第５講３節 和と積の公式 練習問題（７）

佐藤の数学教科書「三角関数」編の勉強

（以下の問題は、「５講１節（２）覚えておく計算方法」の応用問題です。

【問１】
ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２／３，ｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１／２のとき、
ｓｉｎＡｓｉｎＢの値を求めよ。

【解答の心構え】
（１）先ず考えるべきことは、問題をもっとやさしい問題に変換できないかを考えること。
　今回は、求める式がｓｉｎＡｓｉｎＢという単純な式なので、求める式をこれ以上にはやさしくはできないと考える。

（２）次に考えることは、なるべく、加法定理関係の公式を使わないで、正弦定理や余弦定理や、「５講１節（２）覚えておく計算方法」を使った見通しが良い解答が無いかを考える。
　その結果、以下に説明するように、加法定理も、和と積の公式も使わないで答えが得られるが、それが正解です。

（解答の方針）
この問題は、「５講１節（２）覚えておく計算方法」を使うと式が単純になることを思い出して、ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｘとあらわして、ｘの方程式を書いて、ｘを解く。

　先ず、値がわかっているｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１／２と、未知数ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｘとを、「５講１節（２）覚えておく計算方法」にあてはめて、以下の式を書く。
ｃｏｓ^２Ａｃｏｓ^２Ｂ－ｓｉｎ^２Ａｓｉｎ^２Ｂ
＝ｃｏｓ^２Ａｃｏｓ^２Ｂ
＋（ｃｏｓ^２Ａｓｉｎ^２Ｂ－ｃｏｓ^２Ａｓｉｎ^２Ｂ）
－ｓｉｎ^２Ａｓｉｎ^２Ｂ
＝ｃｏｓ^２Ａ－ｓｉｎ^２Ｂ
 次に、値がわかっているｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２／３を式の中に組み込めるように式を変形する。
＝１－ｓｉｎ^２Ａ－ｓｉｎ^２Ｂ
＝１－（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ）^２＋２ｓｉｎＡｓｉｎＢ

以上の計算で、以下の方程式が書けた。
ｃｏｓ^２Ａｃｏｓ^２Ｂ－ｓｉｎ^２Ａｓｉｎ^２Ｂ
＝１－（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ）^２＋２ｓｉｎＡｓｉｎＢ

この方程式の各項を、定数あるいは未知数ｘに置き換えてｘの方程式を書く。
（１／２）^２－ｘ^２＝１－（２／３）^２＋２ｘ
ｘ^２＋２ｘ＋１－（２／３）^２－（１／２）^２＝０
ｘ^２＋２ｘ＋（３６－１６－９）／３６＝０
ｘ^２＋２ｘ＋１１／３６＝０
（ｘ＋（１１／６））（ｘ＋１／６）＝０
ｘ＝－１１／６，　不適（｜ｘ｜＝｜ｓｉｎＡｓｉｎＢ｜≦１であるため）
ｏｒ　ｘ＝－１／６
∴　ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｘ＝－１／６
（答おわり）

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