２次元ベクトルの分解の公式の要約

【課題】 
　以下の２次元ベクトルｚと、
単位ベクトルａとｂと、それらのベクトルを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖがあるとき：

ベクトルｚをベクトルａとｂであらわす公式を導き出す。
（課題おわり）

（補足）
ベクトルａを反時計回りに９０度回転したベクトルａ_ｖを、
更に反時計回りに９０度回転したベクトルは－ａになる。
そのため、ベクトルの内積

を、両ベクトルを一緒に反時計回りに９０度回転して、その後で両者を内積した値は同じ値になる。
その関係は、以下の式であらわされる。


一方で、ベクトルａとベクトルｂと、それらを左回りに９０度回転したベクトルａ_ｖとベクトルｂ_ｖとの間の
以下の式の内積は、
全ベクトルを左回りに９０°回転する操作を繰り返すと、
以下の関係が成り立つ事が分かる。


【解法その１】
　下図に、ベクトルａとｂを書き、更に、そのベクトルを反時計回りに９０度回転した単位ベクトルａ_ｖと単位ベクトルｂ_ｖを書き加えて考える。すると、以下の式の関係があることがわかる。

ベクトルＯＺは、上図の式、又は、以下の式６で、ベクトルａとｂであらわせる。
式６：

この式６がベクトルの分解の公式である。
（解答おわり）

　ただし、この式６の分母には、以下の関係があることに注意。

（補足１）
　この公式は、単位ベクトルａとｂとａ_ｖとｂ_ｖそれぞれを、単独に定数倍した任意の長さのベクトルに置き換えても、それらの定数倍の係数が公式の分母と分子で打ち消し合うので、それらの任意の長さのベクトルに関しても成り立つ公式である。

【図形で説明】
ベクトルＺの分解の公式は、以下の図の様にあらわせる。

この図での三角形OZBの面積の三角形OAB面積の比の大きさのベクトルOA成分を計算している。

（補足）
上の式６の左辺と右辺のベクトルの成分を比較する。

式６の右辺と左辺のベクトルの成分が一致する。
そのため、式６の右辺と左辺は等しい。 
（補足おわり）

【究極の方法】

　経験的に分かって来たことですが、問題を解くためにとても役にたつ公式は、このベクトルの分解の公式等を使うよりも、以下の図の方法の方が優れている。

上図のように、ベクトルａとａvによる直交座標系を導入して、上の式の様に、ベクトルＺをその直交座標系への成分に分解して問題を解く方が、問題を解くのに役に立つ。

リンク：
ベクトルの合成の公式と分解の公式と２元連立方程式の解
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