軌跡の計算（９）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】点Ｋ（ｋ_１，ｋ_２）と点Ｐ（Ｘ，Ｙ）との間に、次の関係があるものとする。

（ａとｂは０で無い実数の定数）点Ｋ（ｋ_１，ｋ_２）が直線ｘ＋ｙ－１＝０上を動くとき、点Ｐ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。

（解き方の方針）
先ず、直線の式にＫ（ｋ_１，ｋ_２）を代入した式を書いておく。
ｋ_１＋ｋ_２－１＝０　（式３）

この問題は、以下の方針で計算する。
（方針１）先ず、式１と式２が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（方針２）式１と式２の分子はｋ_１の定数倍とｋ_２の定数倍の和のみであるので、式１と式２を加え合わせて、分子をｋ_１の定数倍にした式（式４）と、分子をｋ_２の定数倍にした式（式５）を計算することができる。そのため、その式５と式６を計算する。
（方針３）（式４）の２乗と（式５）の二乗を加え合わせた式（式６）を作る。式６は、分子が元の分母Ｂ＝（ｋ_１^２＋ｋ_２^２）の定数倍になるので、（式６）＝Ｂ／Ｂ^２＝１／Ｂの定数倍になる。
（方針４）式３の左辺のｋ_１の項に式４を代入し、ｋ_２の項に式５を代入し、定数項に式６の定数倍を代入した（式７）を計算する。その（式７）は、式３の右辺が０であるので０になる。そのため、（式７）では、ｋ_１とｋ_２の分数式であらわされた項が一気に消える。

（解答）
先ず、（方針２）を実行する。
分子からｋ_２を消去してｋ_１を残すために、ａ（式１）＋ｂ（式２）を計算する。

分子からｋ_１を消去してｋ_２を残すために、ｂ（式１）－ａ（式２）を計算する。

（方針３）により、（式４）の二乗と（式５）の二乗を加え合わせる。

この式の左辺＝（ａ^２＋ｂ^２）（Ｘ^２＋Ｙ^２）
よって、

式を（ａ^２＋ｂ^２）で割り算する（ａとｂは０では無い）。

以上で得た式を整理すると、以下の式になる。

（方針４）により、（式３）に（式４）と（式５）と（式６）を代入する。

この式８は、下図のように、中心が（（ａ＋ｂ）／２，（ｂ－ａ）／２）にあり、（０，０）を通り、半径が√（（ａ^２＋ｂ^２）／２）の円である。

ここで、式１と式２から、Ｘ＝０，Ｙ＝０になるためには、
ｋ_１ａ＋ｋ_２ｂ＝０　→　ｋ_１＝－ｋ_２ｂ／ａ
ｋ_１ｂ－ｋ_２ａ＝０　→　ｋ_１＝ｋ_２ａ／ｂ
ｋ_１^２＝－ｋ_２^２
となるので、ｋ_１＝ｋ_２＝０
しかし、ｋ_１＝ｋ_２＝０は、式３であらわす直線上の点では無い。そのため、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）にはならない。

式１と式２を見ると、点Ｋが直線の左右の無限遠方に遠ざかれば、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。

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