円と直線の２つの交点から直線の点までの距離の積

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】座標原点を中心とする円（ｘ^２＋ｙ^２＝５）と点Ａ（３，１）を通る傾きｍの直線ｍ（ｘ－３）－（ｙ－１）＝０との交点をＢとＣとすると、ＡＢ・ＡＣの値を求めよ。

 （予備知識）
　受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

（問題をより易しい問題に変換してから解くこと）
　ＡＢ・ＡＣの計算をする前に、図形からわかる限り、問題をかみくだいて易しい問題に変換しておいてから問題を解きます。

　図形の各長さを、とりあえず、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｅと記号化しておき、後でそれらの値を代入するつもりで、
先ずは、ＡＢ・ＡＣをそれらの長さであらわして、問題を簡単にしておく。
すると、
ＡＢ・ＡＣ＝（ｕ－ｔ）（ｕ＋ｔ）＝ｕ^２－ｔ^２
＝（ｅ^２－ｓ^２）－（ｒ^２－ｓ^２）
＝ｅ^２－ｒ^２
問題がここまで易しくなります。

次に、この問題のパラメータｅとｒを代入します。
それらはすぐ分かって、
ＡＢ・ＡＣ＝ｅ^２－ｒ^２＝３^２＋１^２－５＝５

（注意）
　もし、この問題を単純にしてから解こうとしなければ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕ、ｅの値を１つ１つ具体的に解いて計算をするので、計算の手間がかかります。


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