円と直線（極と極線）

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣを結ぶ直線の方程式をもとめよ。

（点Ａあるいはベクトルの座標値を記号であらわすときは、上図の様に、点の名前Ａを引き継いだ記号に添え字を付けた座標記号を使ってください。そうした方が、記号の意味の見通しが良くなるからです）

線分ＤＡの長さをａとする。

接点ＢとＣを結ぶ直線を、点Ａに対する円の極線と呼びます。
一方、線分ＢＣと円の交点ＢとＣから引いた円の接線の交点Ａを、直線ＢＣに対する円の極と呼びます。

（予備知識）
円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

（接点を結び直線ＢＣと直線ＤＡの交点Ｅを考える）

△ＡＢＤは△ＢＥＤに相似だから、
△ＢＥＤの辺ＤＥの長さ＝ＢＤ・（ＤＢ／ＡＤ）＝１／ａ
一方、
ベクトルＤＡに平行な単位ベクトル
＝ベクトルＤＡ／ａ

単位ベクトル（＝ベクトルＤＡ／ａ）に垂直で原点からの距離が（１／ａ）の直線の式は、以下のベクトルの内積の式であらわせる。

よって求める直線（極線）の式は、
ａ_１Ｘ＋ａ_２Ｙ＝１　（式１）

極Ａ（ａ_１，ａ_２）が円上にある場合、式１で与えられる極線は、点Ａで円に接する接線の式になる。

なお、極Ａ（ａ_１，ａ_２）が円の中に入ってしまうと、点Ａから円に接線が引けないハズなので、極線が無いと思うかもしれませんが、式１は、点Ａ（ａ_１，ａ_２）が円の中であっても定義できる。
高校では教えないが、円の中の点も円と複素数の接点で接する。そのため、例えＡが円の中でも、式１であらわされる極線が存在する。極線というのは、そういう広い概念の中で定義される大事な概念の直線です。

リンク：
ベクトル方程式による極と極線
複素数平面での円の極と極線
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