「微分・積分」の勉強
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。
【問１】放物線
ｙ＝２－２ｘ２ （式１）
とＸ軸で囲まれる範囲（ｘ軸より上の範囲）にある円の半径の最大値を求めよ。
（解答の方針）
この問題で求める円は、式１の放物線とＸ軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくＹ軸に関して対称（すなわち、Ｙ軸上に中心がある）と考えられます。
その理由は、
もし、その円の中心がＹ軸上になければ、Ｙ軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。
放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。
そのため、Ｙに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はＹ軸上になければなりません。
求める円の中心がＹ軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。
次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。
（解答）
（１）
放物線の式は
ｙ＝２－２ｘ２ （式１）
であり、
Ｘ軸の式は
ｙ＝０ （式２）
である。
（２）
式１の放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式１の放物線と左右で接して、円の下がＸ軸に接する円と考えられる。
全図形をＹ軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。
よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はＹ軸上にある。
よって、ｘ軸に接する半径ｒの円の式は以下の式であらわされる。
（ｙ－ｒ）２＋ｘ２＝ｒ２ （式３）
（注意）
半径のつもりで、ｒというパラメータを導入しましたが、ｒというパラメータは、ｘ軸より上の円では正になり、ｘ軸より下の円では負になる。ｘ軸に接する円がｘ軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。
（３）
求める円は、式１の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。
（４）
放物線と円の接点をＡ（ａ，ｈ）とする。
式１から、
放物線 ｈ＝２－２ａ２ （式４）
式３から、
円 （ｈ－ｒ）２＋ａ２＝ｒ２ （式５）
（５）
式１の放物線の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きは、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｄｙ／ｄｘ＝－４ａ
である。
式３の円の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きｄｙ／ｄｘは：
円の法線ＡＰの傾き（ｈ－ｒ）／ａの逆数に（－１）を掛け算したものであって、
ｄｙ／ｄｘ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
この２つの接線の傾きが等しいので、
－４ａ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
ａ｛－４＋（１／（ｈ－ｒ））｝＝０ （式６）
この式６（接点の座標の式）を解くと、
ａ＝０ （式７）
ｏｒ
ｈ－ｒ＝１／４
ｈ＝ｒ＋１／４ （式８）
（６）
（式７（ａ＝０）があらわす接点の座標を求める）
式７を放物線の式４に代入する。
ｈ＝２ （式９）
よって、１つの接点（ａ，ｈ）＝（０，２）が得られた。
この接点は式１があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径ｒ＝１である。
（７）
（式８があらわす接点の座標を求める）
そのために、式８と式４と式５を連立して、接点の座標を導く。
（８）
計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式４と式５を整理して、ａを消去して単純な式を得る。
式４から、
ｈ－２＋２ａ２＝０ （式４’）
式５から、
（ｈ－ｒ）２＋ａ２－ｒ２＝０ （式５’）
２×式５’－式４’を計算してａを消去する。
２（ｈ－ｒ）２－２ｒ２－（ｈ－２）＝０
２ｈ２－４ｈｒ－ｈ＋２＝０ （式９）
式９に代入すべき式８を変形する。
ｒ＝ｈ－（１／４） （式８’）
式８’を式９に代入してｒを消去する。
２ｈ２－４ｈ（ｈ－（１／４））－ｈ＋２＝０
２ｈ２－４ｈ２＋ｈ－ｈ＋２＝０
－２ｈ２＋２＝０
ｈ２－１＝０
（ｈ－１）（ｈ＋１）＝０
ｈ＝１
ｏｒ
ｈ＝－１
ｈ＝－１は、ｘ軸よりも下のｙ座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
ｈ＝１ （式１０）
のみが有効。
式１０を式８’に代入する。
ｒ＝１－（１／４）＝３／４
また、式１０を式４’に代入する。
１－２＋２ａ２＝０
２ａ２＝１
ａ２＝１／２
ａ＝±（√２）／２ （式１１）
よって、半径ｒ＝３／４の円について、
２つの接点（ａ，ｈ）＝Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が得られた。
（９）
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると：
（９－１）；
放物線の頂点（０，２）が接点になるとき、円の半径ｒ＝１
である。
（９－２）；
Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が接点になるとき、
円の半径ｒ＝３／４
である。
（１０）
しかし、半径ｒ＝３／４の円において既に放物線に接しているので、
（９－１）の場合の、円の半径が１になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。
よって、（９－２）の場合のみが有効な解であり、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
ｒ＝３／４
である。
（解答おわり）
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なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。
【問１】放物線
ｙ＝２－２ｘ２ （式１）
とＸ軸で囲まれる範囲（ｘ軸より上の範囲）にある円の半径の最大値を求めよ。
（解答の方針）
この問題で求める円は、式１の放物線とＸ軸とに接する円です。
その円は放物線と同じくＹ軸に関して対称（すなわち、Ｙ軸上に中心がある）と考えられます。
その理由は、
もし、その円の中心がＹ軸上になければ、Ｙ軸に関して全図形を左右に反転すれば、円の中心位置が左右に移動します。
放物線に接する円が左右に移動してしまったら、上図のように、円は放物線に接する位置から離れて、放物線に交わったり放物線から離れてしまったりします。
そのため、Ｙに関して全図形を左右に反転しても円が放物線に左右で接する形であるためには、円の中心はＹ軸上になければなりません。
求める円の中心がＹ軸上にあると考えると問題が大分簡単になります。
次に、考えることは、円と放物線が接する条件を求めることです。
なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書きます。
（解答）
（１）
放物線の式は
ｙ＝２－２ｘ２ （式１）
であり、
Ｘ軸の式は
ｙ＝０ （式２）
である。
（２）
式１の放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円は、式１の放物線と左右で接して、円の下がＸ軸に接する円と考えられる。
全図形をＹ軸に関して左右に反転しても、その円は放物線に左右で接する形であるが、
もし、左右に反転すると円の中心が左右に移動すると考えると円が放物線から離れたり放物線に交わったりして、放物線とＸ軸で囲まれる範囲にある最大の半径の円である条件から外れてしまい矛盾する。
よって、全図形を左右に反転しても円の中心は左右に移動しない。すなわち、円の中心はＹ軸上にある。
よって、ｘ軸に接する半径ｒの円の式は以下の式であらわされる。
（ｙ－ｒ）２＋ｘ２＝ｒ２ （式３）
（注意）
半径のつもりで、ｒというパラメータを導入しましたが、ｒというパラメータは、ｘ軸より上の円では正になり、ｘ軸より下の円では負になる。ｘ軸に接する円がｘ軸の上か下かどちら側にあるかをあらわすパラメータであるという意味を持っていることに注意すべき。
（３）
求める円は、式１の放物線と接する円と考えられるので、
先ずは、円と放物線が接し得る接点を全て求める。
（４）
放物線と円の接点をＡ（ａ，ｈ）とする。
式１から、
放物線 ｈ＝２－２ａ２ （式４）
式３から、
円 （ｈ－ｒ）２＋ａ２＝ｒ２ （式５）
（５）
式１の放物線の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きは、式１の関数をｘで微分して計算し、
ｄｙ／ｄｘ＝－４ａ
である。
式３の円の接点（ａ，ｈ）における接線の傾きｄｙ／ｄｘは：
ｄｙ／ｄｘ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
この２つの接線の傾きが等しいので、
－４ａ＝－ａ／（ｈ－ｒ）
ａ｛－４＋（１／（ｈ－ｒ））｝＝０ （式６）
この式６（接点の座標の式）を解くと、
ａ＝０ （式７）
ｏｒ
ｈ－ｒ＝１／４
ｈ＝ｒ＋１／４ （式８）
（６）
（式７（ａ＝０）があらわす接点の座標を求める）
式７を放物線の式４に代入する。
ｈ＝２ （式９）
よって、１つの接点（ａ，ｈ）＝（０，２）が得られた。
この接点は式１があらわす放物線の頂点である。
この接点に接する円の半径ｒ＝１である。
（７）
（式８があらわす接点の座標を求める）
そのために、式８と式４と式５を連立して、接点の座標を導く。
（８）
計算間違いを少なくするために、単純な式を早く作る。
そのために、先ず、式４と式５を整理して、ａを消去して単純な式を得る。
式４から、
ｈ－２＋２ａ２＝０ （式４’）
式５から、
（ｈ－ｒ）２＋ａ２－ｒ２＝０ （式５’）
２×式５’－式４’を計算してａを消去する。
２（ｈ－ｒ）２－２ｒ２－（ｈ－２）＝０
２ｈ２－４ｈｒ－ｈ＋２＝０ （式９）
式９に代入すべき式８を変形する。
ｒ＝ｈ－（１／４） （式８’）
式８’を式９に代入してｒを消去する。
２ｈ２－４ｈ（ｈ－（１／４））－ｈ＋２＝０
２ｈ２－４ｈ２＋ｈ－ｈ＋２＝０
－２ｈ２＋２＝０
ｈ２－１＝０
（ｈ－１）（ｈ＋１）＝０
ｈ＝１
ｏｒ
ｈ＝－１
ｈ＝－１は、ｘ軸よりも下のｙ座標であるので、接点の座標として不適。
よって、
ｈ＝１ （式１０）
のみが有効。
式１０を式８’に代入する。
ｒ＝１－（１／４）＝３／４
また、式１０を式４’に代入する。
１－２＋２ａ２＝０
２ａ２＝１
ａ２＝１／２
ａ＝±（√２）／２ （式１１）
よって、半径ｒ＝３／４の円について、
２つの接点（ａ，ｈ）＝Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が得られた。
（９）
以上で得た、円が放物線と接し得る点を全て列挙すると：
（９－１）；
放物線の頂点（０，２）が接点になるとき、円の半径ｒ＝１
である。
（９－２）；
Ａ（√２／２，１）とＢ（－√２／２，１）が接点になるとき、
円の半径ｒ＝３／４
である。
（１０）
しかし、半径ｒ＝３／４の円において既に放物線に接しているので、
（９－１）の場合の、円の半径が１になって放物線の頂点に円が接する場合には、円は、その他の点で放物線と交差していて、放物線の下には収まりきれていない。
よって、（９－２）の場合のみが有効な解であり、放物線の下に収まりきれる最大の円の半径は、
ｒ＝３／４
である。
（解答おわり）
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