軌跡の計算（８）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強
【問１】点Ｐ（Ｘ，Ｙ）が実数の媒介変数ｋと０で無い実数の定数ａ，ｂ，ｃとを用いて次の式であらわされるものとする。
Ｘ＝（ｋａ＋ｃｂ）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式１）
Ｙ＝（ｋｂ－ｃａ）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式２）
（ｋは媒介変数）
媒介変数ｋの値が変化するとき、点Ｐ（Ｘ，Ｙ）はどんな図形を描くか。

（解き方の方針）
この問題は、軌跡（７）で解答したような、媒介変数ｋを用いた２つの直線の交点Ｐの座標ＸとＹを求めた後に、
それらの式からＸとＹの関係式を考える問題です。
以下では、そのような場合に、より素早く問題を解く計算技術を示す。

式１と式２のような式のグループから媒介変数ｋを消去する場合の計算技術として、以下の方針で計算する。
（方針１）先ず、式１と式２が同じ形の分母Ｂを持っていることに注目する。
（方針２）次に、式１の分子と式２の分子を足し算して分子に媒介変数ｋが無い式（１／Ｂ）を求める。
（方針３）分母の要素のｋとｃの成すベクトルＣ（ｋ，ｃ）に関して、式１の分子は、そのベクトルとベクトルＡ（ａ，ｂ）の内積であり、一方、式２の分子は、そのベクトルＣ（ｋ，ｃ）と、ベクトルＡ（ａ，ｂ）に垂直なベクトル（ｂ，－ａ）の内積であることに注目する。
そのような場合には、ベクトルＣとベクトルＡの成す角度をθとすると、式１の分子＝ベクトルＣとベクトルＡの内積は｜ベクトルＣ｜・ｃｏｓθに比例し、式２の分子＝ベクトルＣと、ベクトルＡに垂直なベクトルとの内積は｜ベクトルＣ｜・ｓｉｎθに比例する。
そのため、式１の二乗と式２の二乗を加え合わせるとｓｉｎの二乗とｃｏｓの二乗の和は１になるので式の分子は、｜ベクトルＣ｜^２＝Ｂに比例する。
それは元の分母Ｂの定数倍になり、式全体＝定数・Ｂ／Ｂ^２＝定数／Ｂになる。
（方針４）その式（１／Ｂ）から、（方針２）で求めた（１／Ｂ）と等しい式を引き算することで、媒介変数ｋを含んだ分数式を一気に消去する。

（解答）
先ず、（方針２）を実行する。
分子からｋを消去するために、ｂ（式１）ーａ（式２）を計算する。
ｂＸ－ａＹ＝ｃ（ｂ^２＋ａ^２）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式３）
ここでａ，ｂ，ｃは０では無いので、式３の右辺の分数式は０では無い。

（方針３）により、（式１）の二乗と（式２）の二乗を加え合わせる。
Ｘ^２＋Ｙ^２
＝｛（ｋａ）^２＋（ｃｂ）^２＋（ｋｂ）^２＋（ｃａ）^２｝／（ｋ^２＋ｃ^２）^２
＝（ｋ^２＋ｃ^２）（ａ^２＋ｂ^２）／（ｋ^２＋ｃ^２）^２
Ｘ^２＋Ｙ^２＝（ａ^２＋ｂ^２）／（ｋ^２＋ｃ^２）　（式４）

（方針４）により、（式４）－（式３）／ｃを計算する（ｃは０では無いことに注意）ことで、ｋを含む分数式を一気に消去する。
Ｘ^２＋Ｙ^２－｛（ｂＸ－ａＹ）／ｃ｝＝０
（Ｘ－（ｂ／２ｃ））^２＋（Ｙ＋（ａ／２ｃ））
＝（ｂ／２ｃ）^２＋（ａ／２ｃ）^２　（式５）
この式は、下図のように、中心が（（ｂ／２ｃ），－（ａ／２ｃ））にあり、（０，０）を通り、半径が√（ａ^２＋ｂ^２）／（２ｃ）の円である。

ここで、式１と式２から、Ｘ＝０，Ｙ＝０になるためには、
ｋａ＋ｃｂ＝０　→　ｋ＝－ｃｂ／ａ
ｋｂ－ｃａ＝０　→　ｋ＝ｃａ／ｂ
Ｋ^２＝－ｃ^２
となってしまい、ｃが０で無いので、Ｘ＝０，Ｙ＝０になるための条件が成り立たないことがわかる。そのため、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）にはならない。

式１と式２を見ると、媒介変数ｋが負の無限大か正の無限大になれば、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は（０，０）に近づくが、Ｐ（Ｘ，Ｙ）は決して（０，０）には到達しない。

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