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2022年6月11日土曜日

因数分解のたすき掛けの方法

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▷xの2乗の係数が1でない(例4の別解)
▷xの2乗の係数が1でない2次関数の因数分解

【問題1】 

以下の式を因数分解する:


この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。

上の図の右端の列の(3x)と(4x)を足すと、最初の式

のxの1次の項(7x)になります。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。

(例1)以下のように因数分解します。

〘係数(定数)を積に分割するコツ(その1)〙2つの項の和を-17にするのが目標。-17が2の倍数ではないので和を求める各項は、両者が一緒に2の倍数にはならない。
そのため、2次式の定数(ー60)を積に分割する際に、2の倍数と2の倍数との積にはしない。例えば、(-10)×(6)という積に分割しない。(ー30)×(2)という積に分割しない。

(例2)以下のように因数分解します。

〘係数(定数)を積に分割するコツ(その2)〙2つの項の和を9にするのが目標。9が3の倍数なので和を求める2つの項は、両者が一緒に3の倍数である。
そのため、2次式の定数(18)を積に分割するとき、両者が一緒に3の倍数である場合:
18=3×6
だけが有効な分割である。

(例3)以下のように因数分解します。

2つの項の和を15にするのが目標。15が3の倍数なので和を求める2つの項は、両者が一緒に3の倍数である。
そのため、2次式の定数(18)を積に分割するとき、両者が一緒に3の倍数である場合:
18=3×6
だけが有効な分割である。

〘積に分割した数を嚙み合わせるコツ〙この因数分解をする際に、かけて18の定数になる組合せは3と6。かけて2になる係数の組合せは1と2。両者の嚙み合わせをチェックするとき、以下の図のような(嚙み合わせのたすき掛け位置の数同士に公約数がある)ものはチェックしないで良い。

もし、1つのカッコでくくられる2項に公約数がある場合には、因数分解をする前に、以下のように式を変形して公約数をくくり出した式を因数分解するようにしている。

公約数をくくり出した式を因数の積に分けた各因数の中の数には(既にくくり出された)公約数が無いから、噛み合わせのたすき掛けの位置の数同士には公約数が無いからである。

(例4)以下のように因数分解します。

2つの項の和を-67にするのが目標。-67が2の倍数ではないので和を求める2つの項は、両者が一緒に2の倍数にはならない。両者が一緒に3の倍数にもならない。
そのため、2次式の定数(180)を積に分割する際に、2の倍数同士の積にはしない。3の倍数同士の積にもしない。
180=(-20)×(-9),  
180=(-45)×(-4),
という2つの分割のみが有効である。

〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
 xの二乗の係数の6の積への分割については、
6=(1)×(6)
6=(2)×(3)
という2つの分割のみが有効である。
 係数6=(2)×(3)という積の分割と、定数180=(-20)×(ー9)という積の分割を噛み合わせるときに、たすき掛けの位置の数同士に公約数が生じないように注意して嚙合わせる。
6=(2)×(3)の順の積の分割に、180=(-20)×(-9)の順の積の分割を嚙み合わせるのが良い。
6=(2)×(3)の順の積の分割に、180=(-9)×(-20)の順の積の分割を嚙み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の2や3が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。

《例4の、たすき掛けの手順の別解》
 例4の上記の表において、xの係数の-67を足して求めるための上記の表の真ん中の2つ数、-40と-27との積は必ず、xの2乗の係数の6と、定数項180との積(6×180)に等しい。

 そのため、上図の表のように、以下の手順で計算する。
(第1の処理)
 その積(6×180)を、=(-40)×(-27)という積に分割して、足してー67になる積の分割を求める。
▷(ただし、足してー67にする積の分割は、その和がー67のときは、ともに2の倍数にもならず3の倍数にもならないので、積の分割の一方の数を27の倍数にしてもう一方の数が3の倍数にならないようにして、数の選定作業を節約する)。
そのように積を分割した2つの数(ー40)と(-27)を、上図のたすき掛けの計算表の真ん中に書き込む。
(第2の処理)
 表の真ん中のその2つの数を、 xの2乗の係数6の因数と、定数項180の因数と、の積であらわす。
すなわち、
ー40=2×(-20)、
とする式の右辺の2に、xの2乗の係数(6)の因数2を用い、右辺の(ー20)に、定数項(180)の因数(ー20)を用いる。
また、
ー27=3×(-9)
とする式の右辺の3に、xの2乗の係数(6)の残りの因数3を用い、右辺の(-9)に、定数項(180)の残りの因数(-9)を用いる。
その因数の嚙み合わせをたすき掛けして因数分解の式を完成させる。

(例5)以下のように因数分解します。

〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
係数(3a)=(3)×(a)の順の積の分割に、定数(-2a)=(2)×(-a)の順の積の分割を噛み合わせるのが良い。
係数(3a)=(3)×(a)の順の積の分割に、定数(-2a)=(-a)×(2)の順の積の分割を噛み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の(a)が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。

(例6)以下のように因数分解します。


(例7)以下のように因数分解します。

2つの項の和を89にするのが目標。
項の和が89になるには、各項が一緒に2の倍数にはならない。各項が一緒に5の倍数にはならない。そのため、用いることができるのは:
かけて75になる組み合わせは、1と75、3と25の2つだけ、
かけて164になる組み合わせは、1と164、4と41の2つだけです。
その組合せの中から、2項の和がちょうど89になる組合せを選ぶだけです。

扱う数が大きな数というだけで、通常のたすき掛けの問題を解くのと同じようにして解けました。

《xの2乗の係数が1でない2次関数の因数分解》
《例7の別解》例4の別解と同様な解き方

xの2乗の係数の75と、定数項(-164)との積を、2つの数の積に分解して、その2つの数の和がxの係数の89になるようにする。
▷積に分解した数の和が89になるには、各数が一緒に2の倍数にはならない。各数が一緒に5の倍数にはならない。
そうなる数の組み合わせは、123と(-100)、164と(-75)、1025と(ー12)、などの8組しかない。そのうち、2つの数の和がちょうど89になる組合せは、164と(-75)です。
この組合せが求められたので、75の積への分割の2つの数と、(-164)の積への分割の2つの数と、を嚙合わせて164と(-75)が得られるように各項の積の分割を定める。

(例8)例4の別解と同様な因数分解方法

xの2乗の係数の12と、定数項(-5)との積を、2つの数の積に分解して、
その2つの数の和がxの係数の(-4)になるのが目標。
▷目標の(-4)が2の倍数なので、積に分解した2つの数の和が2の倍数の目標になるには、その2つの数が一緒に2の倍数になる。
 そうなる2つの数の組合せは、2と(-30)、6と(-10)、の2組しかない。そのうち、2つの数の和がちょうど(-4)になるのは、6と(-10)の場合である。
 この2つの数(6と(-10))が求められたので、
この2つの数を、xの2乗の係数の12の因数と、定数項(-5)の因数と、の積であらわす。
すなわち、
6=6×1、
とする式の右辺の6に、xの2乗の係数(12)の因数6を用い、右辺の1に、定数項(-5)の因数1を用いる。
また、
ー10=2×(-5)
とする式の右辺の2に、xの2乗の係数(12)の残りの因数2を用い、右辺の(-5)に、定数項(-5)の残りの因数(-5)を用いる。
そのように、それらの因数を分割して嚙合わせて目標の6と(-10)を得る。

その因数の噛み合わせをたすき掛けして、
(6x-5)(2x+1)
という因数分解の式が求まる。

(例9)例4の別解と同様な因数分解方法

xに関する定数項(3(y-1)(y-2))と、
xの2乗の項の係数の(2)との積(6(y-1)(y-2))を計算する。
そして、その数を、2つの数の積に分解する。
その2つの数の和が、
(目標にする)、xの1次の項の係数(5y-8)
になるようにする。

その2つの数は、
2(y-1)=2y-2と、
3(y-2)=3y-6と
が良い。
その2つの数の、
2(y-1)と、
3(y-2)と
を、
xの2乗の項の係数(2)の因数と、定数項(3(y-2)(y-1))の因数と、
の積であらわす。

(1)すなわち、1つ目の数を:
2(y-1)=2×(y-1)
という式で、xの2乗の項の係数(2)の因数(2)と、定数項(3(y-2)(y-1))の因数(y-1)の積にする。
(2)また、2つ目の数を:
3(y-2)=1×3(y-2)、
という式で、xの2乗の項の係数(2)の残りの因数(1)と、定数項(3(y-2)(y-1))の残りの因数(3(y-2))の積にする。
(3)その因数の嚙み合わせをたすき掛けして因数分解の式:
f=(2x+3(y-2))(x+(y-1))
を完成させる。

(例10)たすき掛けでは因数分解できない式の判定方法

xの2乗の係数の(1)と、定数項(96)との積の(96)を、2つの数の積に分解して、
その2つの数の和がxの係数の(36)になるのが目標。
▷目標の(36)が2の倍数なので、積に分解した2つの数の和が2の倍数の目標になるには、その2つの数が一緒に2の倍数になる必要がある。また、目標の(36)が3の倍数なので、積に分解した2つの数の和が3の倍数になるには、その2つの数が一緒に3の倍数になる必要がある。
 しかし、(96)を、2つの3の倍数の数の積に分解することが不可能である。そのため、この式は、たすき掛けでは因数分解できない。
 この式の因数分解は、平方完成の方法で因数分解するしかない。

(例4の因数分解の、平方完成による方法)



(例11)以下の式の因数分解は、たすき掛けでは因数分解できない。そのため、この式を因数分解するには、根号を使った式に因数分解する必要がある。|a|≦1の場合には、以下の式に因数分解できる。


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2022年6月8日水曜日

(各人が区別された)6人をA,B,Cの3組に分ける組分けの数

 【問題1】
 (各人が区別された)3人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。

【解答】
(1)先ず、(各人が区別された)3人を(0人の組があっても良い)A,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、

通りある。
すなわち、3人をA,B,Cの3組に入れる事象の連鎖の糸の総数が27本ある。

(2)次に、この27個の事象の連鎖の糸を、A組にm人、B組にn人、C組にt人という組の人数の事象の連鎖の種類で分類した枝に束ねる。すなわち、組の人数の事象の連鎖の枝毎に、対応する事象の連鎖の糸を割り当てて編集した以下の樹形図を作成する。


この樹形図から、組み分け人数の枝のバラエティの数(組の人数の事象の連鎖の枝の数)は、10通りあることがわかる。(その各枝は、上式の各項に対応している)

 しかし、各々の組の人数の事象の連鎖の枝に対応する人の組み合わせの数は、以下に示す通りに、異なっている。
(2-1)3人を1つに組に入れる場合は、組分けの人数による組分けのバラエティの数は、その3人をどの組 に入れるかの3つがあり、3つの枝に分岐する。

 その1つの枝毎の、その1つの組に入る人のバラエティの数は、1つだけである。
(2-2)3人を2つの組に(各組に1人以上)入れる場合の、組分けの人数による組分けのバラエティの枝は、2人を入れる第1の組を選ぶバラエティの数の3と、その他の2つの組から、1人を入れる第2の組を選ぶバラエティの数の2、との積の、6つの、組分けの人数による組分けのバラエティの枝に分岐する。

 その1つの枝毎の、その2つの組に(各人を区別した)3人を入れるバラエティの数は、1人だけ入れた第2の組に、aかbかcかのどの人を入れるかのバラエティの数であり、3である。
 その6つの枝の数とバラエティの数3の積の値は:上図の式(x+y+z)^3を用いると、3人を各組に1人以上入れて2つの組に入れる組分けの数である。その組分けの数の値は、式の各項に対応する6つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との2通りに計算できる。


(2-3)3人を3つの組に(各組に1人ずつ)入れる場合の枝は、組の人数に偏りが無いので、組分けの人数による組分けのバラエティの数が1つだけであり、1つの枝に分岐する。

 その1つの枝での、その各組にどの人を入れるかのバラエティの数は、組Aにどの人を入れるかのバラエティの数3と、組Bに残りの2人のうちのどの1人を入れるかのバラエティの数2、との積であり、6である。
(3)なお、各枝毎の、どの人によって各組を編成するかの組編成の組み合わせの数は、上図に記載した式(x+y+z)^3を展開した各項の係数に対応する関係がある。

(4)上図の式(x+y+z)^3を用いると、3人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式の項に対応する1つの枝に関して、以下の式の左辺と右辺との2通りに計算できる。

(解答おわり)

【問題2】
 (各人が区別された)4人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。

【解答】
 各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^4を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。

 そして、(区別された)4人を1つの組は0人にして、それ以外の2つの組の各々に1人以上入れる組分けの数の値は、3つの変数x,y,zのうちの2つの変数の積だけを含む9種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答おわり)

【問題2b】
 (各人が区別された)4人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組合せの数を求めよ。

【解答1】
 4人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、上の問題2で得たxとyとzの式のxyzを含む項に係る枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答1おわり)

【解答2】
 上の解答1とは異なる考え方で解きます。
(4人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組合せの数)=
=(A組に2人、B組に1人、C組に1人入れる組合せの数)×(2人の組をA組以外に変えるバラエティの数)
=(A組に2人、B組に1人、C組に1人入れる組合せの数)×3,

(A組に2人、B組に1人、C組に1人入れる組合せの数)は以下の式で計算できる。

よって、(4人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組合せの数)=

(解答2おわり)

【問題3】
 (各人が区別された)5人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。

【解答】
 各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^5を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。

 5人を(2つの組を0人にして)1つの組だけに入れる組分けの数は、3つの変数x,y,zのうちの1つの変数だけで作られる3種の項の数であり、3つある。
 5人を1つの組は0人にし、それ以外の2つの組の各々に1人以上入れる組分けの数は、3つの変数x,y,zのうちの2つの変数の積だけで作られる12種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。

 5人をどの組にも1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式のxyzを含む6種の項に対応する枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答おわり)

【問題4】
 (各人が区別された)5人を、A組に2人、B組に2人、C組に1人に分ける、分け方の組分けの数を求めよ。

【解答】
 組が名前で区別されている場合の組分けの数は、
5人を順番に並べ、その並べた順に、2人、2人、1人のA,B,C組に分け、
A組の2人は、同じ2人の順番の並び替えのバラエティの2!で割り算し、
B組の2人は、同じ2人の順番の並び替えのバラエティの2!で割り算し、
5!/(2!*2!) で計算できる。
(解答おわり)

【問題5】
 (各人が区別された)5人を、(区別されない)3組に2人、2人、1人に分ける、分け方の組分けの数を求めよ。

【解答】
 ここで、A組、B組は、同じ2人の人数の組なので、
組を組名で区別しないことにすると、
ある4人をA組とB組に組み分けした組み分けの数を、A組とB組の(2つの組の)名前を付け替えるバラエティの数2!で割り算する必要がある。
 一方で、「組を区別(名前で)しない」と言っても、 2人の組と1人の組(C組)は人数が違うので、明らかに区別できる。
 よって、A組とB組との2つの組の名前を付け替えるバラエティの数2!で割り算するだけでよい。

 そのため、
(区別されない)3組に2人、2人、1人に分ける組分けの数は、
(各人が区別された)5人を、A組に2人、B組に2人、C組に1人に分ける、分け方の組分けの数を、
A組とB組との2つの組の名前を付け替えるバラエティの数2!で割り算する。
すなわち、
{5!/(2!*2!)}/2!
で計算できる。
(解答おわり)

【問題6】
 (各人が区別された)5人を(0人の組があっても良い)A,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。

【解答】
(各人が区別された)5人を(0人の組があっても良い)A,B,Cの3組に分ける組分けの総数は、

通りある。
(解答おわり)

【問題7】
 (各人が区別された)5人を(0人の組があっても良く)(区別されない)3組に分ける組分けの数を求めよ。

【解1】
 (各人が区別された)5人を(0人の組があっても良く)(区別されない)3組に分ける組分けの数は、
「組に区別なく人数指定なく(各人を区別できる)人を組分けする数と組分け問題の本質」
のページの【問1】の解き方で解くことができる。
「(1)(各人を区別できる人を)A組1人以上、B組1人以上、C組1人以上の場合での、ある1つの組分けは、
組の名前を入れ替えると、3!の異なる組分けができる。
(2)A組0人、B組1人以上、C組1人以上の場合での、ある1つの組分けも、
組の名前を入れ替えると、3・2=3!の異なる組分けができる。
(3)しかし、A組0人B組0人C組5人の場合の、1つの組分けは、
組の名前を入れ替えても、3つの組分けができるだけである。」
そのため、組の名前を入れ替えることで出来る複数の組分けは1つの組分けであるものとすることで、組の区別なく3つの組に分ける組み合わせの数は、
以下の数で計算できる。

(解1おわり)

《補足》
 ここで、A組0人B組0人C組5人の組分けだけが、組の名前を入れ替えて3倍になるバラエティがある。それ以外の組分けは、組の名前を入れ替えると6倍になるバラエティがある。(注意)組み分けをxとyとzの積の項であらわした式では、その6つのバラエティが、あたかも3つしかないように見え、6つのバラエティが隠されている。

この組分けから、組を区別しない組分けを抽出すると以下の組分けになる。


【問題8】
 (区別された)6人をA,B,Cの3組に分ける、分け方の分類毎の組分けの数を求めよ。

【解答】
 各組を編成するかの組編成は、下図に記載した式(x+y+z)^6を展開した各項と、その係数に対応させて把握できる。

 (区別された)6人を、ある組は0人にし、それ以外の2つの組には1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式のその項に対応する15個の枝に関して、以下の式で計算できる。

 また、6人を各組に1人以上入れてA,B,Cの3組に分ける組分けの数は、式のその項に対応する10個の枝に関して、以下の式で計算できる。

(解答おわり)

(補足)
 以上で与えた一連の等式を以下で導き出しておく。



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