佐藤の数学教科書「微分」編の勉強
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）
【難問】２つの放物線
ｙ＝ ｘ２－２ｘ＋２ （式１）
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
は、それらの交点の１つＰで、接線が互いに直交しているものとする。
このとき、放物線（式２）は、ａ、ｂの値に無関係な一定の点Ｑを通ることを証明し、Ｑの座標を求めよ。
（解答の方針）
「一定の点Ｑを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。
交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ２－２ｃ＋２＝－ｃ２＋ａｃ＋ｂ （式３）
式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２ （式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ （式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１ （式６）
点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
である。
結局、以下の式の群が得られた。
ｃ２－２ｃ＋２＝－ｃ２＋ａｃ＋ｂ （式３）
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１ （式６）
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
これら３つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙである。
式が３つあるので、未知数を２つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群（ａ，ｂ，ｃ）のうちで残った１つの未知数と（ｘ，ｙ）とを含む１つの式が得られる。
そのため、この問題は、その１つの式から（ｘ，ｙ）を求める問題であることがわかる。
すなわち、この問題は、
「１つの未知数に関する１つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Ｑ（ｘ，ｙ）の値を求める」
という問題である。
問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値が変化しても一定の値の（ｘ，ｙ）によって式が満足される、そういう値（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。
更に問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。
ここまで言いかえると、この問題は、
「（１つの）未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する（ｘ，ｙ）を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。
このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。
（解答）
（１）
交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ２－２ｃ＋２＝－ｃ２＋ａｃ＋ｂ （式３）
２ｃ２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０ （式７）
（２）
式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２ （式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ （式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１ （式６）
－４ｃ２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＝－１
－４ｃ２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＋１＝０
４ｃ２－２ｃａ－４ｃ＋２ａ－１＝０
４ｃ２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０ （式８）
（３）
点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
である。
（４）
これらの式を整理して並べると、
２ｃ２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０ （式７）
４ｃ２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０ （式８）
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
この３つの式から未知数ａ，ｂ，ｃのうちの２つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように（ｘ，ｙ）の値を定める。
ここで、式７と式８から、複雑な式を成す未知数ｃが消去できることがわかる。
（式７）×２－（式８）を計算する。
４－２ｂ－（２ａー１）＝０
４－２ｂ－２ａ＋１＝０ （式９）
（５）
式２から、
ｂ＝ｙ＋ｘ２－ａｘ （式２’）
この（式２’）を式９に代入してｂを消去する。
４－２（ｙ＋ｘ２－ａｘ）－２ａ＋１＝０
この式を未知数ａに関して整理する。
ａ（２ｘ－２）＋４－２ｙ－２ｘ２＋１＝０
この式が未知数ａに関して恒等式になる条件は、
２ｘ－２＝０ （式１０）
４－２ｙ－２ｘ２＋１＝０ （式１１）
（５－１）
式１０から、
２ｘ＝２
ｘ＝１ （式１２）
（５－２）
式１２を式１１に代入する。
４－２ｙ－２＋１＝０
３＝２ｙ
ｙ＝３／２
よって、
Ｑ（ｘ，ｙ）＝（１，３／２）
（解答おわり）
【注意】この問題を解くのに、最初に未知数ｃを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数ｃを残しても、同様に、解くことができる。
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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）
【難問】２つの放物線
ｙ＝ ｘ２－２ｘ＋２ （式１）
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
は、それらの交点の１つＰで、接線が互いに直交しているものとする。
このとき、放物線（式２）は、ａ、ｂの値に無関係な一定の点Ｑを通ることを証明し、Ｑの座標を求めよ。
（解答の方針）
「一定の点Ｑを通る」というような耳慣れない性質を求める問題が出て来ても、あわてずに、
先ず、与えられた全ての条件を数式で表わす。
そうする理由は、その数式の解き方のパターンは限られていて、
この問題は、どの解き方のパターンで解けば良いかが数式から分かるからです。
交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ２－２ｃ＋２＝－ｃ２＋ａｃ＋ｂ （式３）
式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２ （式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ （式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１ （式６）
点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
である。
結局、以下の式の群が得られた。
ｃ２－２ｃ＋２＝－ｃ２＋ａｃ＋ｂ （式３）
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１ （式６）
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
これら３つの式を使って問題を解くのは、未知数を順次に減らす計算パターンしか無い。
未知数は、ａ、ｂ、ｃ、ｘ、ｙである。
式が３つあるので、未知数を２つ消去できる。
そのように未知数を消去する計算をすると、未知数群（ａ，ｂ，ｃ）のうちで残った１つの未知数と（ｘ，ｙ）とを含む１つの式が得られる。
そのため、この問題は、その１つの式から（ｘ，ｙ）を求める問題であることがわかる。
すなわち、この問題は、
「１つの未知数に関する１つの式から、未知数の値に無関係な一定の点Ｑ（ｘ，ｙ）の値を求める」
という問題である。
問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値が変化しても一定の値の（ｘ，ｙ）によって式が満足される、そういう値（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。
更に問題を言いかえると、
「（１つの）未知数の値がどのように変化しても式がいつも成り立つようにする（ｘ，ｙ）を求める」
という問題である。
ここまで言いかえると、この問題は、
「（１つの）未知数に関する式を恒等式にする条件を満足する（ｘ，ｙ）を求める」
という問題であることがわかる。
それで、この問題を解くめどが立った。
このように、数式を書けば、その数式の解き方のパターンの数が限られているので、どういう問題であるかの、問題の意味が見えて来る。
（解答）
（１）
交点Ｐ（ｃ，ｄ）とする。
交点Ｐのｄが式１と式２とであらわされるから、交点Ｐ（ｃ，ｄ）を代入した式１＝式２が成り立つ
ｃ２－２ｃ＋２＝－ｃ２＋ａｃ＋ｂ （式３）
２ｃ２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０ （式７）
（２）
式１の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝２ｘ－２ （式４）
式２の放物線の接線の傾きは、
ｙ’＝－２ｘ＋ａ （式５）
点Ｐでの接線が互いに直交する条件は、次式になる。
（２ｃ－２）（－２ｃ＋ａ）＝－１ （式６）
－４ｃ２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＝－１
－４ｃ２＋２ｃａ＋４ｃ－２ａ＋１＝０
４ｃ２－２ｃａ－４ｃ＋２ａ－１＝０
４ｃ２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０ （式８）
（３）
点Ｑ（ｘ，ｙ）は放物線（式２）上にあるので、
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
である。
（４）
これらの式を整理して並べると、
２ｃ２－（２＋ａ）ｃ＋２－ｂ＝０ （式７）
４ｃ２－（２ａ＋４）ｃ＋２ａ－１＝０ （式８）
ｙ＝－ｘ２＋ａｘ＋ｂ （式２）
この３つの式から未知数ａ，ｂ，ｃのうちの２つの未知数を消去し、残った未知数の式が恒等式になるように（ｘ，ｙ）の値を定める。
ここで、式７と式８から、複雑な式を成す未知数ｃが消去できることがわかる。
（式７）×２－（式８）を計算する。
４－２ｂ－（２ａー１）＝０
４－２ｂ－２ａ＋１＝０ （式９）
（５）
式２から、
ｂ＝ｙ＋ｘ２－ａｘ （式２’）
この（式２’）を式９に代入してｂを消去する。
４－２（ｙ＋ｘ２－ａｘ）－２ａ＋１＝０
この式を未知数ａに関して整理する。
ａ（２ｘ－２）＋４－２ｙ－２ｘ２＋１＝０
この式が未知数ａに関して恒等式になる条件は、
２ｘ－２＝０ （式１０）
４－２ｙ－２ｘ２＋１＝０ （式１１）
（５－１）
式１０から、
２ｘ＝２
ｘ＝１ （式１２）
（５－２）
式１２を式１１に代入する。
４－２ｙ－２＋１＝０
３＝２ｙ
ｙ＝３／２
よって、
Ｑ（ｘ，ｙ）＝（１，３／２）
（解答おわり）
【注意】この問題を解くのに、最初に未知数ｃを消去したが、他の未知数を消去して最後まで未知数ｃを残しても、同様に、解くことができる。
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