接線と放物線の交点

佐藤の数学教科書「微分」編の勉強

なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。
（接線を求める式に重根が含まれるとは限らない。）

【問１】放物線
ｙ＝　ｘ^２＋１　（式１）
上の任意の点Ｐにおける接線が、放物線
ｙ＝ｘ^２　（式２）
と交わる点をＱ，Ｒとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
Ｐは線分ＱＲの中点である。

（解答の方針）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式をあらわし、
その接線点の式と式２とを連立させて、交点Ｑ，Ｒの座標を計算する式を求めれば良い。
ただし、問題の解き方も工夫する。

（解答）
式１を微分して式１のグラフの傾きを求める。
ｙ’＝　２ｘ
Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での傾きｙ’は、
ｙ’＝　２ｐ　（式３）
式１の放物線上の点Ｐ（ｐ，ｐ^２＋１）での接線の式は以下の式になる。
ｙ－（ｐ^２＋１）＝ｙ’（ｘ－ｐ）
ｙ＝ｙ’（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
この式に式３を代入して、ｙ’を式３の右辺で置き換える。
ｙ＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）　（式４）
式４と式２を連立して、接線と式２の放物線の交点Ｑ，Ｒの座標を求める式を計算する。
ｘ^２＝２ｐ（ｘ－ｐ）＋（ｐ^２＋１）
ｘ^２－２ｐｘ＋ｐ^２－１＝０　（式５）
ここで問題の解き方を工夫する。
根と係数の関係により、交点Ｑ，Ｒのｘ座標をｑとｒとすると、式５のｘの係数との間に以下の関係が成り立つ。
２ｐ＝ｑ＋ｒ
ｐ＝（ｑ＋ｒ）／２
これは、接線上の点Ｐのｘ座標が、点ＱとＲの中点のｘ座標であることを意味する。
∴　Ｐは線分ＱＲの中点である。
（解答おわり）

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