点Ａを通る直線の円への接点をベクトルを利用し図形で解く

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】
　座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。

上の図で線分ＯＡの長さをａとする。

（予備知識）
　受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

（接点を結び直線ＢＣと直線ＯＡの交点Ｅを考える）

ここで、
ａ^２＝ａ_１^２＋ａ_２^２
です。
△ＡＢＯは△ＢＥＯに相似だから、
△ＢＥＯの辺　ＯＥ＝ＢＯ・（ＯＢ／ＡＯ）＝１／ａ

一方、
ベクトルＯＡ（べクトルＡ）に平行な単位ベクトルは、

です。

ベクトルＡに垂直な単位ベクトル ｆ は、ベクトルの成分であらわすと以下の式であらわせ、

です。

線分ＢＥの長さは直角三角形ＢＥＯの斜辺ＢＯと底辺ＯＥから求められ、

です。 
よって、求める接点ＢとＣは、以下のベクトルであらわせる。
位置ベクトル：

接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。
接点Ｂ：

接点Ｃ：

（解答おわり）

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