【問題１】
以下の式を因数分解する：
この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。
上の図の右端の列の(３x)と(４x)を足すと、最初の式
のｘの１次の項（7x）になります。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。
（例１）以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を積に分割するコツ（その１）〙２つの項の和を－１７にするのが目標。－１７が２の倍数ではないので和を求める各項は、両者が一緒に２の倍数にはならない。
そのため、２次式の定数（ー６０）を積に分割する際に、２の倍数と２の倍数との積にはしない。例えば、（－１０）×（６）という積に分割しない。（ー３０）×（２）という積に分割しない。
（例２）以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を積に分割するコツ（その２）〙２つの項の和を９にするのが目標。９が３の倍数なので和を求める２つの項は、両者が一緒に３の倍数である。
そのため、２次式の定数（１８）を積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。
（例３）以下のように因数分解します。
２つの項の和を１５にするのが目標。１５が３の倍数なので和を求める２つの項は、両者が一緒に３の倍数である。
そのため、２次式の定数（１８）を積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。
〘積に分割した数を嚙み合わせるコツ〙この因数分解をする際に、かけて１８の定数になる組合せは３と６。かけて２になる係数の組合せは１と２。両者の嚙み合わせをチェックするとき、以下の図のような（嚙み合わせのたすき掛け位置の数同士に公約数がある）ものはチェックしないで良い。
もし、１つのカッコでくくられる２項に公約数がある場合には、因数分解をする前に、以下のように式を変形して公約数をくくり出した式を因数分解するようにしている。
公約数をくくり出した式を因数の積に分けた各因数の中の数には（既にくくり出された）公約数が無いから、噛み合わせのたすき掛けの位置の数同士には公約数が無いからである。
（例４）以下のように因数分解します。
２つの項の和を－６７にするのが目標。－６７が２の倍数ではないので和を求める２つの項は、両者が一緒に２の倍数にはならない。両者が一緒に３の倍数にもならない。
そのため、２次式の定数（１８０）を積に分割する際に、２の倍数同士の積にはしない。３の倍数同士の積にもしない。
１８０＝（－２０）×（－９），
１８０＝（－４５）×（－４），
という２つの分割のみが有効である。
〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
ｘの二乗の係数の６の積への分割については、
６＝（１）×（６）
６＝（２）×（３）
という２つの分割のみが有効である。
係数６＝（２）×（３）という積の分割と、定数１８０＝（－２０）×（ー９）という積の分割を噛み合わせるときに、たすき掛けの位置の数同士に公約数が生じないように注意して嚙合わせる。
６＝（２）×（３）の順の積の分割に、１８０＝（－２０）×（－９）の順の積の分割を嚙み合わせるのが良い。
６＝（２）×（３）の順の積の分割に、１８０＝（－９）×（－２０）の順の積の分割を嚙み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の２や３が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。
《例４の、たすき掛けの手順の別解》
例４の上記の表において、ｘの係数の－６７を足して求めるための上記の表の真ん中の２つ数、－４０と－２７との積は必ず、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(６×１８０)に等しい。
そのため、上図の表のように、以下の手順で計算する。
（第１の処理）
その積(６×１８０)を、＝(-40)×(-27)という積に分割して、足してー６７になる積の分割を求める。
▷（ただし、足してー６７にする積の分割は、その和がー６７のときは、ともに２の倍数にもならず３の倍数にもならないので、積の分割の一方の数を２７の倍数にしてもう一方の数が３の倍数にならないようにして、数の選定作業を節約する）。
そのように積を分割した２つの数（ー４０）と（－２７）を、上図のたすき掛けの計算表の真ん中に書き込む。
（第２の処理）
表の真ん中がそれらの２つの数になるように、定数の１８０＝(-20)×(-9)を分割し、ｘの２乗の係数の６＝(2)×(3)を分割し、嚙み合わせて上記の表に書き込む。この手順で上記のたすき掛けの表を完成させても良い。
（例５）以下のように因数分解します。
〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
係数（３ａ）＝（３）×（ａ）の順の積の分割に、定数（－２ａ）＝（２）×（－ａ）の順の積の分割を噛み合わせるのが良い。
係数（３ａ）＝（３）×（ａ）の順の積の分割に、定数（－２ａ）＝（－ａ）×（２）の順の積の分割を噛み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の（ａ）が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。
（例６）以下のように因数分解します。
（例７）以下のように因数分解します。
２つの項の和を８９にするのが目標。
項の和が８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、用いることができるのは：
かけて75になる組み合わせは、1と75、3と25の２つだけ、
かけて164になる組み合わせは、1と164、4と41の２つだけです。
その組合せの中から、２項の和がちょうど89になる組合せを選ぶだけです。
扱う数が大きな数というだけで、通常のたすき掛けの問題を解くのと同じようにして解けました。
《例７の別解》例４の別解と同様な解き方
ｘの２乗の係数の７５と、定数項（－１６４）との積を、２つの数の積に分解して、その２つの数の和がｘの係数の８９になるようにする。
▷積に分解した数の和が８９になるには、各数が一緒に２の倍数にはならない。各数が一緒に５の倍数にはならない。
そうなる数の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組しかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
この組合せが求められたので、７５の積への分割の２つの数と、（－１６４）の積への分割の２つの数と、を嚙合わせて１６４と（－７５）が得られるように各項の積の分割を定める。
（例８）例４の別解と同様な解き方
ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（－４）になるのが目標。
▷目標の（－４）が２の倍数なので、積に分解した２つの数の和が２の倍数の目標になるには、その２つの数が一緒に２の倍数になる。
そうなる２つの数の組合せは、２と（－３０）、６と（－１０）、の２組しかない。そのうち、２つの数の和がちょうど（－４）になるのは、６と（－１０）の場合である。
この２つの数（６と（－１０））が求められたので、
この２つの数を、ｘの２乗の係数の１２の因数と、定数項（－５）の因数と、の積であらわす。
すなわち、
６＝６×１、
とする式の右辺の６に、ｘの２乗の係数（１２）の因数６を用い、右辺の１に、定数項（－５）の因数１を用いる。
また、
ー１０＝２×（－５）
とする式の右辺の２に、ｘの２乗の係数（１２）の残りの因数２を用い、右辺の（－５）に、定数項（－５）の残りの因数（－５）を用いる。
そのように、それらの因数を分割して嚙合わせて目標の６と（－１０）を得る。
その因数の噛み合わせをたすき掛けして、
(６ｘ－５)(２ｘ＋１)
という因数分解の式が求まる。
（例９）以下の数式は因数分解できない
（例４の因数分解の、たすき掛け以外の方法）
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以下の式を因数分解する：
この式は、以下のたすき掛けの方法で因数分解できます。
上の図の右端の列の(３x)と(４x)を足すと、最初の式
のｘの１次の項（7x）になります。
こうして、
f=(2x+3)(x+2),
に因数分解できました。
（例１）以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を積に分割するコツ（その１）〙２つの項の和を－１７にするのが目標。－１７が２の倍数ではないので和を求める各項は、両者が一緒に２の倍数にはならない。
そのため、２次式の定数（ー６０）を積に分割する際に、２の倍数と２の倍数との積にはしない。例えば、（－１０）×（６）という積に分割しない。（ー３０）×（２）という積に分割しない。
（例２）以下のように因数分解します。
〘係数（定数）を積に分割するコツ（その２）〙２つの項の和を９にするのが目標。９が３の倍数なので和を求める２つの項は、両者が一緒に３の倍数である。
そのため、２次式の定数（１８）を積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。
（例３）以下のように因数分解します。
２つの項の和を１５にするのが目標。１５が３の倍数なので和を求める２つの項は、両者が一緒に３の倍数である。
そのため、２次式の定数（１８）を積に分割するとき、両者が一緒に３の倍数である場合：
１８＝３×６
だけが有効な分割である。
〘積に分割した数を嚙み合わせるコツ〙この因数分解をする際に、かけて１８の定数になる組合せは３と６。かけて２になる係数の組合せは１と２。両者の嚙み合わせをチェックするとき、以下の図のような（嚙み合わせのたすき掛け位置の数同士に公約数がある）ものはチェックしないで良い。
もし、１つのカッコでくくられる２項に公約数がある場合には、因数分解をする前に、以下のように式を変形して公約数をくくり出した式を因数分解するようにしている。
公約数をくくり出した式を因数の積に分けた各因数の中の数には（既にくくり出された）公約数が無いから、噛み合わせのたすき掛けの位置の数同士には公約数が無いからである。
（例４）以下のように因数分解します。
２つの項の和を－６７にするのが目標。－６７が２の倍数ではないので和を求める２つの項は、両者が一緒に２の倍数にはならない。両者が一緒に３の倍数にもならない。
そのため、２次式の定数（１８０）を積に分割する際に、２の倍数同士の積にはしない。３の倍数同士の積にもしない。
１８０＝（－２０）×（－９），
１８０＝（－４５）×（－４），
という２つの分割のみが有効である。
〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
ｘの二乗の係数の６の積への分割については、
６＝（１）×（６）
６＝（２）×（３）
という２つの分割のみが有効である。
係数６＝（２）×（３）という積の分割と、定数１８０＝（－２０）×（ー９）という積の分割を噛み合わせるときに、たすき掛けの位置の数同士に公約数が生じないように注意して嚙合わせる。
６＝（２）×（３）の順の積の分割に、１８０＝（－２０）×（－９）の順の積の分割を嚙み合わせるのが良い。
６＝（２）×（３）の順の積の分割に、１８０＝（－９）×（－２０）の順の積の分割を嚙み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の２や３が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。
《例４の、たすき掛けの手順の別解》
例４の上記の表において、ｘの係数の－６７を足して求めるための上記の表の真ん中の２つ数、－４０と－２７との積は必ず、ｘの２乗の係数の６と、定数項１８０との積(６×１８０)に等しい。
そのため、上図の表のように、以下の手順で計算する。
（第１の処理）
その積(６×１８０)を、＝(-40)×(-27)という積に分割して、足してー６７になる積の分割を求める。
▷（ただし、足してー６７にする積の分割は、その和がー６７のときは、ともに２の倍数にもならず３の倍数にもならないので、積の分割の一方の数を２７の倍数にしてもう一方の数が３の倍数にならないようにして、数の選定作業を節約する）。
そのように積を分割した２つの数（ー４０）と（－２７）を、上図のたすき掛けの計算表の真ん中に書き込む。
（第２の処理）
表の真ん中がそれらの２つの数になるように、定数の１８０＝(-20)×(-9)を分割し、ｘの２乗の係数の６＝(2)×(3)を分割し、嚙み合わせて上記の表に書き込む。この手順で上記のたすき掛けの表を完成させても良い。
（例５）以下のように因数分解します。
〔分割した数の噛み合わせに注意する〕
係数（３ａ）＝（３）×（ａ）の順の積の分割に、定数（－２ａ）＝（２）×（－ａ）の順の積の分割を噛み合わせるのが良い。
係数（３ａ）＝（３）×（ａ）の順の積の分割に、定数（－２ａ）＝（－ａ）×（２）の順の積の分割を噛み合わせると、たすき掛けの位置の数同士に、公約数の（ａ）が表れてしまうので、その順の積の分割は噛み合わせない。
（例６）以下のように因数分解します。
（例７）以下のように因数分解します。
２つの項の和を８９にするのが目標。
項の和が８９になるには、各項が一緒に２の倍数にはならない。各項が一緒に５の倍数にはならない。そのため、用いることができるのは：
かけて75になる組み合わせは、1と75、3と25の２つだけ、
かけて164になる組み合わせは、1と164、4と41の２つだけです。
その組合せの中から、２項の和がちょうど89になる組合せを選ぶだけです。
扱う数が大きな数というだけで、通常のたすき掛けの問題を解くのと同じようにして解けました。
《例７の別解》例４の別解と同様な解き方
ｘの２乗の係数の７５と、定数項（－１６４）との積を、２つの数の積に分解して、その２つの数の和がｘの係数の８９になるようにする。
▷積に分解した数の和が８９になるには、各数が一緒に２の倍数にはならない。各数が一緒に５の倍数にはならない。
そうなる数の組み合わせは、１２３と（－１００）、１６４と（－７５）、１０２５と（ー１２）、などの８組しかない。そのうち、２つの数の和がちょうど８９になる組合せは、１６４と（－７５）です。
この組合せが求められたので、７５の積への分割の２つの数と、（－１６４）の積への分割の２つの数と、を嚙合わせて１６４と（－７５）が得られるように各項の積の分割を定める。
（例８）例４の別解と同様な解き方
ｘの２乗の係数の１２と、定数項（－５）との積を、２つの数の積に分解して、
その２つの数の和がｘの係数の（－４）になるのが目標。
▷目標の（－４）が２の倍数なので、積に分解した２つの数の和が２の倍数の目標になるには、その２つの数が一緒に２の倍数になる。
そうなる２つの数の組合せは、２と（－３０）、６と（－１０）、の２組しかない。そのうち、２つの数の和がちょうど（－４）になるのは、６と（－１０）の場合である。
この２つの数（６と（－１０））が求められたので、
この２つの数を、ｘの２乗の係数の１２の因数と、定数項（－５）の因数と、の積であらわす。
すなわち、
６＝６×１、
とする式の右辺の６に、ｘの２乗の係数（１２）の因数６を用い、右辺の１に、定数項（－５）の因数１を用いる。
また、
ー１０＝２×（－５）
とする式の右辺の２に、ｘの２乗の係数（１２）の残りの因数２を用い、右辺の（－５）に、定数項（－５）の残りの因数（－５）を用いる。
そのように、それらの因数を分割して嚙合わせて目標の６と（－１０）を得る。
その因数の噛み合わせをたすき掛けして、
(６ｘ－５)(２ｘ＋１)
という因数分解の式が求まる。
（例９）以下の数式は因数分解できない
（例４の因数分解の、たすき掛け以外の方法）
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