３次方程式の問題

【問１】
以下の式を証明せよ。



【問２】
以下の式を証明せよ。

以下の式が成り立つことも証明せよ。



《実数の３乗根の解の求め方》

の解の式が簡単な場合は、その解の式は以下の手順で求められる。

上の式(4b)を満足する簡単な値のαがあれば、その値を求める。（たとえばα＝１で式(4b)が成り立つかを確認する）。
その値αが求められれば、以下の値Ｎに関して以下の式が成り立つ。


【問３】
以下の式を証明せよ。


《虚数の３乗根の解の求め方》

の解の式が簡単な場合は、その解の式は以下の手順で求められる。

上の式(5b)を満足する簡単な値のαがあれば、その値を求める。（例えばα＝1/4 で式(5b)が成り立つかを確認する）。
その値αが求められれば、以下の値Ｎに関して以下の式が成り立つ。


【適用例１】

に適用する。

【計算開始】


こうして、αが求まった。
そして、以下の式(6c)の値Ｎを、立方根の中の式に掛け算した式(6d)が成り立つ。


【適用例２】

に適用する。

【計算開始】



こうして、α＝９／４が求まった。
そして、以下の式(7c)の値Ｎを、立方根の中の式に掛け算した式(7d)が成り立つ。

（解答おわり）

【以下の公式を用いる解き方が本命である】

　以下で説明するように、ｘの３次方程式の解ｘが有理数である場合に限り、この３乗根が簡単な解になる。その事実とこの公式とが密接な関係がある。そのため、この公式を用いて３乗根を求めることが望ましい。

《実数の３乗根の解の求め方（その２）》

の解の式は以下の手順で求められる。

この方程式の解のｘの値を使って以下のようにｓとｔが計算できる。
ｓとｔを含む以下のｗの式からｓとｔを求める。


【適用例】

に適用する。

【計算開始】

この３次方程式のｘの解はｘ＝２である。

（解答おわり）

《虚数の３乗根の解の求め方（その２）》

の解の式は以下の手順で求められる。

この方程式の解のｘの値を使って以下のようにｓとｔが計算できる。
ｓとｔを含む以下のｗの式からｓとｔを求める。


【適用例】

に適用する。

【計算開始】

この３次方程式のｘの解はｘ＝８である。

（解答おわり）

リンク： 
カルダノの公式を使った三乗根号(立方根)外し問題の作成
３次方程式の一般解
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