三次関数の曲線の接線の残りの交点

「微分・積分」の勉強

以下の問題は、微分の基礎知識を勉強した後で解いてください。

【問２】三次関数の曲線ｙ＝ｘ^３の（ｘ＝１）となる点の接線が再びその曲線に交わる残りの交点を求めよ。

（解答の方針）
ｆ（ｘ）を微分可能な関数として、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける接線の方程式は、
ｙ＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）＋ｆ（ａ）
である。
この公式を用いて、接線の方程式を求めて、それから、その接線と曲線の交点を求める解答方法が、
最初に勉強すべき解答方法です。

（解答開始）
ｆ（ｘ）＝ｘ^３
微分の公式により
ｆ’（ｘ）＝３・ｘ^２
ｆ（１）＝１^３＝１
ｆ’（１）＝３・１^２＝３
接線の方程式は、
ｙ＝３（ｘ－１）＋１
この接線と曲線の方程式の交点のｘ座標を求める方程式は、以下の式になる。
ｘ^３＝３（ｘ－１）＋１
ｘ^３－３ｘ＋２＝０
（ｘ－１）^２（ｘ＋２）＝０
接線のｘ＝１に関する式（ｘ－１）が二乗になって重根になり、それ以外の交点に関する式（ｘ＋２）が１つできて、それらの積に方程式が因数分解できる。

接線が再び曲線に交差する残りの交点は、
ｘ＝－２
ｙ＝（－２）^３＝－８
よって、残りの交点の座標は、
（－２，－８）
（解答おわり）

【別解】
この問題を上の解き方で解いた結果、もう少し楽に解答を得る方法がわかってきます。

その楽な解答方法とは、以下のようにしてわかります。

接線の方程式をｙ＝ｍｘ＋ｎとだけ書いて、その接線と曲線の式ｙ＝ｘ^３との残りの交点（ａ，ｂ）を与える式を書くと、以下の式で与えられます。
ｘ^３＝ｍｘ＋ｎ
ｘ^３－ｍｘ－ｎ＝０
この式は、
（ｘ－１）^２（ｘ－ａ）＝０
になります。
すなわち、
ｘ^３－ｍｘ－ｎ＝（ｘ－１）^２（ｘ－ａ）
ｘ^２の係数だけを書くと、
０＝－２－ａ
∴　ａ＝－２
接線の式のｍとｎの値がわからなくても、交点のｘ座標ａ＝－２がわかりました。
ｂ＝（－２）^３＝－８
よって、残りの交点の座標は、
（－２，－８）
（解答おわり）

このように、楽に答えが解けました。

この楽な解き方は、どの三次関数の曲線の接線の残りの交点を求めるときでも、使えます。

リンク： 
高校数学の目次