「微分・積分」の勉強
（１）なめらかな曲線の接線は、微分を使って見通し良く正しく定義できる。
（２）接点の座標の計算だけで２曲線の接触を判定する場合は、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定する。接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけでの重解の有無で判定してはいけない。
【問１】放物線ｙ＝ｘ２／４と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
【問２】円ｘ２＋（ｙ＋１）２＝１と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
以下で、この２つの問題を考えてみる。
【問１】放物線ｙ＝ｘ２／４と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
（方程式が重根を持つかで解析する方法）
放物線 ｙ＝ｘ２／４ （式１）
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
この２つの図形は、（０，０）で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線 ｙ＝０ （式３）
であることが明らかである。
実際に、式１の放物線と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
０＝ｘ２／４
ｘは０となる重根を持ち、式１の放物線は式３の接線と（０，０）で接する。
次に、式２の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ２＋（０－１）２＝１
ｘ２＝０
ｘは０となる重根を持ち、式２の円は式３の接線と（０，０）で接する。
【この問題で注意する点】
以下では、式３の接線の式が分からないで、この問題１を解こうとする場合に、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定するべきであり、接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけで重解の有無を判定してはいけないことを示す。
式１の放物線と式２の円の方程式を連立させる。
放物線 ｙ＝ｘ２／４ （式１）
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
式１から、
ｘ２＝４ｙ （式４）
式４を式２に代入してｘを消去する。
４ｙ＋（ｙ－１）２＝１
ｙ２＋２ｙ＝０
ｙ（ｙ＋２）＝０ （式５）
ここで、『この式は重根を持たないので、式１の曲線と式２の曲線は接さない？』
と考えるのは、明らかに間違っている。
（問題を解くポイント）
上の接線を求める計算においては、接線の式が多重根の解を持つという判定条件を、ｙ座標の値の解だけで判断したため間違ったのです。
接点（ｘ，ｙ）が多重の解を持つかどうかはｘ座標も確認しないといけないのです。
上の計算で得た式５に式４を代入して、ｘ座標であらわした以下の式６に書き直す。
（ｘ２／４）（ｘ２／４＋２）＝０ （式６）
（ｘ２）（ｘ２＋８）＝０ （式７）
（ｘ２＋８）≠０ なので、
ｘ２＝０ （式８）
が得られる。
式８から、ｘの値が重根の値０を持つことがわかり、
「多重根ができるから接する」と判定することができる。
すなわち、接点（０，０） の ｘ 座標が重根になるのであって、重解の２点のｙ座標は同じになるため、 ｘ 座標が重根になる事を確認しなければならない。
（注意）
ここで、この問題のグラフの ｘ 座標を、
ｔ ≡ ｘ２
で定義されるｔ座標を使い、 ｔ，ｙ 座標系での曲線の接点を求める問題と考えたらどうなるか。
ｔ ≧ ０，
（式１）→ ｙ＝ｔ／４ （式１ｂ）
（式２）→ ｔ＋（ｙ－１）２＝１ （式２ｂ）
この場合は、式２ｂに式１ｂを代入すると、
ｔ＋（（ｔ／４）－１）２＝１，
１６ｔ＋（（ｔ－４）２＝１６，
ｔ２ ＋８ｔ＝０，
ｔ（ｔ＋８）＝０，
ｔ＝０
このように、ｔ座標の解も重根を持たない。
それでは、２つのグラフが接しないという解になってしまう。
一方、与えられた２つのグラフの ｔ，ｙ 座標系に写像した２つのグラフは、下図のようになり、この２つのグラフは接しない。
よって、 ｔ，ｙ 座標系では、この２つの曲線は接しないという結論は正しい。
２つのグラフが接するという事は、 ｘ，ｙ 座標系でのみ成り立つ現象である。変数変換をしたら、グラフが接するかどうかは不明になる。
（結論）
曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
曲線が接する判定条件は、（ｘ，ｙ）の座標点が重解になるかどうかで判定するべきである。
（補足）
以上の計算における曲線の接触の判定の計算は、「この式８が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。
（補足）
《交差している２つのグラフが、変数変換すると互いに接する２つのグラフに変わる例：変数変換をするときの注意点》
上図のように、変数ｔの関数ｆ（ｔ)とｇ（ｔ）との２つの関数値をＹ＝ｆ（ｔ）、及びＹ＝ｇ（ｔ）とする。
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。
変数ｔをこのグラフの関数であらわす媒介変数Xを使うと、
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ２／２
になる。
この様にXY座標平面上では、互いに接する２つのグラフに変換されてしまった。
すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。
ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように変わってしまわないようにするための、行なって良い変数ｔの媒介変数ｘへの変数変換は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。
【問２】円ｘ２＋（ｙ＋１）２＝１と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
（方程式が重根を持つかで解析する方法）
円 ｘ２＋（ｙ＋１）２＝１ （式１）
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
式１の円と式２の円の方程式を連立させる。
式１から式２を引き算する。
４ｙ＝０
ｙ＝０ （式３）
この式３はまだ接線とは限らない。
この式３も重根を持っていないことに注意すること。
--（接点（ｘ，ｙ）が重解を持つ判定の注意）--
座標ｘの解を求める式は、式３を式１又は式２に代入することで得られ、その式は以下の式になる。
ｘ２＝０ （式４）
この式４は、ｘが重解の値０になることを示す。
そのため、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つことが言える。
----------------------------------------------
この式３の直線と式１の円が接すれば、この式３の直線は式２の円とも接し、
式１の円と式２の円が同じ式３の直線との接点で接することになる。
式１の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ２＋（０＋１）２＝１
ｘ２＝０ （式４）
ｘは０となる重根を持ち、式１の円は式３の直線と（０，０）で接する。
同様にして、式２の円も式３の直線と（０，０）で接する。
（解答おわり）
（補足）
以上の計算における曲線の接触の判定の計算も、「この式４が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
また、以下のグラフの接点Ａを求める場合：
このグラフの接線の傾きｋを求める方程式を、重解を利用して得る計算方法の見通しが悪いです。
この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。
リンク：
高校数学の目次
（１）なめらかな曲線の接線は、微分を使って見通し良く正しく定義できる。
（２）接点の座標の計算だけで２曲線の接触を判定する場合は、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定する。接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけでの重解の有無で判定してはいけない。
【問１】放物線ｙ＝ｘ２／４と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
以下で、この２つの問題を考えてみる。
【問１】放物線ｙ＝ｘ２／４と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
放物線 ｙ＝ｘ２／４ （式１）
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
この２つの図形は、（０，０）で接することが図から明らかである。
そして、接線は、
接線 ｙ＝０ （式３）
であることが明らかである。
実際に、式１の放物線と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
０＝ｘ２／４
ｘは０となる重根を持ち、式１の放物線は式３の接線と（０，０）で接する。
次に、式２の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ２＋（０－１）２＝１
ｘ２＝０
ｘは０となる重根を持ち、式２の円は式３の接線と（０，０）で接する。
【この問題で注意する点】
以下では、式３の接線の式が分からないで、この問題１を解こうとする場合に、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つか否かで判定するべきであり、接点（ｘ，ｙ）のｘ座標かｙ座標の一方の座標だけで重解の有無を判定してはいけないことを示す。
式１の放物線と式２の円の方程式を連立させる。
放物線 ｙ＝ｘ２／４ （式１）
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
式１から、
ｘ２＝４ｙ （式４）
式４を式２に代入してｘを消去する。
４ｙ＋（ｙ－１）２＝１
ｙ２＋２ｙ＝０
ｙ（ｙ＋２）＝０ （式５）
ここで、『この式は重根を持たないので、式１の曲線と式２の曲線は接さない？』
と考えるのは、明らかに間違っている。
（問題を解くポイント）
上の接線を求める計算においては、接線の式が多重根の解を持つという判定条件を、ｙ座標の値の解だけで判断したため間違ったのです。
接点（ｘ，ｙ）が多重の解を持つかどうかはｘ座標も確認しないといけないのです。
上の計算で得た式５に式４を代入して、ｘ座標であらわした以下の式６に書き直す。
（ｘ２／４）（ｘ２／４＋２）＝０ （式６）
（ｘ２）（ｘ２＋８）＝０ （式７）
（ｘ２＋８）≠０ なので、
ｘ２＝０ （式８）
が得られる。
式８から、ｘの値が重根の値０を持つことがわかり、
「多重根ができるから接する」と判定することができる。
すなわち、接点（０，０） の ｘ 座標が重根になるのであって、重解の２点のｙ座標は同じになるため、 ｘ 座標が重根になる事を確認しなければならない。
（注意）
ここで、この問題のグラフの ｘ 座標を、
ｔ ≡ ｘ２
で定義されるｔ座標を使い、 ｔ，ｙ 座標系での曲線の接点を求める問題と考えたらどうなるか。
ｔ ≧ ０，
（式１）→ ｙ＝ｔ／４ （式１ｂ）
（式２）→ ｔ＋（ｙ－１）２＝１ （式２ｂ）
この場合は、式２ｂに式１ｂを代入すると、
ｔ＋（（ｔ／４）－１）２＝１，
１６ｔ＋（（ｔ－４）２＝１６，
ｔ２ ＋８ｔ＝０，
ｔ（ｔ＋８）＝０，
ｔ＝０
このように、ｔ座標の解も重根を持たない。
それでは、２つのグラフが接しないという解になってしまう。
一方、与えられた２つのグラフの ｔ，ｙ 座標系に写像した２つのグラフは、下図のようになり、この２つのグラフは接しない。
２つのグラフが接するという事は、 ｘ，ｙ 座標系でのみ成り立つ現象である。変数変換をしたら、グラフが接するかどうかは不明になる。
（結論）
曲線の式と曲線の式を連立させて方程式を解く場合には、
曲線が接する判定条件は、（ｘ，ｙ）の座標点が重解になるかどうかで判定するべきである。
（補足）
以上の計算における曲線の接触の判定の計算は、「この式８が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。
（補足）
《交差している２つのグラフが、変数変換すると互いに接する２つのグラフに変わる例：変数変換をするときの注意点》
ｆ（ｔ）＝ｔ
ｇ（ｔ）＝ｔ／２
とする。 この場合に、上図のように、２つのグラフが、ｔＹ座標平面上では互いに交差しているだけで、接していない。
このグラフの変数ｔを以下のグラフの関数であらわす媒介変数ｘを考える。
XY平面上で先の２つのグラフをあらわすと以下の図の様になる。
ｘ≧０の場合に：
関数ｆ（ｔ）＝ｘ２
関数ｇ（ｔ）＝ｘ２／２
になる。
すなわち、接さずに単に交差しているだけの２つのグラフが、互い接するグラフに変わってしまった。
ｔY座標平面上の２つのグラフがある変数値において接するか否かを調べている時に、そのように変わってしまわないようにするための、行なって良い変数ｔの媒介変数ｘへの変数変換は、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ０
となることが必要です。
また、その関数が”微分可能”であることも必要で、すなわち、その２つのグラフが交差する点の位置の変数値において：
ｄｔ／ｄｘ ≠ ±∞
も必要です。
【問２】円ｘ２＋（ｙ＋１）２＝１と円ｘ２＋（ｙ－１）２＝１は接するか？
（方程式が重根を持つかで解析する方法）
円 ｘ２＋（ｙ＋１）２＝１ （式１）
円 ｘ２＋（ｙ－１）２＝１ （式２）
式１の円と式２の円の方程式を連立させる。
式１から式２を引き算する。
４ｙ＝０
ｙ＝０ （式３）
この式３はまだ接線とは限らない。
この式３も重根を持っていないことに注意すること。
--（接点（ｘ，ｙ）が重解を持つ判定の注意）--
座標ｘの解を求める式は、式３を式１又は式２に代入することで得られ、その式は以下の式になる。
ｘ２＝０ （式４）
この式４は、ｘが重解の値０になることを示す。
そのため、接点（ｘ，ｙ）が重解を持つことが言える。
----------------------------------------------
この式３の直線と式１の円が接すれば、この式３の直線は式２の円とも接し、
式１の円と式２の円が同じ式３の直線との接点で接することになる。
式１の円と式３の直線を連立させて、方程式からｙを消去すると、
ｘ２＋（０＋１）２＝１
ｘ２＝０ （式４）
ｘは０となる重根を持ち、式１の円は式３の直線と（０，０）で接する。
同様にして、式２の円も式３の直線と（０，０）で接する。
（解答おわり）
（補足）
以上の計算における曲線の接触の判定の計算も、「この式４が得られることで正しく重解の存在を判定できるのか？」 という疑問が湧くという、接点の判定条件が怪しげで不明瞭であるという問題がある。
また、以下のグラフの接点Ａを求める場合：
この不明瞭さを解消するには、式の微分を用いることで明瞭な判定ができる。その判定方法は、このページの後のページの例題で例示する。
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