ベクトルの内積と三角関数のｃｏｓの加法定理

佐藤の数学教科書「ベクトル」編の勉強

２つのベクトルとがあるとき、
その各ベクトルの長さの２乗は、そのベクトルの成分によって以下のようにあらわせます。

ベクトルＯＷの成分を実数Ｗ_１とＷ_２とし、
ベクトルＯＳの成分を実数Ｓ_１とＳ_２とすると：
ベクトルＯＷの長さの２乗＝Ｗ_１Ｗ_１＋Ｗ_２Ｗ_２
ベクトルＯＳの長さの２乗＝Ｓ_１Ｓ_１＋Ｓ_２Ｓ_２
この計算を２つのベクトルにまたがって計算する計算をベクトルの内積とします。


すなわち、
その２つのベクトルの内積が、そのベクトルの成分を用いて以下の式（１）で定義されます。
 ・＝Ｓ_１Ｗ_１＋Ｓ_２Ｗ_２　　　（式１）

上図のように、絶対値が１の２つの単位ベクトルとがあるとき、
その２つの単位ベクトルの成す角度θの余弦ｃｏｓ（θ）は、この２つの単位ベクトルの内積・と等しくなります。

・＝||・||ｃｏｓ（θ）＝ｃｏｓ（θ）

以下で、その関係があることを示します。
単位ベクトルの偏角は実数αとし、単位ベクトルの偏角は実数βとする。

ベクトルの成分の実数Ｗ_１，Ｗ_２，Ｓ_１，Ｓ_２と角度を表わす実数αとβとθの間には以下の関係があります。
θ＝β－α
Ｗ_１＝ｃｏｓα
Ｗ_２＝ｓｉｎα
Ｓ_１＝ｃｏｓβ
Ｓ_２＝ｓｉｎβ

余弦定理により

∴　ｃｏｓ（θ）＝Ｓ_１Ｗ_１＋Ｓ_２Ｗ_２

　このように、ベクトルの内積は、ベクトルの成分の積の和であらわすことができるという特徴があります。

　なお、単位ベクトルの内積の式（式１）は、以下の式（三角関数のｃｏｓの加法定理）と同じ式です。
ｃｏｓ（β－α）＝ｃｏｓβｃｏｓα＋ｓｉｎβｓｉｎα　　（式２）

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