点Ａを通る直線の円への接点をベクトルの内積を利用して解く

佐藤の数学教科書「図形と方程式」編の勉強

【問１】
　座標原点を中心にする半径１の円（ｘ^２＋ｙ^２＝１）に対して、点Ａ（ ａ_１，ａ_２）から引いた２つの接線の円との接点ＢとＣの座標をもとめよ。

上の図で線分ＯＡの長さをａとする。

（予備知識）
受験問題のときは、円と直線の方程式の問題は、図形の方程式をベクトルの式であらわして、図形で考えます。方程式を解いて計算するのは、計算の見通しがあまり良くありません。それに対して、ベクトルを利用した図形の問題を考えることは、計算の見通しを良くするからです。

　しかし、どうしても方程式を使って解くように求められた場合は、以下のようにして解きます。
　ただし、以下の計算では、ベクトルを利用して計算を楽にする計算技術を使います。

（解答）
円の式は、
ｘ^２＋ｙ^２＝１　（式１）
また、ＯＡの長さａには、以下の式２が成り立つ。

（１）
円の接線の式を作る。
接点Ｂの座標をＢ（ ｂ_１，ｂ_２）とし、接点Ｃの座標をＣ（ ｃ_１，ｃ_２）する。
接点Ｂを通る、円の接線の式は、

この接線が点Ａを通るため、以下の式がなりたつ。

（２） 
接点Ｂの座標を円の式（式１）に代入する。

（３） 
式４と式５を連立して接点Ｂ（ ｂ_１，ｂ_２）の座標を求める。

（ベクトルを利用した計算技術を使う）
式４は、下の図のベクトルＢとベクトルＡの内積です。

上図のように、ベクトルＡに平行な単位ベクトルＨを考える。単位ベクトルＨ＝ベクトルＡ／ａである。 

式４をベクトルＢと単位ベクトルＨとの内積の式に書き直す。

単位ベクトルＨに垂直な単位ベクトルＪを考える。すると単位ベクトルＪとベクトルＢの内積の式は以下の式になる。

式４と式５を連立するのみでベクトルＢの方向を定める場合は、ベクトルＢの方向は、単位ベクトルＪとベクトルＢの内積 ｔ が負になる場合もありえる。
よって、Ａを通る接線と円の接点ＢとＣの座標（ｘ，ｙ）は、以下の式であらわせる。

（点Ｂの座標）単位ベクトルＪとベクトルＢの内積 ｔ が正の場合：

（点Ｃの座標）単位ベクトルＪとベクトルＢの内積 ｔ が負の場合：

（解答おわり）

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