を使って、以下のように計算する。
式(1)に式(2)を代入してベクトルＰＡを求める。
（解答（４）おわり）
《補足２》
ベクトルの長さの比の公式を使う計算方法は、補助線を引いて図形の相似を利用して長さの比を求める計算と同じ筋道で計算する。
《補足３》
この解き方で注目すべき点は、ベクトルの長さの比の公式を使う計算方法では、ベクトルａやベクトルｂをそれぞれ９０°回転したベクトルａvやｂvを具体的な成分であらわす計算はしていないことである。それらのベクトルａvやｂvが存在するものとして、それらのベクトルの存在を前提にして計算するだけで、ベクトルの長さの比が計算できる。
【空間ベクトルの長さの比の公式】
以下の図は空間ベクトルをあらわし、点A,P,Cは空間直線AC上にあり、点D,P,Bは空間直線DB上にある。
同じ方向のベクトルBPとベクトルBDの長さの比は、平面DACにおいて、直線ACを水平線にしたときの、各ベクトルの、平面DACにおける、水平線AC上の点D側の方向の高さの比である。各ベクトルの高さは、平面DACにおける、水平線ACに垂直な方向のベクトルａvと、各ベクトルの内積に比例する（このベクトルａvは、平面DACにおいてベクトルACを左回りに９０°回転したベクトルである）。
ＢＰ／ＢＤは、水平線AC上の高さの比である。水平線AC上の高さが、ベクトル ＢＰとベクトルＢＡとベクトルＢＣで同じである。それらのベクトルとベクトルａvとの内積が同じ値である。
（空間ベクトルの長さの比の公式おわり）
【解答（５）】これも、一番速い解き方。
解答（４）の、ベクトルＢＣへの垂直ベクトルを使う計算式は複雑でわかりにくかった。それよりももっと明確で簡単な解き方として、以下のように解く。
先ず直線ＢＣを水平線として、水平線の高さを０にする。それ以外の点の高さを、以下のようにして順次に定めていく。
その高さの比④を利用してベクトルOPを求める。
（解答（５）おわり）
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