第３講１節 いろいろな数列の和（１）

佐藤の数学教科書「数列」編の勉強

【問１】
（１×２）＋（２×３）＋（３×４）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）を証明せよ。

【問２】
（１×２×３）＋（２×３×４）＋（３×４×５）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝（１／４）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）を証明せよ。

【問３】
（１×２×３×４）＋（２×３×４×５）＋（３×４×５×６）＋・・・＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）＝（１／５）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）を証明せよ。

（解答）
【問１】
ａ_ｋ＝ｋ（ｋ＋１）の和（ｋ＝１～ｎ）を求める問題です。
こういう和の問題を求める場合は、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせるｂ_ｋの式を考えて解きます。

ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４
＝（ｂ_１－ｂ_２）＋（ｂ_２－ｂ_３）＋（ｂ_３－ｂ_４）＋（ｂ_４－ｂ_５）
＝ｂ_１－ｂ_５
となり、問題が簡単に解けるようになるからです。

－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
を考える。

－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
＝ｋ（ｋ＋１）｛－（ｋ－１）＋（ｋ＋２）｝
＝ｋ（ｋ＋１）｛３｝
となるから、
ｋ（ｋ＋１）＝（１／３）｛－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）＋ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）｝
である。

つまり、
ａ_ｋ＝ｋ（ｋ＋１）の場合において、
ａ_ｋ＝ｂ_ｋ－ｂ_{（ｋ＋１）}
とあらわせる
ｂ_ｋ＝－（ｋ－１）ｋ（ｋ＋１）
という式が得られた。

これを使って、以下の答えが得られる。
ａ_ｋ＝ｋ（ｋ＋１）の和（ｋ＝１～ｎ）は、
（１／３）｛ｂ_１－ｂ_{（ｎ＋１）}｝
＝（１／３）｛－０×１×２＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）｝
＝（１／３）ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
（証明おわり）

問２以降も同様に証明できる。
 
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