複素数と共役複素数の比が単位円上にある公式

複素数αとそれに共役な複素数との比の値（複素数）は、以下の式のように、実数Φの媒介変数で表される、複素数平面の単位円上の点です。

この式は、「共役複素数の役割」のページで表した、複素数の単位ベクトルの偏角を−２倍にした単位ベクトルを表します。

【問１】
複素数平面上の原点以外の相異なる２点Ｐ（α），Ｑ（β）を考える。
Ｐ（α），Ｑ（β）を通る直線をｍ，原点から直線ｍに引いた垂線と直線ｍとの交点をＲ（ｗ）とする。
（ｗは点Ｒを表す複素数である）
このとき、
「ｗ＝αβであるための必要十分条件は，Ｐ（α），Ｑ（β）が中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にあることである。」
を示せ。
（2000年：東京大学）

【注意】
以下の解答例は、上記の公式の適用例とするために、このページに記載します。
この問題を自力で解きたい人は、以下を見ずに自力で問題を解いた後で、このページに戻って来てください。

【解答例】
原点Ｏから直線ｍへ下した垂線の足Ｒの複素数ｗは、
垂線の足までの複素数のベクトルの公式によって、
以下の式で表せる。
（解答には、ｗがこの式で表される根拠をもう少し詳しく書いてください）
そのため、ｗ＝αβの場合に以下の式が成り立つ。

（ここで、θとΦは、上記の公式によって導入した実数のパラメータです。）
この式によって、βは、中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にある。

　同様にして、αも、中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にある。

 
　この解答の続き：

逆に、「αとβが、中心Ａ(1/2)，半径（1/2）の円周上にある場合にｗ＝αβが成り立つ」事は、

各自で証明してください。

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