半径１の円と直線の交点をベクトルで解く

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】
　座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）と直線ａｘ＋ｂｙ＝１との交点の座標を求めよ。

（予備知識）
　受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

円の式は、ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
直線の式は、ａｘ＋ｂｙ＝１　（式２）
式１と式２を連立して交点Ｂ（ｘ，ｙ）とＣの座標を求める。

（ベクトルを利用した計算技術を使う）
式２は、下の図のベクトルＢとベクトルＡの内積です。

上図のように、ベクトルＡ（ａ，ｂ）に平行な単位ベクトルＨ（ａ，ｂ）／ｆ を考える。
単位ベクトルＨ

である。
式２をベクトルＢと単位ベクトルＨとの内積の式に書き直す。

単位ベクトルＨに垂直な単位ベクトル

を考える。
ベクトルＢをベクトルＨとベクトルＪの合成であらわす。

式１と式２を連立するのみでベクトルＢの方向を定める場合は、ベクトルＢの方向は、単位ベクトルＪとベクトルＢの内積が以下の式６のように負になる方向に向いている場合もありえる。

式４のｘ成分とｙ成分は以下の式になる。

よって、接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。

（点Ｂの座標）
ｓとｔには、式３と式５を代入する。

（点Ｃの座標）
ｓとｔには、式３と式６を代入する。

（解答おわり）

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（５）複素数平面での円と直線の交点