円（半径ｒ）と直線の交点をベクトルで解く

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】座標原点を中心にする半径ｒの円（ｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２）と直線ａｘ＋ｂｙ＝ｃとの交点の座標を求めよ。

（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

円の式は、
ｘ^２＋ｙ^２＝ｒ^２　（式１）
直線の式は、
ａｘ＋ｂｙ＝ｃ　（式２）

（ベクトルで計算する）

上図のように、線分ＡＢの中点をＣとして、
点Ａの座標は、ベクトルＯＣとベクトルＣＡの和で求める。
点Ｂの座標は、ベクトルＯＣとベクトルＣＢ（＝－ベクトルＣＡ）の和で求める。

ベクトルＯＣは、単位ベクトルＨに長さＯＣ＝ｓを掛け算して求める。
ベクトルＣＡは、ベクトルＨに垂直な単位ベクトルＪに長さＣＡ＝ｔを掛け算して求める。

先ず、上図のようにして、ベクトルＯＣを求める。

先ず、直線の（式２）ａｘ＋ｂｙ＝ｃを、式のｘとｙの係数を単位ベクトルＨの値に整える。

式２’の左辺の式は、ベクトル（ｘ，ｙ）と単位ベクトルＨの内積であらわした式である。
その式は、ベクトル（ｘ，ｙ）の単位ベクトルＨの方向への正射影ＯＣの長さをあらわす。
よって、式２’から、
線分ＯＣの長さｓは、

である。
よって、ベクトルＯＣは、

である。
 次に、下図のようにして、ベクトルＣＡを求める。

線分ＣＡの長さｔは、

こうして、ｓとｔが求められ、
ベクトルＯＡ＝ｓ（ベクトルＨ）＋ｔ（ベクトルＪ）
ベクトルＯＢ＝ｓ（ベクトルＨ）－ｔ（ベクトルＪ）
の形で求められ、点Ａと点Ｂの座標が求められた。
この解は、以下の式で、更に具体的に書く。

（なお、複雑な式を新たな記号の式に置き換えるときは、用いる新たな記号は、その値の単位を最小単位にする方が良い。
例えば、記号ａやｂやｒの単位である[長さ]は最小単位であり、一方、記号ｃの単位である[面積]は、[長さ]の２乗であり、最小単位ではない。
以下の式で、新たに使う記号は、Ｒ[長さ]を使うことが望ましい。）

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